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例谈“巧设”解直线题


《 数学之 友》  

2 0 1 2年第 2 4期 

例谈“ 巧设’ ’ 解直线题 
解  索 
单 乐 
( 江苏 省沭 阳县 梦 溪 中学 , 2 2 3 6 9 9 )  

直线是最简单、 最基本 的几何图形之一 , 它的方  程有多种不同的形式. 在使用方程的各种形式时 , 要  注意 各 自的限制条 件 , 避 免设 斜率 而求 解 , 往 往 能 出 
奇制 胜. 下 面介 绍几 种“ 巧设” 直线 问题.  

例 2 已知定点 C ( 口 , b ) ( a b ≠O ) , 过 c作两条  互相垂直的直线 z   与z : , 其中2   交 轴于 A , f : 交Y  
轴 于 日, 求证 : 线段 A B的中点  在一 条定 直线 上.  
解: 如图 , 设点 肘(  , ) , ) ,   由中点坐 标公 式 ,   得 A( 2  , 0 ) , 刀( 0, 2 y ) ,  
J  

1 巧设直线 、 避 免 讨 论 
在解 直线过 定 点 ( a , b ) 的问 题 时 , 学 生通 常 用  常规 的点 斜式设 直 线 的方 程 , 此 时学 生 很 容 易 忽 略  直线 的斜 率 不存 在 的情 况 . 过定点 ( 口 , 6 ) 的 直 线 可 
以用 Y— b=后 (  一 口 ) 和  =a表 示 , 也可 以用  一0=  

l  
B  , 6 )  

贝 Ⅱ A C=( 口一 2 x , b ) ,   B C=( 口 , b一 2 y ) .  
?_- 


,   \ |  
毛y  

‘  ‘一

 



A C上B e .  

O  

|  

m( y—b ) 和 Y= b表 示. 第 一 种 表示 法 中 的 Y—b=k   (  一 。 ) 表示过 定点 ( 口 , 6 ) 斜 率存 在 的直 线 但 不包 含  斜率 不存 在 的直线  =口 ; 第 二 种 表示 过定 点 ( 口 , b )   的直线 Y—b=k ( x—a ) 但 不 包 含斜 率 为 0的直线 Y  


a ( a一  ) + 6 ( 6 一  ) _ 0   整理 , 得2 a x+ 2   一0   一b   = 0 .  

. .

即点  在一条 定 直线 上.  

分析 : 由于题设 条件 中有 一 已知 点 C, 则易 考 虑 

b   如果 能把 握住 这 一 特 征 , 灵 活运 用 , 巧 设 直线 ,  

利用点斜式方程来解决 , 但要对直线 z   与z : 的斜率  是 否存 在进行 分类 讨 论 , 而利 用 向量垂 直 的充 要 条 
件解 答 , 避免 了讨 论 , 计算 更 快捷.  

回避 讨论 , 可 以使 问题简 化.   例 l 过 抛物 线 y 2 =2 p x ( p>0 ) 的焦 点 的直 线  和抛 物 线 相 交 , 两 个 交 点 的纵 坐 标 为 Y , , Y 2 . 求证:  
2  

3 利 用“ 设 而不 求 ’ ’ 法 
“ 设 而不求 ” 就 是指 在 解题 过 程 中 , 根据 题 E t 的  要求 设 出相关 的量 对 应 的未 知 数 , 但 整 个 过 程 中并  不 需要 求 出这 些 未知数 就 可 以使 问题顺 利解 决.   例3   已知 一条 直线 l 被两 条平 行直 线 l 。 : 3  +  
4 ) , 一 7=0和 l 2 : 3 x+4 y+8= 0所 截 得 线 段 长 为  ,  

) , 1 y 2  

一P ?  

证 明: 设过抛物线 y 2=2 p x ( P>0 ) 的 焦 点 的 直 

线方程为 一 譬= m y , 此直线与抛物线的两个交点 
的坐标 为 A(   l , Y 1 ) , a( x : , Y : ) .  
, 

D 

由 J   一 芎   m y ’ 消 去   可 得  一 2 p a r y — p : : 0 .  
【 , ,   = 2  
所以 ,   1 Y 2 =一 P   .  

且 经过 点 ( 2 , 3 ) , 求 直线 1 的方程。   解: 设直 线 z 与1 。 , l 2 的交 点分 别为  (   。 , Y   ) , B  

分析 : 因为过抛物线 Y   = 2 p x ( P> 0 ) 的焦点 的   直线 和抛 物线 有两 个 交 点 , 则 此 直 线 的斜 率 一 定 不 
为 0, 所 以有 上 面的解 法.  

懂:  
两 个方 程相 减 ,  
得3 (   2 一  1 )+ 4 ( y 2 一 Y 1 )+1 5= 0 .  

2 利 用 非 零 向量 垂 直 的 充 要 条 件 
向量垂直的充要条件: 若 口= (  , Y 。 ) , b= ( N 2 , 儿) ,  
则n _ L b=   1   2 + ) ,   Y 2 = Q对于两条直线互相垂直的问  解  题, 如果能根据直线上两点分别 确定出所在直线 的一 个  向量 , 然后利用向量垂直 的条件可  

即 Y 2 一 Y   = 一 亍 (  
F J 3 I A BI =   1 5


) 一  ?  

得 (   。 一   )   + (   一   )   = ( 萼 )   .   所 以 (   一   , )   + 【 寻 (   : 一   ) + 萼 ]   = ( 萼 )   .  
( 下转 第 9 6页)  
?

9I ?  

