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.平面向量的应用


第 4讲

平面向量的应用

基础诊断

? 夯基释疑
? 考点一:平面向量在平面几何中的应用

概 要

考点突破

? 考点二:平面向量在三角函数中的应用

? 考点三:向量在解析几何中的应用

课堂小结

r />
? 思想方法 ? 易错防范

夯基释疑

1.判断正误(在括号内打“√”或“×”) → → (1)若AB∥AC,则 A,B,C 三点共线.( ) (2)解析几何中的坐标、直线平行、垂直、长度等问题都可以用 向量解决.( ) (3)实现平面向量与三角函数、平面向量与解析几何之间的转 化的主要手段是向量的坐标运算.( ) → → (4)在△ABC 中,若AB· BC<0,则△ABC 为钝角三角形.( ) (5)已知平面直角坐标系内有三个定点 A(-2, -1), B(0, 10), → → → → C(8,0),若动点 P 满足:OP=OA+t(AB+AC),t∈R,则点 P 的轨迹方程是 x-y+1=0.( )

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考点突破 考点一 平面向量在平面几何中的应用
(1)在平行四边形 ABCD 中,AD=1,∠BAD=60°, → → E 为 CD 的中点.若AC·BE=1,则 AB 的长为________.
→ → → 解析 (1)由题意可知, AC=AB+AD, 1→ → → BE=- AB+AD. 2 → → 因为AC· BE=1, 1→ →? → → ? ?- AB+AD?=1, 所以(AB+AD)· ? 2 ? →2 1→ → 1→2 即AD + AB· AD- AB =1.① 2 2 → → → 1→ 因为|AD|=1,∠BAD=60° ,所以AB· AD= |AB|, 2 1→ 1→2 因此①式可化为 1+ |AB|- |AB| =1, 4 2 1 1 → 解得|AB|=0(舍去)或 , 所以 AB 的长为 . 2 2
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例1

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考点突破 考点一 平面向量在平面几何中的应用
例 1 (2)(2014· 天津卷)已知菱形 ABCD 的边长为 2,∠BAD =120°,点 E,F 分别在边 BC,DC 上,BC=3BE,DC=λDF.若 → → AE·AF=1,则 λ 的值为________.

解析(2) 法 一 如 图 , → → → → 1→ AE=AB+BE=AB+ BC, 3 → → → → 1→ → 1→ AF=AD+DF=AD+λ DC=BC+ λAB, 1→? ?→ 1→? → → → ? ?BC+ AB? 所以AE· AF=?AB+3BC?· λ ? ? ? ? ? 1 ?→ → 1→2 1→2 =?1+3λ?AB· BC+ AB + BC λ 3 ? ? ? 1? 4 4 ? ? 解得 λ=2. 1 + = × 2× 2× cos120° + + = 1 , 3λ? λ 3 ?
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考点突破 考点一 平面向量在平面几何中的应用
例 1 (2)(2014· 天津卷)已知菱形 ABCD 的边长为 2,∠BAD =120°,点 E,F 分别在边 BC,DC 上,BC=3BE,DC=λDF.若 → → AE·AF=1,则 λ 的值为________.

解析(2) 法二 如图建立平面直角坐标系. 由题意知: A(0,1),C(0,-1),B(- 3,0),D( 3,0).

由 BC=3BE,DC=λDF, 可求点 E,F 的坐标分别为 ? ? 1? 1? 2 3 1 E(- ,- ),F? 3?1-λ ?,-λ ?, 3 3 ? ? ? ? ? ? 1? 4? 1? 1? 1 2 3 4? ? ? → → ? =-2?1-λ ?+ ?1+λ ?=1, ? 3?1- ?,- -1? ∴AE· AF=?- ,- ?· ? ? 3? ? λ? λ 3 3? ? ? ? ? 1 解得 λ=2. 答案 (1) (2)2 2
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考点突破 考点一 平面向量在平面几何中的应用

规律方法

用平面向量解决平面几何问题时, 在便于建立直角坐 标系的情况下建立平面直角坐标系,这样可以使向量的 运算更简便一些.在解决这类问题时,共线向量定理和 平面向量基本定理起主导作用

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考点突破 考点一 平面向量在平面几何中的应用

【训练 1】(1)已知 O 是平面上的一定点,A,B,C 是平面上不共 → → → → 线的三个动点, 若动点 P 满足OP=OA+λ(AB+AC), λ∈(0, +∞), 则点 P 的轨迹一定通过△ABC 的______心.
解析(1) → → → → 由原等式,得OP-OA=λ(AB+AC), → → → 即AP=λ(AB+AC),
根据平行四边形法则, → → 知AB+AC是△ABC 的中线
→ AD(D 为 BC 的中点)所对应向量AD的 2 倍,
简答

D

所以点 P 的轨迹必过△ABC 的重心.
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考点突破 考点一 平面向量在平面几何中的应用
【训练 1】(2)(2016· 杭州质检)在边长为 1 的菱形 ABCD 中,∠BAD → → =60° ,E 是 BC 的中点,则AC· AE=________.

