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不定方程选讲


不定方程选讲
一、一次不定方程(组) 1.求不定方程 x+y+z=2007 正整数解的个数。 2.求不定方程 2x+3y+5z=15 的正整数解。 3.解不定方程 11x+15y=7。 4.解不定方程 50x+45y+36z=10。
?5x+7y+2z=24, 5.解不定方程组? ?3x-y-4z=4.

6.解不定方程 6x+15y+21

z+9w=30。 7.求有多少个正整数对(m,n),使得 7m+3n=102004,且 m︱n。(04 年日本数学奥林匹克) 二、二次不定方程及其常用解法 8.求满足方程 2x2+5y2=11(xy-11)的正整数数组(x,y)。 9.解不定方程 14x2-24xy+21y2+4x-12y-18=0。 10.解不定方程 3x2+5y2=345。 11.解不定方程 x2-5xy+6y2-3x +5y-11=0。 12.求方程 xy-2x+y=4 的整数解。 3 5 13 求能使等式 + =1 成立的所有正整数 m,n。 m n 14.求方程 2xy-2x2+3x-5y+11=0 的整数解。 15.求方程 3xy+y2-6x-2y=2 的整数解。 16.求方程 x2+y= x2y-1000 的正整数解。 17.求所有的整数对(x,y),使得 x3 = y3+2y2 +1。 18.求方程 x2+y2= z2 中 0<z<10 的所有互质的解。 三、证明不定方程无解 19.求证方程 x2+y2= 2007 没有整数解。 20.试证:不定方程 x2-3yn=-1 (n 是正整数)没有正整数解。 21.求证方程 x2-3y2=17 没有整数解。

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22.求证方程 x2-2xy2+5z+3=0 没有整数解。 23.证明方程 x14+x24+x34+……+x144=2015 无整数解。 24.求证方程 x2+y2=1992 没有整数解。 25.证明方程 x2+y2-19xy-19=0 无正整数解。 四、其他不定方程的解
?6x-y-z=18, 26.求下面方程组的正整数解:? 2 2 2 ?x +y +z =1987.

27 求使(a3+b)(a+b3)= (a+b)4 成立的所有整数对(a,b)。(04 年澳大利亚数学奥林匹克) 28.解不定方程 xyz+xy+yz+zx+x+y+z=2008。 29.解不定方程 5x2+2y2=98。 30.求不定方程 4xyz=5(xy+yz+zx)的正整数解。 31.解不定方程 y2+y=x4+x3+x2+x。 32.求方程 2x·y-5z·w= 1 3 7 练习: 1.不定方程 7x-15y=31 的解为 2.不定方程组 ?x ? 2 y ? 3z ? 10, 的解为 ?
?x ? 2 y ? 5z ? 4.

的所有非负整数解(x,y,z,w)。(05 年中国数学奥林匹克)

。 。 。 。 。 。

3.不定方程 5x-14y=11 的正整数解为 4.不定方程 4x2-4xy-3y2=21 的正整数解为 5.方程 x2-dy2=1,d=-1 时的非负整数解为 6.不定方程 x2-18xy+35=0 的正整数解为

7.取 1 分、2 分、5 分的纸币共 10 张,付给 1 角 8 分钱,问有几种不同的取法? 8.求 x2+y2= z2 中 0<z<60 的所有互质的解。
?x+y+z=0, 9.求不定方程组? 3 3 3 的整数解。 ?x +y +z =-18

10.求不定方程 5x-3y=2 的正整数解。 11.证明:不定方程 x2+y2+z2+3(x+y+z)+5=0 没有有理数解。 1 12.求不定方程 (x+y)(y+z) (z+x)+(x+y+z)3=1-xyz 的所有整数解。 2
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练习答案

? x ? ?5 ? 8t , ? x ? 63 ? 15t , ?x ? 5 ? 14t , ? 1.? 2.? y ? 3 ? t , (t 为整数)。 ? 3. (t为整数,且 ? 0) 。 t ? y ? ?31 ? 7t. ? y ? 1 ? 5t. ? z ? 3 ? 2t. ?
4.由 4x2-4xy-3y2=21 得:(2x+y)(2x-3y)=21,故解为: ? 5.x=0,y=1 和 x=1,y=0。

? x ? 8, ? x ? 3, ? ? y ? 5, ? y ? 1.

? x ? 1, ? x ? 35, 35 6.由 x2-18xy+35=0 得:18y= +x,x 是 35 的约数,得 ? 。 ? x y ? 2, y ? 2. ? ?
7.解:设 1 分、2 分、5 分的纸币分别有 x 张,y 张,z 张,得: ?

