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线面平行的判定定理


直线和平面的三种位置关系

直线在平面内

直线与平面相交

a ?? ? A

直线与平面平行

a // ?

(1) 通过 “同位角、内错角、同旁内角”
(2) 通过 “三角形中位线”、平行四边形判 定 D C (3) 通过 “比例线段”
A E B F C A B

AE AF ? ?EF // BC EB FC

二、引入新课
怎样判定直线与平面平行呢? 根据定义,判定直线与平面是否平行,只需判 定直线与平面有没有公共点.但是,直线无限延长, 平面无限延展,如何保证直线与平面没有公共点呢? l

?

直线与平面平行的判定定理 如果平面外一条直线与此平面内的一 条直线平行,那么这条直线和这个平 面平行。 a ??
a

用符号表示:

b ?? a//b

a //?
?
b

线线平行

线面平行

一起来认识一下判定定理的威力
如图,长方体的六个面都是矩形,则 (1) 与直线AB平行的平面是: (2) 与直线AD平行的平面是: (3) 与直线AA1平行的平面是:
D1 A1
D B1 C C1

A

B

应用巩固:
例1.空间四边形ABCD中,E,F分别为AB,AD的 中点,试判断EF与平面BCD的位置关系,并予 以证明. A E D B F C

解:EF∥平面BCD。 证明:如图,连接BD。在△ABD中, E, F分别为AB,AD的中点,

∴EF ∥BD,
BD

又EF

? 平面BCD,

?

平面BCD,

∴EF ∥平面BCD。

解后反思:通过本题的解答,你可以总结出什么解题 思想和方法?

如图,点P为平行四边形ABCD所在平面外一点,M为PD 边中点,求证: PB//平面MAC.
P

M
D C O A B

九、演练反馈
判断下列命题是否正确:
(1)一条直线平行于一个平面, 这条直线就 (?) 与这个平面内的任意直线平行。 (2)直线在平面外是指直线和平面最多有一个 公共点. (?) (3)过平面外一点有且只有一条直线与已知平 面平行。 (?) (4)若直线 l 平行于平面 ? 内的无数条直线, 则l // ? (?) (5)如果a、b是两条直线,且a // b,那么a平 行于经过b的任何平面. (?)

十、总结提炼
1.证明直线与平面平行的方法: a ?? (1)利用定义; b (2)利用判定定理. ? ? a//b 关键:在平面内找(作)一条直线与平面外的直 线平行,在寻找平行直线时可以通过三角形的中 位线、梯形的中位线、平行线的性质等来完成。 (3)答题规范性

a //?

交待“线在面外、线在面内”!

如图,底面为正方形的棱锥P-ABCD中,PA=PB=PC=

PD=AB,若M、N分别在PA、 BD上,
并且PM:PA=BN:BD=1:3.

求证:MN//平面PBC;
M D A

P
E

C N
F

B


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