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2013年12月月考高二数学试卷


2013 年高二年级十二月数学试卷
★祝考试顺利★
考试时间:120分钟,试卷满分:150分
一.选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的) 1、如果点 (5, a) 在两条平行直线 6 x ? 8 y ? 1 ? 0 和 3x ? 4 y ? 5 ? 0 之间,则整数 a 的值为 ( ) A、-5 2、已知双曲线

B、5

C、-4

D、4

x2 y2 ? ? 1 的左焦点为 F1 ,左右顶点分别为 A1 , A2 , P 为双曲线上任意一 a2 b2
) D、以上情况都有可能

点,则分别以线段 PF1 , A1 A2 为直径的两个圆的位置关系为( A、相离 B、相交 C、相切

x2 y2 3、如果 AB 是椭圆 2 ? 2 ? 1 的任意一条与 x 轴不垂直的弦,O 为椭圆的中心,e 为椭圆 a b
的离心率, M 为 AB 的中点,则 k AB ? kOM 的值为( A、 1 ? e
2

) D、 e ? 1

B、 e ? 1
2

C、 1 ? e

4、设 F1 , F2 是双曲线

x2 ? y 2 ? 1 的两个焦点,点 P 在双曲线上,且 PF1 ? PF2 ? 0 ,则 4
) B、 4
2

PF1 ? PF2 的值为(
A、 2

C、 2 2

D、8

5、圆心在第一象限, 且半径为 1 的圆与抛物线 y ? 2 x 的准线和双曲线 线都相切,则圆心的坐标为( ) A、 ( ,

x2 y2 ? ? 1 的渐近 16 9

1 13 1 7 )或( , ) 2 8 2 8

( B、 , )

1 7 2 8

C、 ( ,

1 13 ) 2 8

( ? D、 ? , )

1 2

7 8

x2 y2 5 ?1 6、定义:离心率 e ? 的椭圆为“黄金椭圆”已知椭圆 E: 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的 2 a b
一个焦点为 F (c,0)(c ? 0) ,若 a, b, c 不是等比数列,则( )

A、E 是“黄金椭圆” C、E 不一定是“黄金椭圆”
2

B、E 一定不是“黄金椭圆” D、可能不是“黄金椭圆”

7、设 O 为坐标原点, 为抛物线 y ? 4 x 的焦点,A 为抛物线上的一点, OA ? AF ? ?4 , 若 F 则点 A 坐标为( A、 2,2 ? 2) ( ) B、 1,2) ( C、 1,?2) (

( D、 2,2 2)

8、双曲线

x2 y2 ? ? 1 的一条渐近线与抛物线 y ? x 2 ? 1 只有一个公共点,则双曲线的离心 a2 b2

率为( ) A、

5 4

B、 5

C、

5 2

D、 5

9、椭圆

x2 y2 x2 ? ? 1 和双曲线 ? y 2 ? 1 的公共焦点为 F1 , F2 , P 是两曲线的一个交点, 6 2 3


那么 cos ?F1 PF2 的值为( A、

1 3
2

B、

2 3

C、

7 3

D、

1 4

10、设抛物线 y ? 2 x 的焦点为 F ,过点 M ( 3 ,0) 的直线与抛物线相交于 A, B 两点,与抛 物线的准线相交于 C ,|BF|=2,则 ?BCF 与 ?ACF 的面积之比为 A、 ( D、 )

1 2

B、

4 5

C、

2 3

4 7

二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分)
?x ?2 x2 y2 ? 11、 已知椭圆 M : 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的面积为 ?ab ,M 包含于平面区域 R : ? ?y ? 3 ? a b

内,向 R 内随机投一点 O ,点 O 落在椭圆 M 内的概率为
?
2 2

? ,则椭圆 M 的方程为 4

12、对于任意 n ? N ,抛物线 y ? (n ? n) x ? (2n ? 1) x ? 1 与 x 轴交于 An , Bn 两点,以

An Bn 表示该两点的距离,则 A1 B1 ? A2 B2 ? ... ? A2011B2011 ?

x ? y 2 ? 1 的左焦点, O 为坐标原点,点 P 在椭圆上,则 PF1 ? PO 的取 13、设 F1 是椭圆 4
值范围是 14、已知双曲线

2

x2 y2 ? ? 1 的右焦点是 F ,右顶点是 A ,虚轴的上端点是 B ,且 a2 b2

AB ? AF ? ?1 , ?BAF ? 120 0 ,则双曲线的离心率为

15、过点 M (1,0) 作直线与抛物线 y ? 4 x 交于 A, B 两点,则
2

1 1 ? ? AM BM

三、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分。解答应写出必要的演算过程和步骤)

16、(12 分)设双曲线 C :

x2 ? y 2 ? 1(a ? 0) 与直线 l : x ? y ? 1 相交于两个不同的点 A, B 2 a

(1)求双曲线 C 的离心率 e 的取值范围 (2)设直线 l 与 y 轴的交点为 P ,若 PA ?

5 PB ,求 a 的值 12

17、(12 分)已知抛物线 C : y ? 4 x 的焦点为 F ,过点 K (?1,0) 的直线 l 与 C 相交于 A, B
2

两点,点 A 关于 x 轴的对称点为 D (1)证明:点 F 在直线 BD 上

(2)设

FA ? FB ?

8 9 ,求 ?BDK 的内切圆 M 的方程

18、(12 分)如图所示已知 ?OPQ 的面积为 S ,且 OP ? PQ ? 1 (1)若 S ? ( 1 , 3 ) ,求向量 OP 与 PQ 的夹角 ? 的取值范围

2 2

(2)设 OP ? m ,S ?

3 以 当 求 m , O 为中心,P 为焦点的椭圆经过点 Q , m ? 2 时, OQ 4

的最小值,并求出此时的椭圆方程

19、(12 分)在直角坐标平面中, ?ABC 的两个顶点 A, B 的坐标分别为

A(?

7 两动点 M , N 满足 MA ? MB ? MC ? 0 ,NC ? 7 NA ? 7 NB 向 a,0)( a ? 0) , 7

量 MN 与 AB 共线 (1)求 ?ABC 的顶点 C 的轨迹方程 (2)若过点 p (0, a ) 的直线与(1)中所求轨迹相交 E, F 于两点,求 PE ? PF 的取值范围

20、(13 分)已知平面上两定点 M (0,?2), N (0,2) , P 为一动点,满足

MP ? MN ? PN ? MN

,

(1) 求动点 P 的轨迹 C 的方程 (2) 若 A, B 是轨迹 C 上的两个不同动点,且 AN ? ? NB ,分别以 A, B 为切点作轨迹 C 的切 线,设其交点为 Q ,证明 NQ ? AB 为定值

21、(14 分)已知椭圆 C :

x2 y2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 3 ,过右焦点 F 的直线 l 与 2 a b 3
2 2

椭圆 C 相交于 A, B 两点,当直线 l 的斜率为 1 时,坐标原点 O 到直线 l 的距离为 (1)求 a, b 的值

(2)椭圆 C 上是否存在点 P ,使得当直线 l 绕点 F 转到某一位置时,有 OP ? OA ? OB 成 立?若存在,求出所有的点 P 的坐标与直线 l 的方程;若不存在,说明理由


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