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广东省各市2015年高考数学一模试题分类汇编 解析几何 理


广东省各市 2015 年高考一模数学理试题分类汇编 解析几何
一、选择题 1、(2015 届广州市)直线 x ? ay ? 1 ? 0 与圆 A. 相交 B. 相切

x 2 ? ? y ? 1? ? 4
2

的位置关系是 D. 不能确定

C. 相离

x2 ? y2 ? 1

C 2、(2015 届江门市)双曲线 : 4 的两条渐近线夹角(锐角)为 ? ,则 tan ? ?
8 A. 15 15 B. 8 3 C. 4 4 D. 3

1 x2 y 2 ? 2 ?1 2 ( a ? 0, b ? 0) b 3、(2015 届揭阳市)已知双曲线 a 的一条渐近线的斜率为 2 ,则该双曲线
的离心率为 A. 3

B.

5

C.2

D.

5 2


4、(2015 届茂名市)以点(3,-1)为圆心且与直线 3x ? 4 y =9 相切的圆的方程是( A、 ( x ? 3) ? ( y ? 1) =1
2 2

B、 ( x ? 3) ? ( y ?1) =1
2 2

C、 ( x ? 3) ? ( y ?1) =2
2 2

D、 ( x ? 3) ? ( y ? 1) =2
2 2

x2 ?
5、(2015 届梅州市)动圆 M 经过双曲线 迹方程是 A、 y =8 x
2

y2 ?1 3 的左焦点且与直线 x=2 相切,则圆心 M 的轨
D、 y =-4 x
2

B、 y =-8 x

2

C、 y =4 x

2

x2 y 2 ? ?1 4 6、(2015 届汕头市)若双曲线的标准方程为 8 ,则它的渐近线方程为(
A. x ? 2 y ? 0 B. 2 x ? y ? 0 C. x ? 2 y ? 0



D. 2 x ? y ? 0 )

2 7、(2015 届湛江市)抛物线 8 y ? x ? 0 的焦点 F 到直线 l : x ? y ? 1 ? 0 的距离是(

5 2 A. 2

B. 2

2 C. 2

3 2 D. 2
)
1

8、(2015 届中山市)设抛物线的顶点在原点,准线方程为 x ? -2, 则抛物线的方程是(

A. y ? 8 x
2

B. y ? ?8 x
2

C. y ? ?4 x
2

D. y ? 4 x
2

选择题参考答案 1、B 2、D 3、D 4、A 5、B 二、填空题

6、A
2

7、B 8、A

1、(2015 届江门市)已知抛物线 C : y ? 8x 的焦点为 F , P 是 C 上一点, 若 P 在第一象限, | PF |? 8 ,则点 P 的坐标为

x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0)学科网 2 b 2、(2015 届茂名市)已知 A,B 为椭圆 a 长轴的两个顶点,M,N 是
椭圆上关于 x 轴对称的两点,直线 AM,BN 的斜率分别为 小值为 1,则椭圆的离心率为____

k1 , k2 ,且 k1k2 ? 0 ,若 | k1 | ? | k2 | 的最

3 3、(2015 届梅州市)以 F1(-1,0)、F2(1,0)为焦点,且经过点 M(1,- 2 )的椭圆的标准方
程为___ 4、(2015 届深圳市)已知圆 C: x ? y ? 8x ? ay ? 5 ? 0 经过抛物线 E: x ? 4 y 的焦点,则抛物
2 2 2

线 E 的准线与圆 C 相交所得弦长为 5、(2015 届佛山市)已知点 为________ 填空题参考答案 1、 (6 , 4 3) 三、解答题

A ? ?2,0?



B ? 0,4?

到直线 l : x ? my ? 1 ? 0 的距离相等,则实数 m 的值

3 2、 2

x2 y2 ? ?1 3 3、 4 4、 4 6

1 ? 或1 5、 2

1、 (2015 届广州市)已知椭圆

C1 的中心在坐标原点,两焦点分别为双曲线

C2 :

x2 ? y2 ? 1 2 的顶点,

C C 直线 x ? 2 y ? 0 与椭圆 1 交于 A , B 两点,且点 A 的坐标为 (? 2, 1) ,点 P 是椭圆 1 上异于点
A , B 的任意一点,点 Q 满足 AQ ? AP ? 0 , BQ ? BP ? 0 ,且 A , B , Q 三点不共线.
求椭圆

???? ??? ?

??? ? ??? ?

C1 的方程;

求点 Q 的轨迹方程; 求 ?ABQ 面积的最大值及此时点 Q 的坐标.
2

x2 y2 6 ? 2 ?1 2 b 2、 (2015 届江门市) 平面直角坐标系 xOy 中, 椭圆 ? :a (a ? b ? 0) 的离心率为 3 ,
焦点为 F1 、 F2 ,直线 l : x ? y ? 2 ? 0 经过焦点 F2 ,并与 ? 相交于 A 、 B 两点. ⑴求 ? 的方程; ⑵在 ? 上是否存在 C 、 D 两点,满足 CD // AB , F1C ? F1 D ?若存在,求直线 CD 的方程;若不 存在,说明理由.