?x ? y ? z ? 10, ?x ? 2 y ? 5z ? 18.

? x ? 8, ? x ? 5, ? x ? 2, ? ? ? 消去 z 得: 4x+3y=32。 因为 x,, 是非负整数, y z 所以不同的取法有: y ? 0,? y ? 4,? y ? 8, ? ? z ? 2; ? z ? 1; ? z ? 0. ? ? ?
8.解: a2+b2<60,a>b>0,得 a≤7。又因为 a,b 一奇一偶,求出 a,b 的值即得所有解。 所有互质的解列表如下: b a x y z 1 2 3 4 5 1 4 15 8 17 1 6 35 12 37 2 3 5 12 13 2 5 21 20 29 2 7 45 28 53 3 4 7 24 25 4 5 9 40 41

9.解:由原方程组中 x+y+z=0 得 z=-(x+y),代入 x3+y3+z3=-18 得:xy(x+y)=6,故 xyz=

-6,x、y、z 都是 6 的约数,并且只有一个是负数,从而得其整数解为:x=-3,y=2,z=1。
10.解:显然 x=1,y=1 是原方程的解,若 x ? 1,则 y ? 1。
y y y 因 5 ? 1(mod4), 3 ? (?1) (mod4) ,1- (?1) ? 2(mod4) ,故 y=2y1+1 是奇数(y1∈N)
x

因 3 ? 0(mod9) ,故 5 ? 2(mod9) 。因 5 ? ?1(mod9),5 ? 1(mod9),5 ? 2(mod9) ,
y x 3 6 5

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故 56q?5 ? 55 ? 2(mod9) ,正整数 x 为 6q+5 形式的整数。 因为 56 ? (?2) 6 ? 1(mod7) ,所以 5 x ? 55 ? (?2) 5 ? 3(mod7) , 而 3y ? 3
2 y1 ?1

? 2 y1 ? 3 ? 6 ? 5 ? 3(mod7) , 故 对 任 意 不 为 1 的 正 整 数 x , y ,

5x ? 3y

2(mod7)。此时原方程无解。综上,原方程只有一组正整数解: (1,1) 。

11. 将方程两边乘以 4 配方知: 解: 原方程等价于 (2x ? 3) 2 ? (2 y ? 3) 2 ? (2z ? 3) 2 ? 7 。 上述方程有有理数解等价于不定方程: a ? b ? c ? 7m 有整数解(a, , , b c m), 其中 m>0.
2 2 2 2

若方程有整数解(a,b,c,m),m>0,设 m 是所有这样的解中最小的正整数。 如果 m 是偶数,则 a 2 ? b 2 ? c 2 ? 0(mod4) ,注意到,完全平方数 ? 0 或 1(mod4),所以,
2 2 a,b,c 都为偶数,设 a ? 2a1 , b ? 2b1 , c ? 2c1 , m ? 2n ,则 a1 ? b12 ? c1 ? 7n 2 ,这表明

(a1 , b1 , c1 , n) 也是方程的整数解,与 m 的最小性矛盾。
如果 m 是奇数,则由于奇数的平方 ? 1(mod8),故 a ? b ? c ? 7(mod8) ,这时,当然有
2 2 2

a 2 ? b 2 ? c 2 ? 3(mod4) , 由 于 前 面 的 讨 论 , 可 知 a , b , c 都 为 奇 数 , 这 导 致 a 2 ? b 2 ? c 2 ? 3(mod8) ,与 a 2 ? b 2 ? c 2 ? 7(mod8) 矛盾。
所以方程没有整数解(使 m>0 的) ,故原命题成立。 12.解:作代换,设 x+y=u,y+z=v,z+x=w,则方程变形为: 4uvw+(u+v+w)3=8-(u-v+w)(u+v-w)(-u+v+w),即 4(u2v+v2w+w2u+uv2+vw2+wu2)+8uvw=8, 即 u2v+v2w+w2u+uv2+vw2+wu2+2uvw=2。故(u+v)(v+w)(w+u)=2.于是: (u+v,v+w,w+u) =(1,1,2)(-1,-1,2)(-2,-1,1)及对称的情形,分别求解得: ,v,w)= , , (u (1,0,1)(1,-2,1)(-1,0,2) 故(x,y,z)=(1,0,0),(2,-1,-1)。 , , , 故整数解为(x,y,z)=(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1),(2,-1,-1),(-1,2,-1),(-1,-1,2)共 6 组解。

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