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高考数学复习:题型解法训练之填空题的解法


专题二

填空题的解法

专题二

填空题的解法 试题特点

1. 填空题主要考查学生的基础知识、基本技能以及分析问 题和解决问题的能力,其特点是题目小、跨度大、知识 覆盖面广. 从填写内容来看,主要有两类:一类是定量填 写,另一类是定性填写. 2. 近几年来,高考试卷把填空题当做创新改革的 “试验

田”,相继推出了一些题型新颖、构思巧妙、具有相当 深度和明确导向的创新题型,如阅读理解型、发散开放 型、多项选择型、实际应用型等. 这些题型的出现,使高 考数学试卷充满活力,并随之加大了填空题的难度,使 填空题在考查学生思维能力和分析问题、解决问题的能 力等方面提出了更高要求.

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填空题的解法 应试策略

填空题就是不要求写出计算或推理过程,只需要将 结论直接写出的“求解题”. 填空题与选择题也有质的区 别:第一,表现为填空题没有备选项,因此,解答时既 有不受诱误干扰之好处,又有缺乏提示帮助之不足;第 二,填空题的结构往往是在一个正确的命题或断言中, 抽出其中的一些内容(既可以是条件,也可以是结论), 留下空位,让考生独立填上,考查方法比较灵活.

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填空题的解法 应试策略

从历年高考成绩看,填空题失分率一直很高,因为填 空题的结果必须是数值准确、形式规范、表达式最简,稍 有毛病,便是零分. 因此,解填空题要求在“快速、准确” 上下工夫. 由于填空题不需要写出具体的推理、计算过程, 因此要想快速“解答填空题,则千万不可“小题大做”, 而要达到“准确”,则必须合理灵活地运用恰当的方法, 在“巧”字上下工夫. 解填空题的基本原则是“小题不能大做”,解题的基 本策略是“巧做”. 解填空题的常用方法有:直接法、特例 法、数形结合法等.

专题二 填空题的解法 考题剖析 1.(2007?东北师大附中)直线l过双曲线 a ? b ? 1 (a>0, b >0) 的右焦点F,方向向量为v=(a, b),若 原点到 直线l的距离是原点到右准线距离的 2 倍, 则双曲线的离心率为__________
2 2

x

2

y

2

[解析] 设双曲线右焦点为F(c ,0),其中,c2= a2+b2, 依题可得直线l的方程为bx-ay- bc=0,双曲线右准 线方程为x= a ,
2

c

所以

bc a ?b
2 2

=

a

2

c

×

2,即

bc=

2

a2,e=

2

.

[点评]本题主要考查双曲线的性质、点到直线的距离 公式,依条件建立方程求得离心率属直接解法.

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填空题的解法 考题剖析

2. (2007·湖北武钢)已知映射f: A→B,其中B=R,对应法 则:f: x→y=log0.5(2-x)- 1 ? x 对于实数k∈B,在集合A 中不存在原象,则k的取值范围是________. [解析] 由题意k不是函数y=log0.5(2-x)- 1 ? x 值域中的数, 而函数y=log0.5(2-x)- 1 ? x 在定义域(-∞,1]中为单 调函数, ∴值域为(-∞,0],∴k>0 [点评]本题主要考查映射的定义、函数的值域及求法.

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填空题的解法

考题剖析 3. 已知a,b,c为正整数,方程ax2+bx+c=0的两实根x1,x2(x1≠x2),且 |x1|<1,|x2|<1,则a+b+c的最小值为________. [解析]依题意,可知
? ?Δ ? b2 ? ? ? x1 ? x 2 ? ? ? x1 x 2 ? ? ? 4 ac ? 0 , ?? c a b a ? 0, ? 0,

从而可知x1,x2∈(-1,0),所以有
? ? b 2 ? 4 ac > 0 , ? ? f ( ? 1) ? a ? b ? c > 0 , ? c ? x1 x 2 ? < 1 . a ?

?

? b 2 ? 4 ac, ? ?b ? a ? c , ?c ? a. ?

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填空题的解法 考题剖析

又a,b,c为正整数,取c=1,则 a+1>b ? a≥b,所以a2≥b2>4ac=4a ? a>4. 从而a≥5,所以b2>4ac≥20. 又b<5+1=6,所以b=5, 因此a+b+c有最小值为11. 下面可证c≥2时,a≥3,从而b2>4ac≥24,所以b≥5. 又a+c>b≥5,所以a+c≥6,所以a+b+c≥11. 综上可得,a+b+c的最小值为11. [点评] 主要考查二次函数根的分布,和不等式的转化与化归能力.