3、 (2015 届揭阳市)在平面直角坐标系

xoy 中,已知点 A(0, 1) ,点 B 在直线 l1 : y ? ?1 上,点 M 满

uuu r uur uuu r uu u r uuu r uu r MB / /OA , MA ? AB ? MB ? BA ,点 M 的轨迹为曲线 C . 足
(1)求 C 的方程; (2)设直线

l2 : y ? kx ? m 与曲线 C 有唯一公共点 P ,且与直线 l1 : y ? ?1 相交于点 Q ,试探究,

在坐标平面内是否存在点 N ,使得以 PQ 为直径的圆恒过点 N ?若存在,求出点 N 的坐标,若不 存在,说明理由. 4、(2015 届茂名市)已知 F(0,1),直线 l:y=-1,P 为平面上的动点,过点 P 作直线 l 的垂线, 垂足为 Q,且 (1)求动点 P 的轨迹 C 的方程。 (2)设 M 为直线 l1:y=-m(m>2)上的任意一点,过点 M 作轨迹 C 的两条切线 MA,MB,切 点分别为,B,试探究直线 l1 上是否存在点 M,使得△MAB 为直角三角形?若存在,有几个这样的 点,若不存在,请说明理由。 5、 (2015 届梅州市)已知抛物线 C: y ? 2 px( p ? 0) 的焦点为 F,A 为 C 上异于原点的任意一点,
2

过点 A 的直线 l 交 C 于另一点 B,交 x 轴于点 D,且有丨 FA|=|FD|,当点 A 的横坐标为 3 时,△ ADF 为正三角形。 (1) 求 C 的方程, (2) 若直线 l1//l,且 l1 和 C 有且只有一个公共点 E, ①证明直线 AE 过定点,并求出定点坐标 ; ②△ABE 的面积是否存在最小值,若存在,请求出最小值,若不存在,请说明理由。 6、 (2015 届汕头市)在平面直角坐标系 x?y 中,已知动点 ? 到两个定点 距离的和为定值 4 .
3

F1 ? 2, 0

?

? ,F ?
2

2, 0

?的

?1? 求点 ? 运动所成轨迹 C 的方程;
? 2 ? 设 ? 为坐标原点,若点 ? 在轨迹 C 上,点 ? 在直线 y ? 2 上,且 ?? ? ?? ,试判断直线 ?? 与
圆 x ? y ? 2 的位置关系,并证明你的结论.
2 2

x2 y 2 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 2 b 7、 (2015 届深圳市)已知椭圆 E : a 的离心率为 2 ,过左焦点倾斜角为 45 ?
4 2 的直线被椭圆截得的弦长为 3 .
(1)求椭圆 E 的方程; (2)若动直线 l 与椭圆 E 有且只有一个公共点,过点 方程.

M ?1, 0?

作 l 的垂线垂足为 Q ,求点 Q 的轨迹

8、(2015 届湛江市)如图,已知椭圆 C 的中心在原点,焦点在 x 轴上,离心率

e?

2 2 , F 是右焦

点, ? 是右顶点, ? 是椭圆上一点, ?F ? x 轴,

?F ?

2 2 .

?1? 求椭圆 C 的方程;

? 2 ? 设直线 l : x ? ty ? ? 是椭圆 C 的一条切线,点 ? ? ?
证明:当 t 、 ? 变化时,以 ?? 为直径的圆过 x 轴上的 点,并求出定点坐标.

2, y1

? ,点 ? ?

2, y2

? 是切线 l 上两个点,


4

x2 y2 ? ?1 9、(2015 届佛山市)已知曲线 E : m m ? 1 .
(Ⅰ) 若曲线 E 为双曲线,求实数 m 的取值范围; (Ⅱ) 已知 m ? 4 ,

A ? ?1,0?

和曲线 C :

? x ? 1?

2

? y 2 ? 16

.若 P 是曲线 C 上任意一点 ,线段 PA 的垂直

平分线为 l ,试判断 l 与曲线 E 的位置关系,并证明你的结论.

解答题参考答案

1、(1)解法 1: ∵ 双曲线 ∴ 椭圆

C2 :

x2 ? y2 ? 1 F (? 2, 0) , F2 ( 2, 0) , …………1 分 2 的顶点为 1

C1 两焦点分别为 F1 (? 2, 0) , F2 ( 2, 0) .

x2 y2 ? 2 ?1 a ?b?0 2 C ? ?, b 设椭圆 1 方程为 a
∵ 椭圆 ∴ ∴

C1 过点 A (? 2, 1) ,
,得 a ? 2 . ………………………2 分 ………………………3 分

2a ? AF1 ? AF2 ? 4
b2 ? a 2 ?

? 2?

