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2015年全国普通高等学校招生统一考试文科数学


2015 年全国普通高等学校招生统一考试文科数学(新课标 I)
题号 得分 注意事项: 1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2.请将答案正确填写在答题卡上 一 二 三 总分

第 I 卷(选择题)
评卷人 得分 一、选择题(题型注释) 1.已知集合 A ? {x x ? 3n ? 2, n ? N}, B ? {6,8,10,12

,14},则集合 A ? B 中的元素个 数为( ) (A) 5 (B)4 (C)3 (D)2 【答案】D 【解析】 试题分析:由条件知,当 n=2 时,3n+2=8,当 n=4 时,3n+2=14,故 A∩B={8,14},故选 D. 考点:集合运算 2.已知点 A(0,1), B(3, 2) ,向量 AC ? (?4, ?3) ,则向量 BC ? ( ) (A) (?7, ?4) 【答案】A 【解析】 试题分析:∵ AB ? OB ? OA =(3,1) ,∴ BC ? AC ? AB =(-7,-4),故选 A. 考点:向量运算 3.已知复数 z 满足 ( z ? 1)i ? 1 ? i ,则 z ? ( ) (A) ?2 ? i 【答案】C 【解析】 (B) ?2 ? i (C) 2 ? i (D) 2 ? i (B) (7, 4) (C) (?1, 4) (D) (1, 4)

??? ?

??? ?

??? ?

??? ? ??? ?

??? ?

??? ? ??? ?

试题分析:∴ ( z ? 1)i ? 1 ? i ,∴z=

1 ? 2i (1 ? 2i )(?i ) ? ? 2 ? i ,故选 C. i ?i 2

考点:复数运算 4.如果 3 个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长,则称这 3 个数为一组勾股数, 从 1, 2,3, 4,5 中任取 3 个不同的数,则这 3 个数构成一组勾股数的概率为( ) (A)

3 10

(B)

1 5

(C)

1 10

(D)

1 20

【答案】C 【解析】 试题分析:从 1,2,3,4,5 1, 2,3, 4,5 中任取 3 个不同的数共有 10 种不同的取法,其中的
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勾股数只有 3,4,5,故 3 个数构成一组勾股数的取法只有 1 种,故所求概率为 选 C. 考点:古典概型 5.已知椭圆 E 的中心为坐标原点,离心率为

1 ,故 10

1 ,E 的右焦点与抛物线 C : y 2 ? 8x 的焦 2
)

点重合, A, B 是 C 的准线与 E 的两个交点,则 AB ? ( (A) 3 【答案】B 【解析】 (B) 6 (C) 9 (D) 12

试题分析:∵抛物线 C : y 2 ? 8x 的焦点为(2,0) ,准线方程为 x ? ?2 ,∴椭圆 E 的右 焦点为(2,0) , ∴椭圆 E 的焦点在 x 轴上,设方程为

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) ,c=2, a 2 b2

∵e ?

x2 y 2 c 1 ? ,∴ a ? 4 ,∴ b2 ? a2 ? c2 ? 12 ,∴椭圆 E 方程为 ? ? 1, a 2 16 12

将 x ? ?2 代入椭圆 E 的方程解得 A(-2,3) ,B(-2,-3) ,∴|AB|=6,故选 B. 考点:抛物线性质;椭圆标准方程与性质 6. 《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题: “今有委米依 垣内角,下周八尺,高五尺,问:积及为米几何?”其意思为: “在屋内墙角处堆放米 (如图,米堆为一个圆锥的四分之一) ,米堆底部的弧长为 8 尺,米堆的高为 5 尺,米 堆的体积和堆放的米各为多少?”已知 1 斛米的体积约为 1.62 立方尺,圆周率约为 3, 估算出堆放的米有( )

(A) 14 斛 【答案】B 【解析】

(B) 22 斛

(C) 36 斛

(D) 66 斛

试题分析:设圆锥底面半径为 r,则

1 16 ? 2 ? 3r ? 8 ,所以 r ? ,所以米堆的体积为 4 3 1 1 16 320 320 ? ? 3 ? ( )2 ? 5 = ,故堆放的米约为 ÷1.62≈22,故选 B. 4 3 3 9 9

考点:圆锥的性质与圆锥的体积公式 7. 已知 {an } 是公差为 1 的等差数列,Sn 为 {an } 的前 n 项和, 若 S8 ? 4S4 , 则 a10 ?( ) (A)

17 2

(B)

19 2

(C) 10

(D) 12

【答案】B 【解析】
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试题分析: ∵公差 d ? 1 ,S8 ? 4S4 , ∴ 8a1 ? ∴ a10 ? a1 ? 9d ?

