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12-13(一)《线性代数B》期终试题A答案


上海应用技术学院 2012—2013 学年第一学期 《线性代数 B》期(末) (A)试卷答案及评分标准
课程代码: B2220035 学分: 2 考试时间: 100 分钟
一、 单项选择题(本大题共 5 小题,每小题 3 分,共计 15 分)

?k 2 1? ? ? 1、矩阵 2 k 0 ( k ? 0) 不可逆的充分必要条件是( B )

。 ? ? ?1 ? 1 1? ? ?
(A) k ? ?2 (B) k ? ?2 (C) k ? ?3 (D) k ? ?3

a11
2、 设 a21

a12 a22 a32

a13

3a11

3a12 a32 ? a22 3a22
(C) 9 M ) 。
T

3a13 a33 ? a23 =( B ) 。 3a 23
(D) 3M

a31
(A) ? 3M

a23 =M, 则 a31 ? a21 a33 3a21
(B) ? 9M

3、设 A, B 均为 n 阶方阵,则必有( B (A) AB ? BA (B) AB ? B A

(C) ( A ? B) ? A ? B (D) ( AB) ? A B
T T

T

4、设矩阵 A, B, C 分别为 m? n , n? m 和 m? m 矩阵,且 m ? n ,则下列运算成立的是 ( C ) 。 (B) CBA
T

(A) ACB

(C) ABC
T

(D) BAC
T

5、设向量组 ?1 ? (1,3, 6, 2) ,? 2 ? (2,1, 2, ?1) ,? 3 ? (1, ?1, a, ?2) 线性相关,则 a 应满 足条件( C ) 。 (A) a ? 2 (B) a ? 2 (C) a ? ?2 (D) a ? ?2

二、 填空题(本大题共 5 小题,每小题 3 分,共计 15 分)

?2
1、 1

1 ?1 2

1 x 是关于 x 的一次多项式,则该多项式的一次项系数是___5____。 ?1

1

第 1 页

1 2 3
2、设 D ? 3

2 4 ,则 A13 ? A23 ? A33 ? ______-2______。

4 1 3

? 1 2 3? ? 1 0 0? ? ? ? ? 3、设矩阵 A ? ? 0 4 5 ? , B ? ? 5 ? 1 0 ? ,则行列式 AB ? ____-8_____。 ? 0 0 2? ? 2 3 1? ? ? ? ?
?1 * 4、设 A 为三阶方阵,且 A ? 2 ,则 ( 2 A) ? A ?

?

27 16


sin ? cos? 0 0 0 0 2 3 1 3 0 ? 0 ? 1? ? ?。 3? 1 ? 3 ? ?

?cos? ? sin ? A?? 5、已知 ? 0 ? ? 0

? sin ? cos? 0 0

0? 0 0? ? ,则 A?1 ? 1 1? ? ? 1 2? 0

? cos? ?? sin ? ? ? 0 ? ? ? 0 ?

三、 计算题(本大题共 6 小题,共计 62 分)

x
1、计算行列式 D ?

y x 0 0
x

0 y x 0
y x 0

0 0 y x
0
5

0 0 y

。(本题 10 分) 。

x D? 0 0 y

y x 0 0

0 y x 0

0 0 y x

y 0

0 y x

0 0 (5 分) ? x 4 ? y 4 . (5 分) y

?x0 0

y ? y ( ?1) x x

?1? ? ? ?1? 5 2、设 A ? ? ? , B ? ?1 2 3 4? , C ? AB ,求: (1) C ; (2) C 。 (本题 10 分) 1 ? ? ?1? ? ? ?1 ? ?1 C ? AB ? ? 1 ? ?1 ? 2 3 4? ? 2 3 4? 4 4 5 (4 分), C ? ABAB ? ? ? AB = A( BA) B (2 分)= A(10) B (4 分) 2 3 4? ? 2 3 4? ?
第 2 页

= 10 4 AB ? 10 4 C (2 分)

? 3 0 1? ? ? 3、设矩阵 A 和 B 满足关系式 AB ? A ? 2B ,其中 A ? ? 1 1 0 ? ,求矩阵 B 。 (本题 10 ? 0 1 4? ? ?
分)

?1 0 1? ? ? , , AB ? 2B ? A , ( A ? 2E ) B ? A (2 分) A ? 2E ? ? 1 ? 1 0 ? (2 分) ?0 1 2? ? ?
, | A ? 2E |? ?1 ? 0 (1 分) ( A ? 2 E )
?1

? 2 ? 1 ? 1? ? ? ? ? 2 ? 2 ? 1? (2 分) B ? ( A ? 2 E ) ?1 A (2 , ??1 1 ? 1? ?

