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2.4.2向量数量积


2.4.2 平面向量数量积的坐标表示.模.夹角
学习目标
1.理解两个向量数量积坐标表示的推导过程,能运用数量积的坐标表示进行

向量数量积的运算; 2.能根据向量的坐标计算向量的模,并推导平面内两点间的距离公式; 3.能根据向量的坐标求向量的夹角及判定两个向量垂直

学习重点:平面向量的数量积的坐标表示.模.夹角 学习难点:平面向量数量积坐标运算的应用 探究一:平面向量数量积的坐标运算.模
1.平面向量数量积的坐标表示

x1, y1 ) 若 a= ( , b= ( ,则 a ? b = __________ x2 , y2 ) ____即两个向量的数量积等于
__________ ______
2.两个向量垂直的坐标表示

x1, y1 ) 若两个非零向量 a = ( , b= ( , a ⊥b ? x2 , y2 ) __________ __
3.平面向量的模

x1, y1 ) 1)向量模公式:设 a = ( ,则 a = __________
__ 2)两点间距离公式:若 A( ,则 AB = __________ x, y ), B( x2 , y2 )

例 1:已知 a = (-3,4) , b = (5,2) ,求 a ? b , a , b

练习 1:已知 a = (2,3) , b = (-2,4) , c = (-1,-2) ,求 a ? b , a + b ? a ? b

( )( )

a, b

练习 2:已知 A (1,2), B (2,3),C(-2,5),试判断Δ ABC 的形状,并给出证明

探究二:向量的夹角公式
x1, y1 ) 设两非零向量 a = ( , b= ( , a与b 的夹角为 x2 , y2 ) θ ,则 cos θ = _________
= __________ _______

例 2:已知 a = (5,-7) , b = (-6,-4) ,求 a ? b ,及 a , b 间的夹角 θ

练习 3:已知向量 a = e1 e2 , b = 4e1 + 3e2 ,其中 e1 = (1,0) , e2 = (0,1) 1)求 a ? b 及 a + b 2)求向量 a 与 b 夹角的余弦值

练习 4:已知向量 a = ( 1, x), b = ( 2x + 3, x), 1)若 a ⊥ b ,求 x 的值 2)若 a // b ,求 a b

当堂检测:
? ? ? ? 1 . 已 知 a = ( 3 , 0 ), b = ( -5 , 5 ) 则 a 与 b 的 夹 角 为
( A.450 ) B、600 C、1350 D、1200

? ? ? ? ? ? 2. 已知 a = (1, -2) ,b = (5, 8) ,c = (2, 3) , 则a · ( b ·c ) 的值为
A.34





B、 (34,-68) C、-68 D、 (-34,68) ? ? ? ? 3.已知 a =(2,3) , b = ( -4 , 7 ) 则 向 量 a 在 b 方 向 上 的 投 影 为 ( ) B、
13 5

A. 13

C、

65 5

D、 65

? ? ? ? 4.已知 a =(m-2,m+3) , b =(2m+1,m-2)且 a 与 b 的夹角大于 90°,则实数 m
( ) B、-4/3<m<2 C、m≠2 D、m≠2 且 m≠-4/3 。

A、m>2 或 m<-4/3

5.已知点 A(1,0) ,B(3,1) ,C(2,0)则向量 BC 与 CA 的夹角是

? ? ? ? ? ? ? 6.若| a |=2,| b |= 2 ,a 与 b 的夹角为 45°,要使 k b - a 与 a 垂直,则 k=
7、已知 a = ( λ,2) , b = ( 2,5),且 a 与 b 的夹角是钝角,求 λ 的取值范围。

课堂小结


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