1 1 1 ? 8 ? 7 ? 4(4a1 ? ? 4 ? 3) , 解得 a1 = , 2 2 2

1 19 ? 9 ? ,故选 B. 2 2


考点:等差数列通项公式及前 n 项和公式 8.函数 f ( x) ? cos(? x ? ? ) 的部分图像如图所示,则 f ( x ) 的单调递减区间为(

1 3 , k? ? ), k ? Z 4 4 1 3 (B) (2k? ? , 2k? ? ), k ? Z 4 4 1 3 (C) (k ? , k ? ), k ? Z 4 4 1 3 (D) (2k ? , 2k ? ), k ? Z 4 4
(A) ( k? ? 【答案】D 【解析】

? ?1 ? +? ? ? ? ?4 2 ,解得 试题分析:由五点作图知, ? ?=? , ? = , 所 以 4 ? 5 ? +? ? 3? ? ?4 2
f ( x)? c o?s (x ?

?
4

) 2 k? ? ?x? ? 2 k?? ? , k? Z , 令 4

?

, 解得 2 k ?

1 3 < x < 2k ? , 4 4

k ? Z ,故单调减区间为( 2 k ?

1 3 , 2k ? ) , k ? Z ,故选 D. 4 4

考点:三角函数图像与性质 9.执行右面的程序框图,如果输入的 t ? 0.01 ,则输出的 n ? ( )

(A) 5 【答案】C 【解析】 试 题

(B) 6

(C) 10

(D) 12













1





m 1 t=0.01,S=1,n=0,m= =0.5,S=S-m=0.5, m ? =0.25,n=1,S=0.5>t=0.01,是,循环, 2 2 m 执行第 2 次,S=S-m =0.25, m ? =0.125,n=2,S=0.25>t=0.01,是,循环, 2 m 执行第 3 次,S=S-m =0.125, m ? =0.0625,n=3,S=0.125>t=0.01,是,循环, 2
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m =0.03125,n=4,S=0.0625>t=0.01,是,循环, 2 m 执行第 5 次,S=S-m =0.03125, m ? =0.015625,n=5,S=0.03125>t=0.01,是,循环, 2 m 执行第 6 次, S=S-m=0.015625, m ? =0.0078125,n=6,S=0.015625>t=0.01,是, 循环, 2 m 执行第 7 次,S=S-m=0.0078125, m ? =0.00390625,n=7,S=0.0078125>t=0.01,否, 2
执行第 4 次,S=S-m=0.0625, m ? 输出 n=7,故选 C. 考点:程序框图 10.已知函数 f ( x ) ? ? (A) ?

? 2 x ?1 ? 2, x ? 1 ? ? log 2 ( x ? 1), x ? 1
5 4
(C) ?

,且 f (a) ? ?3 ,则 f (6 ? a) ? (



7 4

(B) ?

3 4

(D) ?

1 4

【答案】A 【解析】 试题分析:∵ f (a) ? ?3 ,∴当 a ? 1 时, f (a) ? 2a?1 ? 2 ? ?3 ,则 2 显然不成立, 当 a ? 1 时, ? log2 (a ? 1) ? ?3 ,解得 a ? 7 , ∴ f (6 ? a) ? f (?1) = 2
?1?1

a ?1

? ?1,此等式

7 ? 2 ? ? ,故选 A. 4

考点:分段函数求值;指数函数与对数函数图像与性质 11.圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为 r )组成一个几何体,该几何体的三 视图中的正视图和俯视图如图所示,若该几何体的表面积为 16 ? 20? ,则 r ? ( )