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填空题的解法 考题剖析

4. 正四面体ABCD的棱长为1,棱AB∥平面α,则正四面体上 的所有点在平面α内的射影构成的图形面积的取值范围是 ________.

[解析] 正四面体有一个性质:不相邻的两条棱是相互垂直的, 在图示的这种情况下,CD平行于平面α时,这时有最大值, 正四面体上的所有点在平面α内的射影为一个“菱形”, 菱形的对角线AB,CD相互垂直 菱形的面积公式为:对角线长度乘积/2 1 S=AB×CD/2=
2

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填空题的解法 考题剖析

当四面体绕AB旋转时,正四面体上的所有点在平面α内的射 影的面积逐渐减小,当CD垂直于平面α时,面积最小,记 CD中点为M,则此时三角形ABM为此时ABCD的所有点在平 面α内的射影, AM=BM= 3 , AB=1,
2

易得:AB上的高MK=

2 2

,S=AB×MK/2=
2 1 ,] 4 2

2 4

此后当正四

面体绕AB旋转时,正四面体上的所有点在平面α内的射影的 面积逐渐变大.故取值范围为[

[点评]考查空间想像的能力,转化与化归能力.

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填空题的解法

考题剖析 5. (2007·陕西宝鸡)f(x)是定义在R上的奇函数,它的 T 最小正周期为T,则f(- 2 )的值为________. [解析]解法1:0取特例.如取函数f(x)=sinx. 2π 则最小正周期T=2π,f(- 2 )=sin(- π)=0 T T T 解法2:∵ f(x+T)=f(x),令x=- 2 则f(- 2 +T)=f(- 2 ) 即f( 2 )=f(- 2 )=-f( 2 ) ∴f(- 2 )=0 [点评]本题主要考查函数的性质,及函数值问题,可用类 比特例的方式思考和解答.
T T T T

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填空题的解法 考题剖析

6. (2007·湖北天恩)已知等差数列{an}的公差d≠0, a1、 a3、a9成等比数列,则
a1 ? a 3 ? a 9 a 2 ? a 4 ? a 10

的值为______.

[解析] 2 a 3 =a a , 即 解法1:由于a1、a3、a9成等比数列,则 1 9 2=a (a +8d)又d≠0,所以a =d,则: (a1+2d) 1 1 1
a1 ? a 3 ? a 9 a 2 ? a 4 ? a10 ? a1 ? ( a1 ? 2 d ) ? ( a1 ? 8 d ) ( a1 ? d ) ? ( a1 ? 3 d ) ? ( a1 ? 9 d )

?

13 d 16 d

?

13 16

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填空题的解法 考题剖析

解法2:取数列1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,则
a1 ? a 3 ? a 9 a 2 ? a 4 ? a10 ? 1? 3? 9 2 ? 4 ? 10 ? 13 16

[点评] 本题主要考查等比数列、等差数列的基础知识,可用 特例也可直接求解,但特例显得轻松些.

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填空题的解法 考题剖析
π
sin A ? sin B
2 2

7. (2007·广东中山)已知A+B= 3 ,则 sin A cos A ? sin B cos B 的值为__________. [解析]解法1: sin A ? sin B 2 sin A ? 2 sin B cos 2 B ? cos 2 A
2 2 2 2

sin A cos A ? sin B cos B

?

sin 2 A ? sin 2 B

?

sin 2 A ? sin 2 B

又A+B= 原式=
? ?

π 3

,则
π 3 ? A ) ? cos 2 A π 3
? cos 2π 3 cos 2 A ? sin 2π 3 2π 3 sin 2 A ? cos 2 A 2π 3 sin 2 A )

cos 2 (

sin 2 A ? sin 2 (

? A)

sin 2 A ? (sin

cos 2 A ? cos

3 2 1 2

cos 2 A ?

3 2 3 2

sin 2 A ? 3

sin 2 A ?

cos 2 A

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解法2: 因为A+B= 故
2

π 3
2

,则取A=0, B=
sin 0 ? sin
2 2

π 3
π 3 π 3

,
? 3

sin A ? sin B sin A cos A ? sin B cos B

? sin 0 cos 0 ? sin

cos

π 3

[点评] 考虑到三角函数的值是一个确定的值,所以可以 取特殊的角来进行代入运算,得到答案,避免了 复杂的计算.