2

?2

.

x2 y 2 ? ?1 C 2 ∴ 椭圆 1 的方程为 4 . C2 :

………………………4 分

解法 2: ∵ 双曲线 ∴ 椭圆

x2 ? y2 ? 1 F (? 2, 0) , F2 ( 2, 0) , ……………………1 分 2 的顶点为 1

C1 两焦点分别为 F1 (? 2, 0) , F2 ( 2, 0) .

x2 y2 ? 2 ?1 a ?b?0 2 C ? ?, b 设椭圆 1 方程为 a
∵ 椭圆

C1 过点 A (? 2, 1) ,

2 1 ? 2 ?1 2 b ∴ a .
. ∵ a ?b ?2,
2 2

① ②

………………………2 分 ………………………3 分

5

由①②解得 a ? 4 , b ? 2 .
2 2

x2 y 2 ? ?1 C 2 ∴ 椭圆 1 的方程为 4 .
(2)解法 1:设点 Q( x, y ) ,点 P( x1 , y1 ) ,

………………………4 分

C 由 A (? 2, 1) 及椭圆 1 关于原点对称可得 B ( 2, ?1) ,

??? ? ??? ? AP ? ( x1 ? 2, y1 ?1) , AQ ? ( x ? 2, y ? 1) ∴ , ??? ? ??? ? BQ ? ( x ? 2, y ?1) , BP ? ( x1 ? 2, y1 ?1) .
???? ??? ? AQ ? AP ? 0 , 得 ( x ? 2)( x1 ? 2) ? ( y ?1)( y1 ?1) ? 0 , ……………………5 分 由


( x ? 2)( x1 ? 2) ? ?( y ?1)( y1 ?1) .



??? ? ??? ? BQ ? BP ? 0 , 得 ( x ? 2)( x1 ? 2) ? ?( y ?1)( y1 ?1) . ② ……………6 分 同理, 由
① ? ②得

( x2 ? 2)( x12 ? 2) ? ( y2 ?1)( y12 ?1) .



………………………7 分

x12 y12 ? ?1 C x2 ? 4 ? 2 y12 , 2 由于点 P 在椭圆 1 上, 则 4 ,得 1
代入③式得 当 当

?2( y12 ?1)( x2 ? 2) ? ( y2 ?1)( y12 ?1) .

y12 ?1 ? 0 时,有 2 x2 ? y 2 ? 5 , y12 ?1 ? 0 ,则点 P(? 2, ?1) 或 P( 2,1) ,此时点 Q 对应的坐标分别为 ( 2,1) 或
………………………8 分

(? 2, ?1) ,其坐标也满足方程 2 x2 ? y 2 ? 5 .

当点 P 与点 A 重合时,即点 P (? 2, 1) ,由②得 y ? 2x ? 3 ,
2 2 ? ? 2 x ? y ? 5, ? ? y ? 2 x ? 3, 得点 Q 的坐标为 解方程组 ?

?

? 2 ? , ? 2 ? ? ? 2, ?1 ? 2 ? ?. 或

?

? 2 ? ? ,2? ? ? ? ? 2,1 ? 2 Q ?. 同理, 当点 P 与点 B 重合时,可得点 的坐标为 或

?

?

∴点 Q 的轨迹方程为 2 x ? y ? 5 , 除去四个点
2 2

?

? 2 ? , ? 2 ? ? ? ? 2,1 2, ?1 ? 2 ? ?, , ,

?

?

?

6

? 2 ? ? ? ? 2 ,2? ? ? ?.
解法 2:设点 Q( x, y ) ,点 P( x1 , y1 ) ,

………………………9 分

C 由 A (? 2, 1) 及椭圆 1 关于原点对称可得 B ( 2, ?1) ,

???? ??? ? ??? ? ??? ? AQ ? AP ? 0 BQ ? BP ? 0, ∵ ,

∴ AP ? AQ , BP ? BQ .

y1 ? 1 y ?1 ? ? ?1 x1 ? ? 2 x ? 2 x ? 2 ∴ 1 ,①

?

?

……………………5 分

y1 ? 1 y ?1 ? ? ?1 x1 ? 2 x1 ? 2 x ? 2 . ②

?

?

……………………6 分

y12 ? 1
①?② 得

x12 ? 2

?

y2 ?1 ?1 x2 ? 2

. (*)

………………………7 分

∵ 点 P 在椭圆

C1 上,

x12 y12 x2 ? ?1 y12 ? 2 ? 1 2 2 , ∴ 4 ,得

1 2 x1 2 2 ? y ?1 ? 1 ?1 y 2 ? 1 ? 2 ?1 2 2 x ?2 x ?2 代入(*)式得 1 ,即 2 x ? 2 , 1?

化简得 2 x ? y ? 5 .
2 2

若点 P(? 2, ?1) 或 P( 2,1) , 此时点 Q 对应的坐标分别为 ( 2,1) 或

(? 2, ?1) ,其坐标也满足方程 2 x2 ? y 2 ? 5 .

………………………8 分

当点 P 与点 A 重合时,即点 P (? 2, 1) ,由②得 y ? 2x ? 3 ,
2 2 ? ? 2 x ? y ? 5, ? ? y ? 2 x ? 3, 得点 Q 的坐标为 解方程组 ?

?

? 2 ? , ? 2 ? ? ? 2, ?1 ? 2 ? ?. 或

?

? 2 ? ? ,2? ? ? ? 2,1 ? 2 Q ?. 同理, 当点 P 与点 B 重合时,可得点 的坐标为 或?

?

?

∴点 Q 的轨迹方程为 2 x ? y ? 5 , 除去四个点
2 2

?

? 2 ? , ?2 ? ? ? ? ? 2,1 2, ?1 ? 2 ?, , ,

?

?

?

? 2 ? ? ? ? 2 ,2? ? ? ?.