(A) 1 (B) 2 (C) 4 (D) 8 【答案】B 【解析】 试题分析:由正视图和俯视图知,该几何体是半球与半个圆柱的组合体,圆柱的半径与 球 的 半 径 都 为 r , 圆 柱 的 高 为 2r , 其 表 面 积 为

1 ? 4? r 2 ? ? r ? 2r ? ? r 2 ? 2r ? 2r = 5? r 2 ? 4r 2 =16 + 20 ? ,解得 r=2,故选 B. 2
考点:简单几何体的三视图;球的表面积公式;圆柱的测面积公式 12 . 设 函 数 y ? f ( x) 的 图 像 与 y ? 2
x?a

的 图 像 关 于 直 线 y ? ?x 对 称 , 且

f (?2) ? f (?4) ? 1 ,则 a ? ( )
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(A) ?1 【答案】C 【解析】

(B) 1

(C) 2

(D) 4

试题分析:设 ( x, y ) 是函数 y ? f ( x) 的图像上任意一点,它关于直线 y ? ? x 对称为 ( ? y, ? x ) ,由已知知( ? y , ? x )在函数 y ? 2x?a 的图像上,∴ ? x ? 2? y ? a ,解得

y ? ?log2 (?x ) ? a





f(

? x) 2 ?

l

?, x o

∴ g ?a

(

)

f (?2) ? f (?4) ? ? log2 2 ? a ? log2 4 ? a ? 1 ,解得 a ? 2 ,故选 C.
考点:函数对称;对数的定义与运算

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第 II 卷(非选择题)
评卷人 得分 二、填空题(题型注释) 13. 数列 ?an ? 中 a1 ? 2, an?1 ? 2an , Sn 为 ?an ? 的前 n 项和, 若 Sn ? 126 , 则n ? 【答案】6 【解析】 试题分析:∵ a1 ? 2, an?1 ? 2an ,∴数列 ?an ? 是首项为 2,公比为 2 的等比数列, ∴ Sn ?

.

2(1 ? 2n ) ? 126 ,∴ 2n ? 64 ,∴n=6. 1? 2

考点:等比数列定义与前 n 项和公式 14 .已 知函 数 f ? x ? ? ax ? x ?1 的 图像 在点 1, f ?1? 的 处 的切 线过 点 ? 2, 7 ? ,则
3

?

?

a?
【答案】1 【解析】

.

2 试题分析:∵ f ?( x) ? 3ax ? 1 ,∴ f ?(1) ? 3a ? 1 ,即切线斜率 k ? 3a ? 1 ,

又∵ f (1) ? a ? 2 ,∴切点为(1, a ? 2 ) ,∵切线过(2,7) ,∴ 得 a ? 1. 考点:利用导数的几何意义求函数的切线;常见函数的导数;

a?2?7 ? 3a ? 1 ,解 1? 2

? x? y?2?0 ? 15.若 x,y 满足约束条件 ? x ? 2 y ? 1 ? 0 ,则 z=3x+y 的最大值为 ?2 x ? y ? 2 ? 0 ?
【答案】4 【解析】



试题分析:作出可行域如图中阴影部分所示,作出直线 l0 : 3x ? y ? 0 ,平移直线 l0 , 当直线 l :z=3x+y 过点 A 时,z 取最大值,由 ? 最大值为 4.

? x ? y ? 2=0 解得 A(1,1) ,∴z=3x+y 的 ? x ? 2 y ? 1=0

考点:简单线性规划解法 16.已知 F 是双曲线 C : x ?
2

y2 ? 1 的右焦点,P 是 C 左支上一点, A 0, 6 6 8
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?

?

,当

?APF 周长最小时,该三角形的面积为
【答案】 12 6 【解析】



试题分析:设双曲线的左焦点为 F1 ,由双曲线定义知, | PF |? 2a? | PF 1 |, ∴△APF 的周长为|PA|+|PF|+|AF|=|PA|+ 2a? | PF1 | +|AF|=|PA|+ | PF1 | +|AF|+ 2 a , 由于 2a ? | AF | 是定值,要使△APF 的周长最小,则|PA|+ | PF1 | 最小,即 P、A、 F1 共 线, ∵ A 0, 6 6 , F1 (-3,0) ,∴直线 AF1 的方程为

?