《 数学 之友》  

2 0 1 2年第 2 4 期 



个方程 , 最终利 用方程 组 突破 本题 的“ 防 线” 1  

3   复 习策略 
基 于 函数 与方 程 思 想 在 高 考 命 题 中 的重 要 地  位, 在 复 习中要有 意 识 地 引 导学 生 运 用 函数 与方 程  思 想 去研究 问题 、 解决 问题 , 具体 如下 :   ( I ) 根据方程 与函数的密切关系 , 尝试将 二元  方程 转化 为 函数来解 决 ;   ( 2 ) 根据不等 式与 函数的密切关系 , 有意识 地  把不 等 式问题 转化 为 函数 问题 , 再 利 用 函数 的 图象 
与性 质 进行处 理 ;  

在方程 中 , 通 过解 方程解 决 ;   ( 5 ) 从分析 问题 的结构人手 , 抓住某 一个关键  变量 , 将等式看成关于这个 主变元 ( 常称为主元 ) 的 
方程 , 利 用方程 的特 征解决 ;   ( 6 ) 根据 几个 变量 间 的 关 系 , 符 合 某 些 方 程 的  性 质和特 征 ( 如 利用 根 与系 数 的关 系 构造 方 程 等 ) ,  

通过研 究方 程所具 有 的性质 和特征 解决.  
参考 文献 :  

[ 1 ] 单鳟. 数学是思维 的科学 [ J ] . 数学通报 ,  
20 01, 6.  

( 3 ) 在解 决实 际问题 中 , 常涉 及 到 最值 问题 , 可  以考虑 通过建 立 目标 函数 , 利 用 函数 求 最 值 的方 法 
加 以解决 ;  

[ 2 ]   涂荣 豹, 王光 明, 宁 连华 . 新 编 数 学 教 学  论[ M] . 上海: 华东师范大学出版社, 2 0 0 6 .   【 3 ] 张奠宙. 中 国数 学 双 基 教 学 【 M] . 上海 :   上海教 育 出版社 , 2 0 0 6 .  

( 4 ) 把 问题 中 的已知 与 未 知建 立 等 量关 系统 一 

( 上接 第 9 3页 )  

本 题 的综 合性 比较 强 , 主要考 察一 次 函数 、 二次  函数 解 析式 的求法 , 利用 直 角坐标 系 中 的长 度 、 坐标 

走越 窄. 故 此应鼓 励学 生 打破常 规 , 发 挥独 创性.   当然思维能力 的培养不是靠一两道题 的变式就 能 

等计 算 的方 法 , 直 线 和圆 的位置关 系的判 定方 法 , 以  及转 化 的思 想. 本 题没 有 满分 的考 生 , 原 因是 第 ( 3 )   问, 需 要有 较强 的 观察 能 力 、 转化能力、 分 析 能力 和  推理 能力. 平时 学生 接触较 多 的是点 到直 线 的距离 ,   两点 间 的距离 则接 触 较 少 , 因此 学 生 在解 题 时会 找  不 到方 法 , 无 法说 明 “ 在 抛 物线 Y=   +   +c 上 的 
点 P到 原 点 0 的距 离 与 点 P 到 直 线 Z的距 离 相  等” . 所 以在 平 时 的教 学 中 我们 要 由培 养 学 生 从 现  有 知识 、 原理发 出, 判断 、 推理解 决 “ 老” 问 题 的 能 

解决 的, 教师必须充分挖掘优秀试题 的 内涵 , 不失时机  地灵活处理 , 从 而优 化学生 的思 维品质 , 日积月 累 , 就  能真正意义上提高学生分析并解决新问题的能力.  
参考 文献 :  

[ 1 ]   李 文兰 . 在 阅读 教 学 中培 养 思 维 的 广 阔  性 和批判性 [ J ] . 甘肃 联合 大 学学 报 ( 社会 科 学版 ) ,   2 0 0 6 , 2 2 ( 1 ) .  

力, 向培养 学生 自学新 理论 , 运用 新 观点创 造 性解决  “ 新” 问题 能力. 思维 功能 高效 率 的基 础是 思 维 结构  的高 度完 善 , 促 进学 生形 成最佳 思 维结构 , 最 大 限度  地发 挥思 维 的创 造 性 功 能. 如 果 照本 宣 科 , 照 析 例  题, 硬套 公式 , 题 愈 做愈死 , 学 生越 学越 怕 , 思 路也 越 
p   ;  

[ 2 ]   李从亮. 几何教学 中培养思维能力探讨  [ J ] . 宿 州师专学 报 , 2 0 0 4, 1 9 ( 3 ) .   [ 3 ] 黄 翔. 数 学 方 法论 选 论 [ M] . 重庆 : 重 庆  大学 出版社 , 1 9 9 5 , 9 3—1 1 1 .   [ 4 ] 宋俊浩. 影 响 高 中 生数 学 应 用 问题 解 决  的因素调查 与研 究 [ D] . 华东 师范 大学 , 2 0 0 7 .  
、 

P  p  

( 上接 弟 9 1_ 贞)  

县 p   5 (  2 一  1 )  +1 8 ( x 2 一  1 )= O .   解得  一  , : 0或 : 一   :一  .  

2 4 y +58 =0 .  

综上 , 所求直线的方程为 = 2或 7 x 一   + 5 8= n  

由X 2 一   = O , 得所 求直 线方 程为  = 2 .  
由   一   =一   , 得y   一y  :一  .  

分析: 本题利用设而不求将  一   与Y : - y 。 作为  整体求解, 进而确定所求直线的斜率, 这种方法是解析  几何 中常用的手段 和技巧. “ 设 而不求” 的未知数 , 又叫 
辅助元素 , 它是我们 为解决 问题 增设 的一些参 数 , 它沟  通数量关 系, 架起 已知量和未知量之 间的桥梁.  

所 以 所 求 直 线 的 斜 率 为 刍, 直 线 方 程 为7   一  
?

9 6?  


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