………………………9 分

7

x ? 2y
(3) 解法1:点 Q

? x, y ? 到直线 AB : x ?
S?

2 y ? 0 的距离为

3

.

△ ABQ 的面积为

x ? 2y 1 ( 2 ? 2) 2 ? (?1 ? 1) 2 ? 2 3 ………………………10 分
? x ? 2 y ? x 2 ? 2 y 2 ? 2 2 xy
. ………………………11 分

2 2 xy ? 2 ? (2 x) ? (


y y y2 2x ? ) ? 4 x2 ? 2 (当且仅当 2 时等号成立) 2

S ? x 2 ? 2 y 2 ? 2 2 xy ? x 2 ? 2 y 2 ? 4 x 2 ?


y2 5 5 2 ? 5x 2 ? y 2 ? 2 2 2 . ……12 分

2x ?
当且仅当

y 2 时, 等号成立.

? ? y ? 2 2 , , ?x ? ? , ?x ? ?2 x ? 2 ? ? 2 2 ? ? y ? 2, ? y ? ?2. ?2 x 2 ? y 2 ? 5, 由? 解得 ? 或?

………………………13 分

? 2 ? ? ? 2 5 2 , 2 ? , ? 2 ? ? ? ? ? 2 ? ? 2 ? ABQ Q ? ? ? ? .…14 分 2 ∴△ 的面积最大值为 , 此时,点 的坐标为 或
AB ?

解法2:由于

?

2? 2

?

2

? ? ?1 ? 1? ? 2 3
2



故当点 Q 到直线 AB 的距离最大时,△ ABQ 的面积最大.………………………10分 设与直线 AB 平行的直线为 x ? 2 y ? m ? 0 ,

? ? x ? 2 y ? m ? 0, ? 2 2 2 2 ? 2 x ? y ? 5, 由? 消去 x ,得 5 y ? 4 2my ? 2c ? 5 ? 0 ,



? ? 32m 2 ? 20 ? 2m 2 ? 5 ? ? 0
m?

m??
,解得

5 2 2 .

………………………11分



5 2 2 5 2 2 x?? m?? x? y ? ? 2 y ? 2 2 ,则 2 ;若 2 ,则 2 .…12分 , ,

? 2 ? ? ? 2 , 2 ? , ? 2 ? ? ? ? ? 2 ? ? 2 ? Q ? ? ? ? 时,△ ABQ 的面积最大,其值为 故当点 的坐标为 或

8

S?

1 AB ? 2

2 ? 2?2 2 12 ?

? 2?

2

?

5 2 2
. ………………………14分

2、⑴依题意 F2 (2 , 0) , c ? 2 ……2 分,由

e?

c 6 ? a 3 得 a ? 6 ……3 分

x2 y2 ? ?1 b ? a 2 ? c 2 ? 2 ,椭圆 ? 的方程为 6 2 ……4 分
⑵(方法一)若存在满足条件的直线 CD ,∵ CD // AB ,∴

kCD ? k AB ? ?1 ,设直线 CD 的方程为

y ? ? x ? m ……5 分

? x2 y2 ?1 ? ? 2 ?6 2 2 ? y ? ?x ? m 由? ……6 分,得 x ? 3(? x ? m) ? 6 ? 0 ……7 分

4 x 2 ? 6mx ? (3m 2 ? 6) ? 0 , ? ? (?6m) 2 ? 4 ? 4 ? (3m 2 ? 6) ? 96 ? 12m2 ? 0 (*)
……8 分 设 C ( x1 , y1 ) , D( x2 , y 2 ) ,则

x1 ? x 2 ?

3m 3m 2 ? 6 x1 x 2 ? 2 , 4 ……9 分

由已知 F1C ? F1 D ,若线段 CD 的中点为 E ,则 F1 E ? CD ,

k F1E ? ?

1 k CD

?1
……10 分

F1 (?2 , 0) ,

E(

x1 ? x 2 y1 ? y 2 3m m , ) , ) E( 4 4 ……11 分 2 2 即

k F1E


m 4 ?1 ? 3m ?2 4 ……12 分,解得 m ? ?4 ……13 分

m ? ?4 时, 96 ? 12m 2 ? ?96 ? 0 ,与(*)矛盾,∴不存在满足条件的直线 CD
……14 分 ( 方 法 二 ) 假 设 存 在 C ( x1 , y1 ) ,

D( x2 , y2 ) , 线 段 CD 的 中 点 为 E ( x0 , y0 ) , 则

x0 ?

x1 ? x 2 , 2

y0 ?

y1 ? y 2 y1 ? y 2 ? ?1 2 , x1 ? x2 ……5 分

9

? x1 2 y1 2 ? ?1 ? ? 6 2 ? 2 2 1 1 ? x2 ? y 2 ? 1 ( x1 ? x 2 )( x1 ? x 2 ) ? ( y1 ? y 2 )( y1 ? y 2 ) ? 0 ? 2 2 由? 6 两式相减得: 6
1 x0 ? y 0 ? 0 ……7 分,代入、化简得: 3
由已知 F1C ? F1 D ,则 F1 E ? CD ,

①……8 分

k F1E ? ?