解析(2) 建立如图平面直角坐标系,

? A?- ? ? ? 3 ? ? 1? 3 ,0?,C? ,0?,B?0,-2?. 2 ? ? ? ? 2 ?

∴E

? 点坐标为? ?

3 1? ,- ?, 4 4?

3 3 1? → → ? ∴AC=( 3,0),AE=? ,- ?, 4? ? 4 3 3 1 9 → → ∴AC· AE= 3× +0× (- )= . 4 4 4 9 答案 (1)重 (2) 4
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考点突破 考点二 平面向量在三角函数中的应用
【例题 2】在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c, ? ? A A? A A? 已知向量 m=?sin 2 ,cos 2 ?,n=?cos 2 ,-cos 2 ?,且 2m· n+|m| ? ? ? ? 2 → → = ,AB· AC=1. (1)求角 A 的大小;(2)求△ABC 的面积 S. 2 A A 2A 解析 (1)因为 2m· n=2sin cos -2cos 2 2 2 π =sin A-(cos A+1)= 2sin(A- )-1, 4 ? π? 2 ? ? 又|m|=1,所以 2m· n+|m|= 2sin A-4 = , 2 ? ? π 1 即 sin(A- )= . 因为 0<A<π, 4 2 π π 3π π π 5π 所以- <A- < , 所以 A- = ,即 A= . 4 4 4 4 6 12
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考点突破 考点二 平面向量在三角函数中的应用
【例题 2】在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c, ? ? A A? A A? 已知向量 m=?sin 2 ,cos 2 ?,n=?cos 2 ,-cos 2 ?,且 2m· n+|m| ? ? ? ? 2 → → = ,AB· AC=1. (1)求角 A 的大小;(2)求△ABC 的面积 S. 2 ?π π? 5π 解析 (2)cosA=cos =cos? + ? 12 ?6 4 ? 6- 2 π π π π =cos cos -sin sin = , 6 4 6 4 4 → → 因为AB· AC=bccosA=1,所以 bc= 6+ 2.
?π π? 6+ 2 5π 又 sinA=sin =sin?6+4 ?= , 12 4 ? ? 1 6+ 2 2+ 3 1 所以△ABC 的面积 S= bcsinA = ( 6+ 2)× = . 2 2 4 2
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考点突破 考点二 平面向量在三角函数中的应用

规律方法
(1)解决平面向量与三角函数的交汇问题,关键是准确利用向 量的坐标运算化简已知条件,将其转化为三角函数中的有关问题 解决. (2)还应熟练掌握向量数量积的坐标运算公式、几何意义、向 量模、夹角的坐标运算公式以及三角恒等变换、正、余弦定理等 知识.

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考点突破 考点二 平面向量在三角函数中的应用
【训练 2】(1)已知 a,b,c 为△ABC 的三个内角 A,B,C 的 对边,向量 m=( 3,-1),n=(cos A,sin A).若 m⊥n,且 acos B +bcos A=csin C,则角 A,B 的大小分别为( π π 2π π π π π π A. , B. , C. , D. , 6 3 3 6 3 6 3 3 )

n=0, 解析 (1)由 m⊥n 得 m· 即 3cos A-sin A=0, ? π? π π 7π ? ? 即 2cos A+6 =0,∵ <A+ < , ? ? 6 6 6 π π π ∴A+ = ,即 A= . 6 2 3 又 acos B+bcos A=2Rsin Acos B+2Rsin Bcos A =2Rsin(A+B)=2Rsin C =c=csin C, π π π π 所以 sin C=1,C= ,所以 B=π- - = . 2 3 2 6
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简答

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考点突破 考点二 平面向量在三角函数中的应用
【训练 2】(2)△ABC 的三个内角 A,B,C 所对的边长分别是 a,b,c,设向量 m=(a+b,sin C),n=( 3a+c,sin B-sin A), 若 m∥n,则角 B 的大小为________.
简答 解析 (2)∵m∥n, ∴(a+b)(sin B-sin A)-sin C( 3a+c)=0, a b c 又∵ = = , sin A sin B sin C

则化简得 a2+c2-b2=- 3ac,

a2+c2-b2 3 ∴cos B= =- , 2ac 2
5π ∵0<B<π,∴B= . 6
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答案

(1)C

5π (2) 6
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考点突破 考点三 向量在解析几何中的应用
例 3 已知平面上一定点 C(2,0)和直线 l:x=8,P 为该平面上 ?→ 1 → ? ?→ 1→ ? 一动点,作 PQ⊥l,垂足为 Q,且?PC+2PQ?·?PC-2PQ?=0. ? ? ? ? (1)求动点 P 的轨迹方程; → → (2)若 EF 为圆 N: x2+(y-1)2=1 的任一条直径, 求PE· PF的最值.

