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2017优化方案高考总复习·数学·理(北师大版)专题讲座二知能训练轻松闯关


1.已知|a|=3,|b|=2,(a+2b)· (a-3b)=-18,则 a 与 b 夹角为( ) A.30° B.60° C.120° D.150° 解析:选 B.(a+2b)· (a-3b)=-18, 所以 a2-6b2-a· b=-18, 因为|a|=3,|b|=2, 所以 9-24-a· b=-18, 所以 a· b=3, a· b 3 1 所以 cos〈a,b〉= =

= , |a||b| 6 2 所以〈a,b〉=60°. 2.(2016· 郑州第一次质量预测)已知函数 f(x)=Asin(π x+φ)的部分图像如图所示,点 B,C → → → → 是该图像与 x 轴的交点,过点 C 的直线与该图像交于 D,E 两点,则(BD+BE)· (BE-CE)的 值为( ) A.-1 1 C. 2 1 B.- 2 D.2 → → → 解析: 选 D.注意到函数 f(x)的图像关于点 C 对称, 因此 C 是线段 DE 的中点, BD+BE=2BC. 1 2π → → → → → → 1 → → → → → 又BE-CE=BE+EC=BC,且|BC|= T= × =1,因此(BD+BE)· (BE-CE)=2BC2=2. 2 2 π 3.(2015· 高考重庆卷)在△ABC 中,B=120°,AB= 2,A 的角平分线 AD= 3,则 AC= ________. 解析: 如图,在△ABD 中,由正弦定理,得 AD AB = , sin B sin∠ADB 2 所以 sin∠ADB= . 2 所以∠ADB=45°,所以∠BAD=180°-45°-120°=15°. 所以∠BAC=30°,∠C=30°,所以 BC=AB= 2.在△ABC 中,由正弦定理,得 AC = sin B BC ,所以 AC= 6. sin ∠BAC 答案: 6 4. (2015· 高考天津卷改编)已知函数 f(x)=sin ω x+cos ω x(ω>0), x∈R.若函数 f(x)在区间(- ω,ω )内递增,且函数 y=f(x)的图像关于直线 x=ω 对称,则 ω 的值为________. 解析:f(x)=sin ωx+cos ωx π = 2sin?ωx+ ?, 4? ? 因为 f(x)在区间(-ω,ω)内单调递增,且函数图像关于直线 x=ω 对称, π π π 所以 f(ω)必为一个周期上的最大值,所以有 ω· ω+ =2kπ+ ,k∈Z,所以 ω2= +2k 4 2 4 π,k∈Z. 2π ω π 又 ω-(-ω)≤ ,即ω2≤ , 2 2 π 所以 ω2= , 4 π 所以 ω= . 2 π 答案: 2 5. 已知函数 f(x)=Asin (ωx+φ) ?A>0,ω >0,|φ |<π ,x∈R?的图像的一部分如图所示. 2 ? ? (1)求函数 f(x)的解析式; 2? (2)当 x∈? ?-6,-3?时, 求函数 y=f(x)+f(x+2)的最大值与最小值及相应的 x 的值. 解:(1)由题图知 A=2,T=8, 2π 因为 T= =8, ω π 所以 ω= . 4 又图像经过点(-1,0), π 所以 2sin?- +φ?=0. ? 4 ? π π 因为|φ|< ,所以 φ= . 2 4 π π 所以 f(x)=2sin? x+ ?. 4? ?4 (2)y=f(x)+f(x+2) π π π π π =2sin? x+ ?+2sin? x+ + ? 4? 2 4? ?4 ?4 π π π =2 2sin? x+ ?=2 2cos x. 4

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