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江西省乐安县第一中学2015-2016学年高二数学下学期期中试题 文


2015-2016 学年度乐安一中高二下学期期中试卷数学(文科)
一、选择题 1.复数 A. 2. A. 要 3.等差数列 {an } 中, a3 ? 5 , a4 ? a8 ? 22 ,则 a9 的值为( ) (i 是虚数单位)的虚部是( ) B. C.3 D.1 ) 条件 既不充分也不必

在空间中,“两条直线没有公共点”是“这两条直线平行”的(

充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D.

A.14 B.17 C.19 D.21 2 4.如果函数 f(x)=2x ﹣4(1﹣a)x+1 在区间[3,+∞)上是增函数,则实数 a 的取值范围是( ) A. (﹣∞,﹣2] B.[ ﹣2,+∞) C. (﹣∞,4] D.[4,+∞) 5.已知 a ? (0,

?
2

),cos ? ?

? 3 ,则 cos(? ? ) 等于( 6 3
6 6
C. ?

)

A.

1 6 ? 2 6

B. 1 ?

1 6 ? 2 6

D. ?1 ?

6 6

x ? 2mx ? 4 6 . 已 知 命 题 p : 函 数 f ( x)? 2 在 [2,? ?) 上 单 调 递 增 ; 命 题 q : 关 于 x 的 不 等 式 mx2 ? 2(m ? 2) x ? 1 ? 0 对任意 x ? R 恒成立.若 p ? q 为真命题, p ? q
题,则实数 m 的取值范围为 (1,4) A. B. [?2,4] 1] ? (2,4) 1) ? (2, 4) B. C. (??, D. (??, 7.一个几何体的三视图如右图所示,则这 个几何体的体积为 ( ) 为假命

A.

4 3
A. >

B. 1

C.

5 2
C. ≥2

D. 5

8.若 a>0,b>0,且 a+b=4,则下列不等式中恒成立的是( ) B. + ≤1 D. ≤

9.阅读如下图所示程序框图,运行相应的程序,则程序运行后输出的结果( )

A. 7

B. 9
2

C. 10

D. 11

x2 y 2 5 10.已知抛 物线 y ? ?4 2 x 的焦点到双曲线 2 ? 2 ? 1? a ? 0, b ? 0 ? 的一条渐近线的距离为 ,则该 a b 5
双曲线的离心率为( )

1

A.

5 2

B. 2

C.

10 3

D. 5 ? 1

11.已知函数 f ( x) ?

1 3 1 2 ax ? bx ? x ,连续抛掷两颗骰子得到的点数分别是 a , b ,则函数 f ?( x ) 在 x ? 1 3 2
) C.

处取得最值的概率是( A.

1 36

B.

1 18

1 12

D.

1 6

?| log 3 x |, 0 ? x ? 3 ? 12. 已知函数 f ( x) ? ? , 若方程 f ( x) ? m 有四个不同实根, 则 m 的范围是 A. (?1, 2) ? ? cos( x),3 ? x ? 9 ? 3 ?
B. (0, ) 二、填空题 13.已知向量 a , b 夹角为 60°,且 | a | =1, | 2a ? b | = 2 3 ,则 | b | =__________. 14.已知g ( x) ? 1 ? x , f [ g ( x)] ?
2

1 2

C. [1, ??)

D. (0,1)

?

?

?

? ?

?

1 ? x2 1 ( x ? 1),f ( )的值 _______ 2 x 2
2 2

15 . 若 直 线 2ax ? by ? 2 ? 0 , (a ? 0, b ? 0) 平 分 圆 x ? y ? 2x ? 4 y ? 6 ? 0 , 则 是 .

1 2 ? 的最小值 a b

16.已知 cos

?
3

?

2? 3? 1 cos cos cos ? 7 7 7 8

?

1 2

cos

?
5

cos

2? 1 ? 5 4

根据以上等式,可猜想出的一般结论是____. 三、解答题 17.(10 分) 已知平面直角坐标系 xoy 中,以 O 为极点, x 轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线 C1 方

1 ? x ? ?1 ? t ? 2 ( t 为参数) 程为 ? ? 2sin ? . C2 的参数方程为 ? . ? ?y ? 3 t ? ? 2
(Ⅰ)写出曲线 C1 的直角坐标方程和 C2 的普通方程; (Ⅱ)设点 P 为曲线 C1 上的任意一点,求点 P 到曲线 C2 距离的取值范围. 18(12 分) .为了调查每天微信用户使用微信的时间,某经销化妆品的微商在一广场随机采访男性、女性 用户各 50 名,其中每天玩微信超过 6 小时的用户列为“微信控” ,否则称其为“非微信控” ,调查结果如 下: 微信控 男性 女性 26 30 非微信控 24 20 合计 50 50
2

合计

56

44

100

(1)根据以上数据,能否有 60 ﹪的把握认为“微信控”与“性 别”有关? (2)现从调查的女性用户中按分层抽样的方法选出 5 人赠送营养面膜 1 份,求所抽取 5 人中“微信控” 和“非微信控”的人数; (3)从(2)中抽取的 5 人中再随机抽取 3 人赠送 200 元的护肤品套装,求这 2 人中至少有 1 人为“非 微 信控”的概率. 参考公式: K 2 ? 参考数据:

n(ad ? bc)2 ,其中 n ? a ? b ? c ? d . ? a ? b?? c ? d ?? a ? c ??b ? d ?