?

x y y ? ? 1 ,即 x ? ?3代 ?3 6 6 2 6

入x ?
2

y2 ? 1整理得 y2 ? 6 6 y ? 96 ? 0 ,解得 y ? 2 6 或 y ? ?8 6 (舍),所以 P 点 8

的纵坐标为 2 6 , ∴ S?APF ? S?AFF1 ? S?PFF1 =

1 1 ? 6 ? 6 6 ? ? 6 ? 2 6 = 12 6 . 2 2

考点:双曲线的定义;直线与双曲线的位置关系;最值问题 评卷人 得分 三、解答题(题型注释) 17 . ( 本 小 题 满 分 12 分 ) 已 知 a, b, c 分 别 是 ?ABC 内 角 A, B, C 的 对 边 ,
2 sin B ? 2 s iA n

sC i. n

(Ⅰ)若 a ? b ,求 cos B; (Ⅱ)若 B ? 90 ,且 a ? 2, 求 ?ABC 的面积.
?

【答案】 (Ⅰ) 【解析】

1 (Ⅱ)1 4

2 试题分析: (Ⅰ) 先由正弦定理将 sin B ? 2sin A sin C 化为变得关系, 结合条件 a ? b ,

用其中一边把另外两边表示出来,再用余弦定理即可求出角 B 的余弦值; (Ⅱ)由(Ⅰ)
2 知 b = 2ac ,根据勾股定理和即可求出 c,从而求出 ?ABC 的面积.

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试题解析: (Ⅰ)由题设及正弦定理可得 b 2 = 2ac . 又 a = b ,可得 b = 2c , a = 2c , 由余弦定理可得 cos B =

a 2 + c 2 - b2 1 = . 2ac 4

(Ⅱ)由(1)知 b 2 = 2ac . 因为 B = 90°,由勾股定理得 a 2 + c 2 = b2 . 故 a 2 + c2 = 2ac ,得 c = a = 2 . 所以 D ABC 的面积为 1. 考点:正弦定理;余弦定理;运算求解能力 BE ? 平面ABCD , 18. (本小题满分 12 分) 如图四边形 ABCD 为菱形, G 为 AC 与 BD 交点,

(Ⅰ)证明:平面 AEC ? 平面 BED ; (Ⅱ)若 ?ABC ? 120 , AE ? EC , 三棱锥 E ? ACD 的体积为
?

6 ,求该三棱锥的 3

侧面积. 【答案】 (Ⅰ)见解析(Ⅱ) 3+2 5 【解析】 试题分析: (Ⅰ)由四边形 ABCD 为菱形知 AC ^ BD,由 BE ^ 平面 ABCD 知 AC ^ BE,由线 面垂直判定定理知 AC ^ 平面 BED,由面面垂直的判定定理知平面 AEC ? 平面 BED ; (Ⅱ)设 AB= x ,通过解直角三角形将 AG、GC、GB、GD 用 x 表示出来,在 Rt DAEC 中, 用 x 表示 EG,在 Rt DEBG 中,用 x 表示 EB,根据条件三棱锥 E ? ACD 的体积为 出 x,即可求出三棱锥 E ? ACD 的侧面积. 试题解析: (Ⅰ)因为四边形 ABCD 为菱形,所以 AC ^ BD, 因为 BE ^ 平面 ABCD,所以 AC ^ BE,故 AC ^ 平面 BED. 又 AC ? 平面 AEC,所以平面 AEC ^ 平面 BED (Ⅱ)设 AB= x ,在菱形 ABCD 中,由 ? ABC=120°,可得 AG=GC=

6 求 3

x 3 x ,GB=GD= . 2 2

因为 AE ^ EC,所以在 Rt DAEC 中,可得 EG=

3 x. 2

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由 BE ^ 平面 ABCD,知 D EBG 为直角三角形,可得 BE=

2 x. 2

由已知得,三棱锥 E-ACD 的体积 VE - ACD = 醋 AC GD ?BE 从而可得 AE=EC=ED= 6 . 所以 D EAC 的面积为 3, D EAD 的面积与 D ECD 的面积均为 5 . 故三棱锥 E-ACD 的侧面积为 3+2 5 .