1 k CD

?1
……9 分



k F1E ?

y0 ?1 y ? x0 ? 2 x0 ? 2 得, 0

②……10 分

由①②解得

x0 ? ?3,

y0 ? ?1 ,即 E(?3,?1) ……11 分

直线 CD 的方程为: y ? ?( x ? 4) ……12 分

? x2 y2 ?1 ? ? 2 ?6 ? y ? ?x ? 4 2 联立 ? 得 4 x ? 24x ? 42 ? 0 ……13 分
∵ ? ? 24 ? 4 ? 4 ? 42 ? ?96 ? 0 ,方程(组)无解,∴不存在满足条件的直线 CD
2

……14 分

uuu r uur M ( x , y ) MB / /OA 得 B( x, ?1) ,-------------------------------------1 分 3、解:(1)设 ,由

uuu r uuu r uu u r A (0 , 1) MA ? ( ? x ,1 ? y ) MB ? (0, ? 1 ? y ) AB ? ( x, ?2) .--------------------3 分 又 ,∴ , , uuu r uuu r uu u r uuu r uu u r uuu r uu r ( MA ? MB ) ? AB ?0 MA ? AB ? MB ? BA 由 得
即 (? x, ?2 y) ? ( x, ?2) ? 0 ? x ? 4 y ,
2

∴曲线 C 的方程式为 x ? 4 y .----------------------------------------------------5 分
2

(2)解法 1:由曲线 C 关于 则点 N 必在

y 轴对称可知,若存在点 N ,使得以 PQ 为直径的圆恒过点 N ,

y 轴上,设 N (0, n) ,--------------------------------------------------6 分
2 x0 ) 4 ,由直线 l2 : y ? kx ? m 与曲线 C 有唯一公共点 P 知,直线 l2 与曲线 C 相切,

又设点

P( x0 ,

y?


1 2 1 1 x y'? x k ? y ' |x ? x0 ? x0 4 得 2 ,∴ 2 ,---------------------------------------7 分
10

∴直线 2 的方程为

l

y?

2 x0 x ? 0 ( x ? x0 ) 4 2 ,--------------------------------------------8 分

2 x0 ?2 x 2 x? 2 ( 0 ? , ?1) x0 ,∴ Q 点的坐标为 2 x0 令 y ? ?1 得 ,-----------------------------9 分

??? ? ???? x x2 2 ? NP ? ( x0 , 0 ? n), NQ ? ( 0 ? , ?1 ? n) 4 2 x0 ---------------------------------------10 分
∵点 N 在以 PQ 为直径的圆上,

??? ? ???? x 2 x2 x2 NP ? NQ ? 0 ? 2 ? (1 ? n)( 0 ? n) ? (1 ? n) 0 ? n 2 ? n ? 2 ? 0 2 4 4 ∴

(*)
---------------12 分

?1 ? n ? 0 ? 2 x n ? n ? 2 ? 0 解得 n ? 1 ,-------------------------13 分 要使方程 (*) 对 0 恒成立,必须有 ?
∴在坐标平面内存在点 N ,使得以 PQ 为直径的圆恒过点 N ,其坐标为 (0,1) .---------14 分 [解法 2:设点

P( x0 , y0 ) ,由 l2 : y ? kx ? m 与曲线 C 有唯一公共点 P 知,直线 l2 与曲线 C 相切,

y?


1 2 1 1 x y'? x k ? y ' |x ? x0 ? x0 4 得 2 ,∴ 2 ,---------------------------------------6 分

∴直线 2 的方程为

l

y ? y0 ?

x0 ( x ? x0 ) 2 ,--------------------------------------------7 分

令 y ? ?1 得

x?

2( y0 ? 1) 2( y0 ? 1) ( , ?1) x0 x0 ,∴ Q 点的坐标为 ,-------------------------8 分 ( y ? y0 )( y ? 1) ? ( x ? x0 )[ x ? 2( y0 ? 1) ]?0 x0 --------①-----10 分

∴以 PQ 为直径的圆方程为: 分别令 将

x0 ? 2 和 x0 ? ?2 ,由点 P 在曲线 C 上得 y0 ? 1 ,

x0 , y0 的值分别代入①得: ( y ? 1)( y ? 1) ? ( x ? 2) x ? 0 -------------------------------②

( y ? 1)( y ? 1) ? ( x ? 2) x ? 0 --------------------------------------------------------③

? x ? 0, ? x ? 0, ? ? y ? 1. 或 ? y ? ?1. ,-----------------------------------------------12 分 ②③联立解得 ?
∴在坐标平面内若存在点 N ,使得以 PQ 为直径的圆恒过点 N ,则点 N 必为 (0,1) 或 (0, ?1) ,
11

将 (0,1) 的坐标代入①式得,①式,

2(1 ? y0 ) ? (? x0 )[?
左边=

2( y0 ? 1) ] ? 2(1 ? y0 ) ? 2( y0 ?1) ? 0 =右边, x0

将 (0, ?1) 的坐标代入①式得,①式,

(? x0 )[?
左边=

2( y0 ? 1) ] ? 2( y0 ? 1) x0 不恒等于 0,------------------------------------13 分

∴在坐标平面内是存在点 N ,使得以 PQ 为直径的圆恒过点 N ,点 N 坐标为为 (0,1) .--14 分] 4、

12

P p ? 2t F ( , 0) ( , 0) D ( t ,0)( t ? 0) 2 4 5、解:(1)由题意知 ,设 ,则 FD 的中点为 ,
因为 | FA |?| FD | ,由抛物线的定义得: 解得 t ? 3 ? p 或 t ? ?3 (舍去).