P( K 2 ? k0 )

0.50

0.40

0 .25

0.05

0.025

0.010

k0

0.455

0.708

1.321

3.840

5.024

6.635

19(12 分) .设数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ? n2 , {bn } 为等比数列,且 a1 ? b1 , b2 (a2 ? a1 ) ? b1 . (1)求数列 {an } , {bn } 的通项公式; (2)设 Cn ? an ? bn ,求数列 {cn } 的前 n 项和 Tn .

20(12 分)如图,在四棱锥 P﹣ABCD 中,底面 ABCD 为平行四边形,E 为侧棱 PA 的中点. (1)求证:PC∥平面 BDE; (2)若 PC⊥PA,PD=AD,求证:平面 BDE⊥平面 PAB.

21(12 分) .已知 f ( x) ?

1 2 ax ? (2a ? 1) x ? 2 ln x . 2
值;

(1)求曲线 y ? f ( x) 在 x ? 1 和 x ? 3 处的切线互相平行,求 a 的 (2)求 f ( x ) 单调区间.

(3)设 g ( x) ? x ? 2 x ,若对任意的 x1 ?[0, 2] ,存在 x2 ?[0, 2] 使 f ( x1 ) ? g ( x2 ) ,求 a 的范围.
2

3

22(12 分)已知椭圆 C :

x2 y2 6 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 ,以原点 O 为圆心,椭圆 C 的长半轴这半 2 a b 3

径的圆与直线 2 x ? 2 y ? 6 ? 0 相切. (1)求椭圆 C 标准方程; (2)已知点 A, B 为动直线 y ? k ( x ? 2)(k ? 0) 与椭圆 C 的两个交点,问:在 x 轴上是否存在点 E ,使

??? ? 2 ??? ? ??? ? EA ? EA? EB 为定值?若存在,试求出点 E 的坐标和定值,若不存在,说明理由.

4

答题卡(文科) 一选择题(60 分) 题号 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

二 填空题

13.

14

15 三 解答题 17(10 分)

16

18

5

19

20

6

21

22

7

参考答案文科 1.B 2.B 3. B 4.B 5.A 6.B 7.A 8.D 9.B 10.C 11.B 12.D 13. 4 14. [3,+∞ 15.3+2√2 16. cos

?
2n ? 1

cos

2? 3? n? 1 cos ? cos ? n 2n ? 1 2n ? 1 2n ? 1 2
2

2 17. (I) C1 的直角坐标方程: x ? ? y ? 1? ? 1 ,

C2 的普通方程: 3x ? y ? 3 ? 0 .

5分

(II)由(I)知, C1 为以 ? 0,1? 为圆心, r ? 1 为半径的圆,

C1 的圆心 ? 0,1? 到 C2 的距离为 d ?

?1 ? 3 3 ?1

?

3 ?1 ? 1 ,则 C1 与 C2 相交, 2

P 到曲线 C2 距离最小值为 0,最大值为 d ? r ?
为 ? 0,

3 ?1 ,则点 P 到曲线 C2 距离的取值范围 2

? ?

3 ? 1? ?. 2 ?

18.(1)由列联表可得

K2 ?

n(ad ? bc)2 100(26 ? 20 ? 30 ? 24)2 ? ? 0.64935 ? 0.708 . (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d ) 56 ? 44 ? 50 ? 50

所以没有 60%的把握认为 “微信控”与“性别”有关. (2)依题意可知,所抽取的 5 位女性中,“微信控”有 3 人, “非微信控”有 2 人. (3)记 5 人中的“微信控”为 a,b,c,“非微信控”为 D,E,则基本事件为 (a,b),(a,c),(a,D),(a,E),(b,c),(b,D),(b,E),(c,D),(c,E),(D,E), 共 10 种, 其中至少有 1 人为“非微信控”的基本事件有: (a,D),(a,E) , (b,D),(b,E),(c,D), (c,E),(D,E) ,共 7 种. 所以这 2 人中至少有 1 人为“非微信控”的概率为

7 . 10

19. (1) a1 ? S1 ? 1 ,当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn?1 ? n2 ? (n ?1)2 ? 2n ? 1 , a1 适合上式, 所以 an ? 2n ? 1, n ? N .因为 b1 ? a1 ? 1 , b2 ?
*

b1 1 ? , a2 ? a1 2

又 {bn } 为等比数列,所以其公比 q ? (2) cn ? an ? bn ?