? 5 ? 2 ? 2? ? ? ? 3 ? 2 ? (1 分) 分) ? ? 4 。 ?? 2 2 ? 3 ? ?
4 、 设 向 量 组 ?1 ? (1,1,1,1) , ? 2 ? (1, 2,1, 0) , ? 3 ? (2,3, 2,1) , ? 4 ? (1, 2,3, 0) ,
T T T T

? 5 ? (1, 2, 4,1)T , (1)求出该向量组的秩; (2)求极大线性无关组; (3)将其余向量用极大
无关组线性表示。 (本题 10 分)

?1 ? 1 (?1 , ? 2 , ? 3 , ? 4 ) ? ? ?1 ? ?1

1 2 1 1? ?1 ? ? 2 3 2 2? 0 ?? ?0 1 2 3 4? ? ? 0 1 0 1? ?0

1 2 1 1? ?1 ? ? 1 1 1 1? 0 ? (2 分) ? ?0 0 0 2 3? ? ? 0 0 0 1? ?0

0 0? ? 1 1 0 0? (2 0 0 1 0? ? 0 0 0 1? 0 1

分)(1)r ? 4 ? n ? 5 (2 分)(2)极大无关组为 ?1 , ? 2 , ? 4 , ? 5 (2 分)(3)? 3 ? ?1 ? ? 2 , ; ; (2 分) 。

? x1 ? 2 x 2 ? 4 x3 ? x 4 ? 0 ? 5、求齐次线性方程组 ?2 x1 ? 4 x 2 ? 8 x3 ? 2 x 4 ? 0 的通解。 (本题 10 分) ?3 x ? 6 x ? 2 x ? 0 2 3 ? 1

第 3 页

1? ? ?1 2 0 ? ? 1 ? 5? ?1 2 4 1? ? ? ? ? ? x1 ? 2 x 2 ? 5 x 4 ? 0 3 ? ,r ( A) ? 2(4 分) ? , (2 分) , A ? ? 2 4 8 2? ? 0 0 1 3 ? 10 ? ? x3 ? x 4 ? 0 ? 3 6 2 0? ? ? ? ? 10 ? ?0 0 0 0 ? ? ? 1 ? ? x1 ? ?2k1 ? 5 k 2 ? x 2 ? k1 ? x2 ? k1 ? 令? ,? ( k1 , k 2 ? R ) 分) (4 。 ?x4 ? k 2 ?x ? ? 3 k 3 2 10 ? ? x4 ? k 2 ?
? x1 ? x 2 ? x3 ? ? ? 6、设线性方程组 ?4 x1 ? x 2 ? 2 x3 ? ? ? 2 ,试讨论 ? 取什么值时,方程组有解或无解,并 ?6 x ? x ? 4 x ? 2? ? 3 2 3 ? 1
在有解时,求全部解。 (本题 12 分)

? ? ?1 1 1 ? ? ?1 1 1 ? ? ? ? 増广矩阵 B ? ? 4 ? 1 2 ? ? 2 ? ? ? 0 ? 5 ? 2 ? 2? ? 3 ? (3 分) ? 6 1 4 2? ? 3 ? ? 0 0 0 1? ? ? ? ? ? ?
(3 ? ? 1 时, r ( A) ? 2 ? r ( B) ? 3 ,方程组无解; 分)

? ?1 0 ? ? ? 1 时, r ( A) ? 2 ? r ( B) ,方程组有解,此时 B ? ? 0 1 ? ? ?0 0 ?

3 5 2 5 0

4? ? 5? 1? , 分) (3 5? ? 0? ?

3 4 ? ? x1 ? ? 5 k ? 5 3 4 ? ? ? x1 ? 5 x3 ? 5 2 1 ? ,令 x3 ? k , ? x 2 ? ? k ? , k ? R ) 分) ( (3 ? 2 1 5 5 ? x 2 ? x3 ? ? 5 5 ? ?x ? k ? 3 ?
四、 证明题(本大题 8 分)

第 4 页

1、设 ? 1 ,? 2 ,? 3 是线性无关的向量组, ? 1 ? ? 1 , ? 2 ? ? 1 ? 2? 2 , ? 3 ? ? 1 ? 2? 2 ? 3? 3 , 证明 ? 1 , ? 2 , ? 3 线性无关。 设 k1 ?1 ? k 2 ? 2 ? k 3 ? 3 ? 0 , k1? 1 ? k 2 (? 1 ? 2? 2 ) ? k 3 (? 1 ? 2? 2 ? 3? 3 ) ? 0 ,整理得

(k1 ? k 2 ? k 3 )?1 ? (2k 2 ? 2k 3 )? 2 ? 3k 3? 3 ? 0 ( 2 分 ) 由 于 ?1 , ? 2 , ? 3 线 性 无 关 , ,
1 1 1 ?k1 ? k 2 ? k 3 ? 0 ? , , ?2k 2 ? 2k 3 ? 0 (2 分) 0 2 2 ? 6 ? 0 ,方程组只有零解 k1 ? k 2 ? k 3 ? 0 (2 分) ?3k ? 0 0 0 3 ? 3
所以 ?1 , ? 2 , ? 3 线性无关(2 分) 。

第 5 页


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