1 1 3 2

6 3 6 .故 x =2 x = 24 3

考点:线面垂直的判定与性质;面面垂直的判定;三棱锥的体积与表面积的计算;逻辑 推理能力;运算求解能力 19.(本小题满分 12 分)某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费,需了解年宣 传费 x(单位:千元)对年销售量 y(单位:t)和年利润 z(单位:千元)的影响,对 近 8 年的宣传费 xi 和年销售量 yi ? i ? 1, 2,?,8? 数据作了初步处理,得到下面的散点图 及一些统计量的值.

? x
46.6

? ? y
56.3

?? w
6.8

? ( x ? x)
i ?1 i

8

2

? (w ? w)
i ?1 i

8

2

? ( x ? x)( y ? y) ? (w ? w)( y ? y)
i ?1 i i i ?1 i i

8

8

289.8

1.6

1469

108.8

表中 wi = xi , w =

??

1 8

?w
i ?1

8

i

(Ⅰ)根据散点图判断, y ? a ? bx 与 y ? c ? d x ,哪一个适宜作为年销售量 y 关于 年宣传费 x 的回归方程类型(给出判断即可,不必说明理由); (Ⅱ)根据(Ⅰ)的判断结果及表中数据,建立 y 关于 x 的回归方程; (III)已知这种产品的年利润 z 与 x,y 的关系为 z ? 0.2 y ? x ,根据(Ⅱ)的结果 回答下列问题: (Ⅰ)当年宣传费 x ? 90 时,年销售量及年利润的预报值时多少? (Ⅱ)当年宣传费 x 为何值时,年利润的预报值最大? 附:对于一组数据 (u1 , v1 ) , (u2 , v2 ) ,??, (un , vn ) ,其回归线 v ? ? ? ? u 的斜率和截 距的最小二乘估计分别为:
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?= ?

? (u
i ?1 n

n

i

? u )(vi ? v)
i

? (u
i ?1

? =v ? ? ?u ,?

? u )2

【答案】 (Ⅰ) y ? c ? d x 适合作为年销售 y 关于年宣传费用 x 的回归方程类型(Ⅱ)

? y ? 100.6 ? 68 x (Ⅲ)46.24
【解析】 试题分析: (Ⅰ)由散点图及所给函数图像即可选出适合作为拟合的函数; (Ⅱ)令 (Ⅲ)(ⅰ) w ? x ,先求出建立 y 关于 w 的线性回归方程,即可 y 关于 x 的回归方程; 利用 y 关于 x 的回归方程先求出年销售量 y 的预报值,再根据年利率 z 与 x、y 的关系 为 z=0.2y-x 即可年利润 z 的预报值; (ⅱ)根据(Ⅱ)的结果知,年利润 z 的预报值, 列出关于 x 的方程, 利用二次函数求最值的方法即可求出年利润取最大值时的年宣传费 用. 试题解析: (Ⅰ) 由散点图可以判断, y ? c ? d x 适合作为年销售 y 关于年宣传费用 x 的回归方程类型. ( Ⅱ ) 令 w?
8

x , 先 建 立 y 关 于 w 的 线 性 回 归 方 程 , 由 于

?? d

? (w ? w)( y ? y)
i ?1 i i

? ( w ? w)
i ?1 i

8

=

2

108.8 =68 , 16

? ? y?d ? w =563-68×6.8=100.6. ∴c
∴ y 关于 w 的线性回归方程为 ? y ? 100.6 ? 68w , ∴ y 关于 x 的回归方程为 ? y ? 100.6 ? 68 x . (Ⅲ)(ⅰ)由(Ⅱ)知,当 x =49 时,年销售量 y 的预报值

? y ? 100.6 ? 68 49 =576.6,
? ? 576.6 ? 0.2 ? 49 ? 66.32 . z
(ⅱ)根据(Ⅱ)的结果知,年利润 z 的预报值