3?

p p ?| t ? | 2 2 ,
…………2 分

p ? 2t ?3 由 ?ADF是正三角形,可得 4 ,解得 p ? 2 .
所以抛物线 C 的方程为 y ? 4 x .
2

…………4 分
13

(2)①由(1)知 F (1,0) . 设 则

A( x0 , y0 )( x0 y0 ? 0), D( xD ,0)( xD ? 0) ,因为 | FA |?| FD | , | xD ?1|? x0 ? 1 ,由 xD ? 0 ,得 xD ? x0 ? 2 ,故 D( x0 ? 2,0) ,
k AB ? ? y0 2 , y?? y0 x?b 2 ,

故直线 AB 的斜率为

…………5 分

l l 因为直线 1 和直线 AB 平行,设直线 1 的方程为
y2 ?
代入抛物线方程得

8 8b y? ?0 y0 y0 ……① ?? 64 32b 2 ? ?0 b?? 2 y0 y0 y0 . ,得

由题意方程①的判别式

y??
代入①解得

4 4 ,x ? 2 y0 y0 .
yE ? ? 4 4 xE ? 2 y0 . y0 ,



E( xE , yE ) ,则

…………6 分

k AB

2 y0 ? 4 时,

4 ? y0 yE ? y0 y0 4y ? ?? ? 2 0 2 4 y0 xE ? x0 y0 ? 4 ? 2 y0 4
y ? y0 ? 4 y0 ( x ? x0 ) 2 y0 ?4 ,



可得直线 AE 的方程为

…………7 分



y ? 4 x0 ,整理可得
2 0

y?

4 y0 ( x ? 1) 2 y0 ?4 ,
…………8 分

直线 AE 恒过点 F (1, 0) . 当
2 y0 ? 4 时,直线 AE 的方程为 x ? 1 ,过点 F (1, 0) ,

所以直线 AE 过定点 F (1, 0) .

…………9 分

②由①知,直线 AE 过焦点 F (1, 0) ,

A( x0 , y0 ), E (

4 y0
2

,?

4 2 ), y0 ? 4 x0 . y0

14

| AE |?| AF | ? | FE |? ( x0 ? 1) ? (
由抛物线的定义得

1 1 ? 1) ? x0 ? ? 2 x0 x0 …10 分
m? x0 ? 1 y0 ,

设直线 AE 的方程为 x ? my +1 .因为点

A( x0 , y0 ) 在直线 AE 上,故
y0 ( x ? x0 ) 2 ,



B( x1 , y1 ) ,直线 AB 的方程为 y0 ? 0 ,可得
x??

y ? y0 ? ?

由于

2 y ? 2 ? x0 y0 .

………11 分

y2 ?
代入抛物线方程得

8 y ? 8 ? 4 x0 ? 0 y0 ,

y0 ? y1 ? ?
所以

8 8 4 y1 ? ? y0 ? x1 ? ? x0 ? 4 y0 ,可求得 y0 , x0 ,

………12 分

所以点 B 到直线 AE 的距离为

4 8 ? x0 ? 4 ? m( y0 ? ) ? 1| 4( x0 ? 1) 1 x y0 ? ? 4( x0 ? ) d? 0 2 x x 0 0 . 1? m |

则 ?ABE 的面积

1 1 1 S ? ? 4( x0 ? )( x0 ? ? 2) ? 16 2 x0 x0



………13 分

x0 ?
当且仅当

1 x0 ,即 x0 ? 1时等号成立.
………14 分 ……(1 分)

所以 ?ABE 的面积的最小值为 16. 6、解:(1)由题意知:

PF1 ? PF2 ? 4 ? F1 F2 ? 2 2

所以,由椭圆的定义可知:动点 P 运动的轨迹是: 以 F1 , F2 为焦点,长轴长为 4,焦距为 2 2 的 椭圆,且短半轴长为

22 ?

? 2?

2

? 2

x2 y 2 ? ? 1学科网 2 所以轨迹 C 的方程为 4 ……(4 分)
(2)直线 AB 与圆 x ? y ? 2 相切。……(5 分)
2 2

证明如下:设点 A?m, n? , B?t ,2? ,显然其中 m ? 0 ,
15

因为 OA ? OB ,所以 OA ? OB ? 0 ,即 tm ? 2n ? 0 ,所以

t??

2n m ……(6 分)

①当直线 AB 的斜率不存在时,即 m ? t 时,

n??

t2 2 ,代入椭圆方程可得:

? t2 t ? 2?? ?? 2 ?
2

? ? ? ?4 ? ,解得: t ? ? 2 ,
2 2 2 或 x ? ? 2 ,显然与圆 x ? y ? 2 相切。……(8 分)

2

此时直线 AB 的方程为 x ?