y 解析 (1)设 P(x,y),则 Q(8,y). → 1→ → 1→ P 由(PC+ PQ)· (PC- PQ)=0, 2 2 →2 1→2 C 得|PC| - |PQ| =0, 4 1 2 2 O 2 即(x-2) +y - (x-8)2=0 4 x2 y2 化简得 + =1. 16 12 x2 y2 所以点 P 在椭圆上,其方程为 + =1. 16 12
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Q x 8

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考点突破 考点三 向量在解析几何中的应用
→ → → → → → PF=(NE-NP)· (NF-NP) 解析(2)因PE· → → → → →2 →2 →2 =NP -NF =NP -1, =(-NF-NP)· (NF-NP)
x2 y2 P 是椭圆 + =1 上的任一点,设 P(x0,y0), 16 12
y P F N O E x

2 2 x2 y0 4 y 0 0 2 则有 + =1,即 x0=16- ,又 N(0,1), 16 12 3 1 2 1 →2 2 2 所以NP =x0+(y0-1) =- y0-2y0+17 =- (y0+3)2+20. 3 3 顶点 因 y0∈[-2 3,2 3],所以当 y0=-3 时, y

→ → → 故PE· PF的最大值为 19; NP2 取得最大值 20,

→ 当 y0=2 3时,NP2 取得最小值为 13-4 3(此时 x0=0), → → 故PE·PF的最小值为 12-4 3.
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15 10 5 –8 –4 O 4 -2 3 –5 2 3

x

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考点突破 考点三 向量在解析几何中的应用
规律方法 向量在解析几何中的作用: (1)载体作用, 向量在解析几何问题中出现, 多用于“包装”, 解决此类问题时关键是利用向量的意义、运算脱去 “向量外衣”, 导出曲线上点的坐标之间的关系,从而解决有关距离、斜率、夹 角、轨迹、最值等问题; (2)工具作用,利用 a⊥b?a· b=0;a∥b?a=λb(b≠0),可解 决垂直、平行问题,特别地,向量垂直、平行的坐标表示对于解 决解析几何中的垂直、平行问题是一种比较可行的方法.

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考点突破 考点三 向量在解析几何中的应用
训练 3 如图所示,已知点 F(1,0),直线 l:x=-1,P 为平 → → 面上的一动点,过 P 作直线 l 的垂线,垂足为点 Q,且QP· QF= → → FP· FQ.(1)求动点 P 的轨迹 C 的方程; (2)过点 F 的直线交轨迹 C 于 A,B 两点,交直线 l 于点 M.已 → → → → 知MA=λ1AF,MB=λ2BF,求 λ1+λ2 的值.

解析 (1)设点 P(x,y),则 Q(-1,y), → → → → 由QP· QF=FP· FQ,得 (x+1,0)· (2,-y)=(x-1,y)· (-2,y),
化简得 P 的轨迹 C 的方程为 y2=4x.

y
2

Q
1

P F x
2

–1

O
–1

1

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考点突破 考点三 向量在解析几何中的应用

(2)设直线 AB 的方程为 x=my+1(m≠0).

2 设 A(x1,y1),B(x2,y2),又 M(-1,-m), y 2 ? ?y =4x, 联立方程? 消去 x,得 3 ? ?x=my+1, 2 y2-4my-4=0,Δ=(-4m)2+16>0, ? 1 ?y1+y2=4m, F 故? ? ?y1y2=-4. –2 –1 O 1 → → → → –1 A 由MA=λ1AF,MB=λ2BF,得 –2 2 2 M y1+m=-λ1y1,y2+m=-λ2y2, –3 2 2 整理,得 λ1=-1- ,λ =-1- , my1 2 my2

B

x
2 3

2 1 1 2 y1 + y2 2 4m 所以 λ1+λ2=-2-m( + ) =-2- · =0. y 1 y2 m y1y2 =-2-m· -4
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课堂小结

思想方法
1.向量的坐标运算将向量与代数有机结合起来,这就为向 量和函数的结合提供了前提,运用向量的有关知识可以解决某 些函数问题. 2.以向量为载体求相关变量的取值范围是向量与函数、不 等式、三角函数等相结合的一类综合问题.通过向量的坐标运 算,将问题转化为解不等式或求函数值域,是解决这类问题的 一般方法. 3.向量的两个作用:①载体作用:关键是利用向量的意义、 作用脱去“向量外衣”,转化为我们熟悉的数学问题;②工具作 用:利用向量可解决一些垂直、平行、夹角与距离问题.

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课堂小结

易错防范
1.对三角形“四心”的意义不明,向量关系式的变换出错,向 量关系式表达的向量之间的相互位置关系判断错误等. 2.注意向量夹角和三角形内角的关系,两者并不等价. 3.注意向量共线和两直线平行的关系;两向量 a,b 夹角为锐角 和 a· b>0 不等价.

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(见教辅)

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