1 b2 1 ? ,所以 bn ? ( ) n ?1 , n ? N * . 2 b1 2

2n ? 1 . 2n ?1

3 5 7 2n ? 1 ? ? ? ? ? n ?1 ,① 2 4 8 2 1 1 3 5 7 2n ? 3 2n ? 1 所以 Tn ? ? ? ? ? ? n ?1 ? .② 2 2 4 8 16 2 2n 1 1 1 1 2n ? 1 2n ? 3 ? 3? ①-②,得 Tn ? 1 ? 1 ? ? ? ? ? n ? 2 ? , n 2 2 4 2 2 2n 2n ? 3 所以 Tn ? 6 ? n ?1 . 2
所以 Tn ? 1 ? 20. (1)连结 AC,交 BD 于 O,连结 OE. 因为 ABCD 是平行四边形,所以 OA=OC.?(2 分) 因为 E 为侧棱 PA 的中点,所以 OE∥PC.?(4 分) 因为 PC? 平面 BDE,OE? 平面 BDE,所以 PC∥平面 BDE.?(6 分) (2)因为 E 为 PA 中点,PD=AD,所以 PA⊥DE.?(8 分) 因为 PC⊥PA,OE∥PC,所以 PA⊥OE. 因为 OE? 平面 BDE,DE? 平面 BDE,OE∩DE=E, 所以 PA⊥平面 BDE. 因为 PA? 平面 PAB,所以平面 BDE⊥平面 PAB.

2 , x 2 (1) f ' (1) ? f ' (3) ? a ? , 3 2 ' (2) f ( x) ? ax ? (2a ? 1) ? ? 0 ,∵ x ? 0 , x
' 21. f ( x) ? ax ? (2a ? 1) ?

∴ ax2 ? (2a ? 1) x ? 2 ? 0 , 即?

?(ax ? 1)( x ? 2) ? 0 , x?0 ?

① a ? 0 时, f ( x ) 在 (0, 2) 递增,在 (2, ??) 递减,

1 1 1 时, f ( x ) 在 (0, 2) , ( , ??) 递增, (2, ) 递减, a a 2 1 1 1 (ⅱ)当 a ? 时, f ( x ) 在 (0, ) , (2, ??) 递增, ( , 2) 递减, 2 a a 1 (ⅲ)当 a ? 时, f ( x ) 在 (0, ??) 递增, 2
② a ? 0 时, (ⅰ) 0 ? a ? (3) f ( x)max ? g ( x)max ? 0 , 由(2)知, a ?

1 1 时, f ( x ) 在 [0, 2] 递增, f ( x)max ? f (2) ? 0 ,∴ ln 2 ? 1 ? a ? . 2 2 1 1 1 1 a ? 时, f ( x) max ? f ( ) ? ?2 ? ? 2 ln a ? 0 恒成立,∴ a ? . 2 a 2a 2

22.(1)由 e ?

6 c 6 6 ,得 ? ,即 c ? a ,① 3 a 3 3

又以原点 O 为圆心,椭圆 C 的长半轴长为半径的圆为 x2 ? y 2 ? a2 , 且与直线 2x ? 2 y ? 6 ? 0 相切,所以 a ?

6 2 ? ( 2)
2 2

? 6 ,代入①得 c=2,

所以 b2 ? a 2 ? c 2 ? 2 .所以椭圆的方程为

x2 y2 ? ? 1. 6 2

? x2 y2 ?1 ? ? (2)由 ? 6 得 (1 ? 3k 2 ) x 2 ? 12k 2 x ? 12k 2 ? 6 ? 0 , 2 ? y ? k ( x ? 2) ?
设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,所以 x1 ? x 2 ?

12k 2 12k 2 ? 6 x ? x ? , , 1 2 1 ? 3k 2 1 ? 3k 2

根据题意,假设 x 轴上存在定点 E ( m,0) ,使得

??? ?2 ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? EA ? EA? AB ? EA? (EA ? AB) ? EA ? EB 为定值,
则有 EA ? EB ? ( x1 ? m, y1 ) ? ( x2 ? m, y2 ) ? ( x1 ? m) ? ( x2 ? m) ? y1 y2

??? ? ??? ?

? ( x1 ? m)(x2 ? m) ? k 2 ( x1 ? 2)(x2 ? 2) ? (k 2 ? 1) x1 x2 ? (2k 2 ? m)(x1 ? x2 ) ? (4k 2 ? m2 )
? (k 2 ? 1) ? 12k 2 ? 6 12k 2 2 ? ( 2 k ? m ) ? ? ( 4k 2 ? m 2 ) 1 ? 3k 2 1 ? 3k 2

(3m 2 ? 12m ? 10)k 2 ? (m 2 ? 6) ? (10 分) 3k 2 ? 1
要使上式为定值,即与 k 无关,则应 3m ? 12m ? 10 ? 3(m ? 6) ,
2 2

即m ?

??? ? ??? ? 7 7 5 2 ,此时 EA ? EB ? m ? 6 ? ? 为定值,定点为 ( ,0 ) . 3 3 9


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