? ? 0.2(100.6 ? 68 x ) ? x ? ?x ?13.6 x ? 20.12 , z
∴当 x =

13.6 ? 取得最大值. =6.8 ,即 x ? 46.24 时, z 2

故宣传费用为 46.24 千元时,年利润的预报值最大.??12 分 考点:非线性拟合;线性回归方程求法;利用回归方程进行预报预测;应用意识 20 . ( 本 小 题 满 分 12 分 ) 已 知 过 点 A ?1,0 ? 且 斜 率 为 k 的 直 线 l 与 圆 C :

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? x ? 2?

2

? ? y ? 3? ? 1 交于 M,N 两点.
2

(Ⅰ)求 k 的取值范围; (Ⅱ) OM ? ON ? 12 ,其中 O 为坐标原点,求 MN . 【答案】 (Ⅰ) 琪

???? ? ????

骣 4- 7 4+ 7 (Ⅱ)2 琪 3 , 3 桫

【解析】 试题分析: (Ⅰ)设出直线 l 的方程,利用圆心到直线的距离小于半径列出关于 k 的不 等式,即可求出 k 的取值范围; (Ⅱ)设 M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 ) ,将直线 l 方程代入圆的 方程化为关于 x 的一元二次方程,利用韦达定理将 x1 x2 , y1 y2 用 k 表示出来,利用平面 向量数量积的坐标公式及 OM ? ON ? 12 列出关于 k 方程,解出 k,即可求出|MN|. 试题解析: (Ⅰ)由题设,可知直线 l 的方程为 y = kx +1 . 因为 l 与 C 交于两点,所以

???? ? ????

| 2k - 3 +1| 1+k 2

<1.

解得

43

7

<k <

4+ 7 . 3
骣 4- 7 4+ 7 琪 3 , 3 桫

所以 k 的取值范围是. 琪

(Ⅱ)设 M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 ) . 将 y = kx +1 代入方程 x - 2 所以 x1 + x2 =

(

) +( y - 3)

2

2

= 1 ,整理得 (1 + k 2 ) x2 -4(k +1) x + 7 = 0 ,

???? ? ???? 4k (1+k ) OM ?ON x1 x2 + y1 y2 =1+k 2 x1 x2 +k x1 +x2 +1= +8 , 1+k 2 4k (1 + k ) + 8=12 ,解得 k =1 ,所以 l 的方程为 y = x +1 . 由题设可得 1+k 2
故圆心在直线 l 上,所以 | MN |=2 . 考点:直线与圆的位置关系;设而不求思想;运算求解能力 21.(本小题满分 12 分)设函数 f ? x ? ? e ? a ln x .
2x

4(k +1) 7 , x1 x2 = . 2 1+k 1+k 2

(Ⅰ)讨论 f ? x ? 的导函数 f ? ? x ? 的零点的个数; (Ⅱ)证明:当 a ? 0 时 f ? x ? ? 2a ? a ln

2 . a

【答案】 (Ⅰ)当 a ? 0 时, f ? ( x) 没有零点;当 a > 0 时, f ? ( x) 存在唯一零点.(Ⅱ)
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见解析 【解析】 试题分析: (Ⅰ)先求出导函数,分 a ? 0 与 a > 0 考虑 f ? ? x ? 的单调性及性质,即可判 断出零点个数; (Ⅱ)由(Ⅰ)可设 f ? ( x) 在 0, +?

(

) 的唯一零点为 x ,根据 f ? ? x? 的
0

正负,即可判定函数的图像与性质,求出函数的最小值,即可证明其最小值不小于

2a +a ln

2 ,即证明了所证不等式. a

试题解析: (Ⅰ) f ( x ) 的定义域为 0, +?

(

) , f ?( x)=2e

2x

-

a ( x > 0) . x

当 a ? 0 时, f ? ( x) > 0 , f ? ( x) 没有零点; 当 a > 0 时,因为 e 2 x 单调递增, -

a 单调递增,所以 f ? ( x) 在 ( 0, +? ) 单调递增 . 又 x a 1 f? (a) > 0 ,当 b 满足 0 < b < 且 b < 时, f ? (b) < 0 ,故当 a > 0 时, f ? ( x) 存在唯一 4 4

零点. (Ⅱ) 由 (Ⅰ) , 可设 f ? ( x) 在 0, +?

