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数学参赛课件 一元二次不等式及其解法


参赛选手:**** 上网获取信息已经成为人们日常生活的重要组成部分, 因特网服务公司(ISP)的任务就是负责将用户的计算机接入 因特网,同时收取一定的费用。 某同学要把自己的计算机接入因特网,现有两家ISP公司 可供选择。公司A 每小时收费1.5 元;公司B 的收费原则如图 所示,即在用户上网的第1小时内收费1.7元,第2小时内收费 1.6元,以后每小时减少0.1 元(若用户一次上网时间超过17小 时,按17小时计算). 一般来说,一次上网时间不会超过17个小时,所以,不 妨假设一次上网时间总小于17小时,那么,一次上网在多长 时间以内能够保证选择公司A比选择公司B所需费用少? 假设一次上网x小时,则公司A收取的费用为1.5x(元) x (35 ? x ) (元). 公司B收取的费用为 20 如果能够保证选择公司A比选择公司B所需费用少,则 x(35 ? x) ? 1.5 x(0 ? x ? 17 ), 20 整理得 x 2 ? 5x ? 0. ① 这是一个关于x的一元二次不等式.只要求得满足不等式 ①的解集,就得到了问题的答案. 怎样求不等式①的解集呢? 2 画出二次函数 y ? x ? 5x 的图象 当x<0或x>5时,函数图象位于 x轴上方, 此时y>0,即x2-5x>0; 当0<x<5时,函数图象位于x轴下方, 此时y<0,即x2-5x<0; 所以一元二次不等式x2-5x>0的解集是 { x | 0<x<5 }. 所以当一次上网时间在5小时以内时,选择公司A的费用 少;超过5小时,选择公司B的费用少. 一元二次方程、一元二次不等式、二次函数的相互关系及 其解法: ? ? b 2 ? 4ac 二次函数 ??0 y ??0 y x y x1 = x2 x ??0 0 无实根 y ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) 的图象 一元二次方程 x1 0 x2 0 x ax2 ? bx ? c ? 0(a ? 0) 的根 ? b ? b 2 ? 4ac x1 ? 2a x2 ? ? b ? b ? 4ac 2a 2 有两个相等实根 b x1 ? x 2 ? ? 2a b ? ? ?x | x ? ? ? 2a ? ? ax2 ? bx ? c ? 0(a ? 0) 的解集 ?x | x ? x1或x ? x2? x?R ? ax2 ? bx ? c ? 0(a ? 0) 的解集 ?x | x1 ? x ? x2 ? ? 用程序框图表 示求一元二次方程 的过程: 例1 求不等式 4 x 2 ? 4 x ? 1 ? 0 的解集. 2 解: 原不等式可变形为(2 x ? 1 ) ? 0, 1 所以原不等式的解集为 { x | x ? }. 2 例2 求不等式 ? x 2 ? 2 x ? 3 ? 0 的解集. 解: 不等式可变形为 x 2 ? 2 x ? 3 ? 0. 因为 ⊿= -8 <0, 方程 x 2 ? 2 x ? 3 ? 0 无实数根. 而 y ? x2 ? 2x ? 3 的图像开口向上, 所以原不等式的解集为 ?. 例3 不等式 (a ? 2) x 2 ? 2(a ? 2) x ? 4 ? 0 对一切 x ? R 恒成 立,则a的取值范围. 证明: (1)当a – 2 = 0时,即a=2,原不等式为 -4<0。 显然,对一切 x ? R 都成立. (2)当a - 2≠0时,此不等式对一切x都成立,则 ?a ? 2 ? 0 ? 2 ? ? ?

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