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复数代数形式的乘除运算导学案


3.2.2 复数代数形式的乘除运算
中心备课人: 【学习目标】
1.知识与技能: 理解并掌握复数的代数形式的乘法与除法运算法则, 深刻理解它是乘法运算的逆 运算; 2.过程与方法:理解并掌握复数的除法运算实质是分母实数化类问题;

【重点难点】
重点:复数代数形式的除法运算. 难点:对复数除法法则的运用.

学法指导】
复数乘法运算是按照多项式与多项式相乘展开得到,在学习时注意将 i 换成 ?1 ;除法是乘
2

法的逆运算, 所以复数的除法运算可由乘法运算推导获得, 但是也可由互为共轭复数的两个复数 的乘积为实数, 先将复数的分母实数化, 再化简可得, 学习时注意体会第二种方法的优势和本质.

【知识复习】
已知两复数 z1 ? a ? bi , z2 ? c ? di (a,b,c,d 是实数) 则 (a ? bi) ? (c ? di) ? (a ? c) ? (b ? d )i 即:两个复数相加(减)就是实部与实部,虚部与虚部分别相加(减).

【问题探究】
探究一、复数的乘法运算 引导:乘法运算规则 设 z1 ? a ? bi 、 z2 ? c ? di ?a, b, c, d ? R ? 是任意两个复数, 规定复数的乘法按照以下的法 则进行: z1 ? z2 ? (a ? bi)(c ? di) ? 点拨:两个复数的积仍然是一个复数.其实就是把两个复数相乘,类似两个多项式相乘,在所得 的结果中把 i 换成-1,然后实、虚部分别合并.
2

【典例分析 1】
例 1 计算 ?1 ? 2i ??3 ? 4i ??? 2 ? i ? 引导:可先将前两个复数相乘,再与第三个复数相乘.

【练习】
1.(7 ? 6i)(?3i) 2.(3 ? 4i)(?2 ? 3i)

3.?3 ? 4i ??3 ? 4i ?

4.

1

▲共轭复数:实部相等,虚部互为相反数的两个复数叫做互为共轭复数. ▲复数 z ? a ? bi 的共轭复数记作 z, 记z ? a ? bi 且 z 与 z 的乘积为一实数 探究二、复数的除法运算 引导:除法运算规则:

?a ? bi? ? ?c ? di?=

a ? bi = c ? di
=

提示:利用 ?c ? di??c ? di? ? c 2 ? d 2 ,类比多项式的分母有理化,将

a ? bi “分母实数化” c ? di

点拨: 利用初中我们学习的化简无理分式时, 都是采用的分母有理化思想方法, 而复数 c ? di 与复数 c ? di ,相当于我们初中学习的
2 2

3 ? 2 的对偶式 3 ? 2 ,它们之积为 1 是有理数,
王新敞
奎屯 新疆

而 ?c ? di??c ? di? ? c ? d 是正实数.所以可以分母实数化. 把这种方法叫做分母实数化法

【典例分析 2】
例 2 计算 (1 ? 2i) ? (3 ? 4i) 引导:可按照复数除法运算方法,先将除式写成分式,再将分母实数化,然后化简即可.

【练习】
1. 1? i 1? i 2. 1 i

【小结】
1.复数乘法的运算 ①与多项式的乘法是类似的 ②结果中把 i 换成-1
2

③实部虚部合并

2.复数除法的运算 ①把除式写成分式的形式 ③化简后写成代数形式

②分子与分母都乘以分母的共轭复数【分母实数化】

2


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