②当直线 AB 的斜率存在,即 m ? t 时,直线 AB 的方程为:

y?2?

n?2 (x ? t) m?t ,即 (n ? 2) x ? (m ? t ) y ? 2m ? tn ? 0 ……(9 分)

d?
此时,圆心 O(0,0) 到直线 AB 的距离 又因为 m ? 2n ? 4 ,
2 2

2m ? tn ( n ? 2) 2 ? ( m ? t ) 2
……(10 分)

t??

2n m

d?
所以

2m ? tn (n ? 2) 2 ? (m ? t ) 2

?

? 2n ? 2m ? ? ? ? ? n ? m? ? 2n ? ? 2n ? m 2 ? n 2 ? 4n ? 2m ? ? ? ? ? 4 ? ? ? ? ? m? ? m?
2m 2 ? 4 ? m 2 m
2

2m 2 ? 2n 2 m m2 ? n2 ?
=

4n 2 4 ? m 2 8 ? 2m 2 2 ? 4 m ? ? ?4 2 m2 m2 =

m2 ? 4 m m 4 ? 8m 2 ? 16 2m 2

? 2
,所以,直线 AB 与圆 x ? y ? 2 相切。
2 2 2 2

=

综上,直线 AB 与圆 x ? y ? 2 相切。……(14 分)

a 2 ? b2 2 2 ? a 2 ,解得 a 2 ? 2b2 , 7、解:(1)因为椭圆 E 的离心率为 2 ,所以

16

x2 y2 ? ?1 2 ? b, 0 ? , 过右焦点倾斜角为 45? 的 b2 故椭圆 E 的方程可设为 2b ,则椭圆 E 的右焦点坐标为
? 直线方程为 l : y ? x ? b .
………………………………………2 分

? x2 y2 ? 2 ? 2 ? 1, b ? 2b ? 2 y ? x ? b, 设直线 l ? 与椭圆 E 的交点记为 A, B ,由 ? 消去 y ,得 3x ? 4bx ? 0 ,
x1 ? 0, x2 ? 4b 4 2b 4 2 AB ? 1 ? 12 x1 ? x2 ? ? 3 , 因为 3 3 ,解得 b ? 1 .

解得

x2 ? y2 ? 1 2 故椭圆 E 的方程为 . ……………………………………………………4 分
(2)(法一)(i)当切线 l 的斜率存在且不为 0 时,设 l 的方程为 y ? kx ? m ,

? y ? kx ? m ? 2 ?x 2 ? ? y ?1 联立直线 l 和椭圆 E 的方程,得 ? 2 , ……………………………………5 分

2k 2 ? 1? x 2 ? 4kmx ? 2m 2 ? 2 ? 0 ? y 消去 并整理,得 ,
因为直线 l 和椭圆 E 有且仅有一个交点,

…………………………6 分

?? ? 16k 2 m 2 ? 4 ? 2k 2 ? 1?? 2m 2 ? 2 ? ? 0
2 2 化简并整理,得 m ? 2k ? 1 .



………………………………………7 分 …………………………………………8 分

因为直线 MQ 与 l 垂直,所以直线 MQ 的方程为:

y??

1 ? x ? 1? k ,

1 ? ? y ? ? ? x ? 1? , k ? ? y ? kx ? m, 联立 ?

1 ? km ? x? , ? ? 1? k 2 ? ?y ? k ? m , ? 1? k 2 解得 ?

………………………9 分

? x2 ? y 2 ?

(1 ? km)2 ? (k ? m)2 k 2 m2 ? k 2 ? m2 ? 1 (k 2 ? 1)(m2 ? 1) m2 ? 1 ? ? ? 2 2 (1 ? k 2 )2 (1 ? k 2 )2 (1 ? k 2 )2 1? k 2 , 把 m ? 2k ? 1
2 2

代入上式得 x ? y ? 2 .



…………………………………11 分 …………………………12 分

(ii)当切线 l 的斜率为 0 时,此时 Q(1,1) ,符合①式.

17

(iii)当切线 l 的斜率不存在时,此时 Q( 2, 0) 或 (? 2,0) ,符合①式. ………13 分 综上所述,点 Q 的轨迹方程为 x ? y ? 2 . ………………………………………14 分
2 2

(法二):设点 Q 的坐标为

Q( x0 , y0 ) ,

(i)当切线 l 的斜率存在且不为 0 时,设 l 的方程为 y ? kx ? m ,
2 2 同解法一,得 2k ? m ? 1 ? 0 ,



…………………………………………8 分

因为直线 MQ 与 l 垂直,所以直线 MQ 的方程为:

y??

1 ? x ? 1? k ,

1 ? ? y ? ? ? x ? 1? , k ? ? y ? kx ? m, 联立 ?
②代入①并整理,有

1 ? x0 ? ?k ? y , ? 0 ? 2 2 ? m ? x0 ? x0 ? y0 , ? y0 解得 ? ②

…………………9 分 ,…10 分

y0 4 ? ? 2 x0 2 ? 2 x0 ? 1? y0 2 ? ? x0 2 ? 2 x0 ? 1?? x0 2 ? 2 ? ? 0

2

?y 即

2

0

? x0 2 ? 2 ?? y0 2 ? x0 2 ? 2 x0 ? 1? ? 0

? y0 2 ? x0 2 ? 2 x0 ? 1 ? y0 2 ? ? x0 ? 1? ? 0 Q M 由点 与点 不重合, ,

? x02 ? y02 ? 2 ? 0 , ③

……………………………………………………11 分 …………………………12 分

(ii)当切线 l 的斜率为 0 时,此时 Q(1,1) ,符合③式.