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填空题的解法 考题剖析

8. 在正三棱锥中,相邻两侧面所成二面角 的取值范围是____. [解析] 解法1:考察正三棱锥P-ABC,O为 底面中心,不妨将底面正△ABC固定, 顶点P运动,相邻两侧面所成二面角 为∠AHC.

当PO→0时,面PAB→△OAB,面PBC→△OBC,∠AHC→π π 当PO→+∞时,∠AHC→∠ABC= . π 3 故 3 <∠AHC <π,

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填空题的解法 考题剖析

解法2:不妨设AB=2,PC=x,则x>OC= 等腰△PBC中, 1 S△PBC = 2 x·CH= 等腰△AHC中,sin
1 2

2 3 3

.

1 2

·2·
AC ? AHC 2

x ? 1 ?CH=2
2

1?

1 x
2

? 2 ? CH

1 2 1? 1 x
2

由x> ∴
π 6

2 3 3



π 2

< sin

? AHC 2

< 1,



? AHC 2

?

π 3

< ? AHC < π .

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填空题的解法 考题剖析

[点评] 主要考查多面体、二面角等基础知识,分析问题与解 决问题的能力,注重考生对算法算理的理解.第一种解 法是根据图形进行特殊位置的极限运算,来得快.

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填空题的解法 考题剖析

9. (2007·河北石家庄)已知f(x)=2x+1, (x∈R),若| f(x)-3|<a 的充分条件是|x-1|<b,(a,b>0),则a,b之间的关系_____. [解析] 由|x-1|<b, 得A={x|1-b<x<1+b}; a a 再由|f(x)-3|<a,得B={x|1- 2 <x<1+ 2 }; 所以|x-1|<b是|f(x)-3|<a的充分条件? A ? B,结合 a 数轴 得b≤ 2 [点评] 本题考查不等式的解法、充要条件的判断转化为两个集 合的关系判断,然后利用数轴进行分析,数轴往往用来 判断和进行集合运算.

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10. (2007·江苏南通)若关于x的方 程|x3-ax2|=x有不同的四解,则a的 取值范围为________. [解析] x=0是方程的一个根,其余根即方程|x2-ax|=1(x>0) 的根. 由f(x)=|x2-ax|(x>0)与y=1的交点个数,结合图 a 形可知a>0. 且f( 2 )>1,得a>2.

[点评]可以利用图形来判断方程的根的个数.

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11. 定义运算a*b为:a*b=

?a (a ? b) ? ?b ( a ? b )

, 例如,1*2=1,则函数

f(x)=sinx*cosx的值域为________.

[解析] 由题意可得函数在一个周期内的表达式. 即: f(x) =
? sin x ? ? cos x
? ? sin x ? ? ? cos x ? ? ? sin x ?

sin x ? cos x sin x > cos x
(0 ? x ? ( π π ) 4 5π

=

? x? ), 4 4 5π ( ? x ? 2 π) 4

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填空题的解法 考题剖析

作出图象易得函数的值域为[-1, 22 ]. [点评]首先是要理解定义,然后是正确地根据定义 将函数 具体化,再根据图形处理函数的值域,注意到函 数 的周期性,所以只需用一个特定的周期上的图形即可, 这中间又蕴含了特殊的思想.

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填空题的解法 考题剖析

12. 在直三棱柱ABC-A1B1C1中,底面为直角三角形, ∠ACB=90°,AC=6,BC=CC1= 2,P是BC1上一动 点,则 CP+PA1的最小值是________. [解析] 连结A1B,沿BC1将△CBC1展开与 △A1BC1在同一个平面内,连结A1C, 则A1C的长度就是所求的最小值. 通过 计算可得∠A1C1B=90°. 又∠BC1C=45°,∠A1C1C=135°由 余弦定理,可求得A1C=5 2 . [点评]立体几何中的拆线最值问题往往转化到同一个平 面上来,要结合立体图形与平面图形思考.

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填空题的解法 规律总结

1. 解填空题的一般方法是直接法,除此以外,对于带有一 般性命题的填空题,也可采用特例法,和图形、曲线等 有关的命题可考虑数形结合法. 解题时,常常需要几种方 法综合使用,才能迅速作出正确的结果. 2. 解填空题不要求解题过程,从而结论是判断是否正确的 唯一标准,因此解填空题时要注意如下几个方面:①要 认真审题,明确要求,思维严谨、周密,计算有据、准 确;②要尽量利用已知的定理、性质及已有的结论;③ 要重视对所求结果的检验.


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