(iii)当切线 l 的斜率不存在时,此时 Q( 2, 0) 或 (? 2,0) ,符合③式. ………13 分 综上所述,点 Q 的轨迹方程为 x ? y ? 2 . ………………………………………14 分
2 2

(法三):设点 Q 的坐标为

Q( x0 , y0 ) , y ? y0 ? k ( x ? x0 ) ,整理,得 l 的方程为

( i )当切线 l 的斜率存在且不为 0 时,设 l 的方程为

y ? kx ? kx0 ? y0 ,5 分
? y ? kx ? kx0 ? y0 ? 2 ?x 2 ? ? y ?1 联立直线 l 和椭圆 E 的方程,得 ? 2 , 消去 y 并整理,

? 2k 得

2

? 1? x 2 ? 4k ? y0 ? kx0 ? x ? 2 ? y0 ? kx0 ? ? 2 ? 0
2



……………………6 分

18

因为直线 l 和椭圆 E 有且仅有一个交点,
2 2 ?? ? 16k 2 ? y0 ? kx0 ? ? 8 ? 2k 2 ? 1? ?? y0 ? kx0 ? ? 1? ? 0 ? ? , ………………………7 分

化简并整理,得

? y02 ? x02 ? 2kx0 y0 ? 2k 2 ? 1 ? 0 ,
k? 1 ? x0 y0 ,

① ………………………8 分

因为 MQ 与直线 l 垂直,有 ②代入①并整理,有

②……………………………………9 分 ,…10 分

y0 4 ? ? 2 x0 2 ? 2 x0 ? 1? y0 2 ? ? x0 2 ? 2 x0 ? 1?? x0 2 ? 2 ? ? 0

2

?y 即

2

0

? x0 2 ? 2 ?? y0 2 ? x0 2 ? 2 x0 ? 1? ? 0

2 2 2 x0 ? 1 ? y02 ? ? x0 1 ?? ? 点 Q 与点 M 不重合, ? y0 ? x0 ?



0 ?

? x02 ? y02 ? 2 ? 0 , ③………………………………………………………………11 分
(ii)当切线 l 的斜率为 0 时,此时 Q(1,1) ,符合③式. …………………………12 分

(iii)当切线 l 的斜率不存在时,此时 Q( 2, 0) 或 (? 2,0) ,符合③式. ………13 分 综上所述,点 Q 的轨迹方程为 x ? y ? 2 . ………………………………………14 分
2 2

【说明】本题主要考查轨迹方程和椭圆的定义、直线方程、直线与椭圆相切的位置关系,弦长问题, 考查学生运算能力、推理论证以及分析问题、解决问题的能力,考查数形结合、化归与转化思想. 8、

19

9、【解析】(Ⅰ) 因为曲线 E 为双曲线,所以 所以实数 m 的取值范围为

m ? m ?1? ? 0

,解得 0 ? m ? 1 ,

? 0,1? .…………………………………………………4 分

(Ⅱ)结论: l 与曲线 E 相切.………………………5 分

x2 y 2 ? ?1 2 2 3 证明:当 m ? 4 时,曲线 E 为 4 ,即 3x ? 4 y ? 12 ,


P ? x0 , y0 ?

,其中

? x0 ? 1?

2

2 ? y0 ? 16

,……………………………………6 分

y ? x ?1 y ? k? 0 Q? 0 , 0 ? x0 ? 1 ,………………………………7 分 2 ? ,直线 AP 的斜率为 线段 PA 的中点为 ? 2


y0 ? 0 时,直线 l 与曲线 E 相切成立.

2 2 y0 x0 ? 1 ? x0 ? 1 ? x0 ? 1 x0 ? y0 ?1 y? ?? x? y?? x? ? ? y ? 0 时,直线 l 的方程为 2 y0 ? 2 ? ,即 y0 2 y0 当 0 ,…9 分

20

因为

? x0 ? 1? ? y02 ? 16
2

,所以
2

x ? y ?1 ? 2x0 ? 14 ,所以
2 0 2 0
2

y??

x0 ? 1 x ?7 x? 0 y0 y0 ,………………10 分

? x ?1 x ?7? 3x ? 4 ? 0 x? 0 ? ? 12 2 2 y0 y0 ? 3 x ? 4 y ? 12 ? 代入 得 ,
2 2? 2 2 ?4 ? x0 ? 1?2 ? 3 y0 x ? 8 ? x0 ? 1?? x0 ? 7 ? x ? 4 ? x0 ? 7 ? ? 12 y0 ?0 ? ? 化简得 ,…………12 分

? x ? 7? 即 0
所以

2

x 2 ? 8 ? x0 ? 1?? x0 ? 7 ? x ? 16 ? x0 ? 1? ? 0
2 2

,
2

? ? 64 ? x0 ? 1?

? x0 ? 7 ?

2

? 4 ? x0 ? 7 ? ? 16 ? x0 ? 1? ? 0
2

所以直线 l 与曲线 E 相切.……………………………………………………14 分 说明:利用参数方程求解正确同等给分!

21


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