(

) 的唯一零点为 x ,当 x ? ( 0,x ) 时, f ?( x) < 0 ;
0

0

当 x 违 x0, +

(

) 时, f ?( x) > 0 . ) ( ) 单调递增,所以当 x = x
0

故 f ( x ) 在 0,x0 单调递减,在 x0, +? 小值,最小值为 f ( x0 ) . 由于 2e
2 x0

(

时, f ( x ) 取得最

-

a a 2 2 =0 ,所以 f ( x0 )= + 2ax0 + a ln ? 2a a ln . x0 2 x0 a a
2 . a

故当 a > 0 时, f ( x ) ? 2a a ln

考点:常见函数导数及导数运算法则;函数的零点;利用导数研究函数图像与性质;利 用导数证明不等式;运算求解能力. 22.(本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图 AB 是 直径,AC 是 切线,BC 交 与点 E.

(Ⅰ)若 D 为 AC 中点,求证:DE 是

切线;

(Ⅱ)若 OA ? 3CE ,求 ?ACB 的大小. 【答案】 (Ⅰ)见解析(Ⅱ)60° 【解析】 试题分析: (Ⅰ)由圆的切线性质及圆周角定理知,AE⊥BC,AC⊥AB,由直角三角形中
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线性质知 DE=DC,OE=OB,利用等量代换可证∠DEC+∠OEB=90°,即∠OED=90°,所以 DE 是圆 O 的切线; (Ⅱ)设 CE=1,由 OA ? 3CE 得,AB= 2 3 ,设 AE= x ,由勾股定理 得 BE ? 12 ? x2 ,由直角三角形射影定理可得 AE 2 ? CE ?BE ,列出关于 x 的方程, 解出 x ,即可求出∠ACB 的大小. 试题解析: (Ⅰ)连结 AE,由已知得,AE⊥BC,AC⊥AB, 在 Rt△AEC 中,由已知得 DE=DC,∴∠DEC=∠DCE, 连结 OE,∠OBE=∠OEB, ∵∠ACB+∠ABC=90°,∴∠DEC+∠OEB=90°, ∴∠OED=90°,∴DE 是圆 O 的切线. (Ⅱ)设 CE=1,AE= x ,由已知得 AB= 2 3 , BE ? 12 ? x2 , 由射影定理可得, AE 2 ? CE ?BE , ∴ x2 ? 12 ? x2 ,解得 x = 3 ,∴∠ACB=60°.

考点:圆的切线判定与性质;圆周角定理;直角三角形射影定理 23.(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中,直线 C1 : x ? ?2 ,圆 C2 : ? x ? 1? ? ? y ? 2 ? ? 1 ,以坐标原点
2 2

为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系. (Ⅰ)求 C1 , C2 的极坐标方程. (Ⅱ) 若直线 C3 的极坐标方程为 ? ? 的面积. 【答案】 (Ⅰ) ? cos ? ? ?2 , ? ? 2? cos? ? 4? sin ? ? 4 ? 0 (Ⅱ)
2

π 设 C2 , C3 的交点为 M , N , 求 ?CM ?? ?R?, 2N 4 1 2

【解析】 试题分析: (Ⅰ) 用直角坐标方程与极坐标互化公式即可求得 C1 , (Ⅱ) C2 的极坐标方程; 将将 ? =

? 2 代入 ? ? 2? cos? ? 4? sin ? ? 4 ? 0 即可求出|MN|, 利用三角形面积公式即 4

可求出 ?C2 MN 的面积. 试题解析: (Ⅰ)因为 x ? ? cos ? , y ? ? sin ? , ∴ C1 的 极 坐 标 方 程 为 ? cos ? ? ?2 , C2 的 极 坐 标 方 程 为
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? 2 ? 2? cos? ? 4? sin ? ? 4 ? 0 .??5 分
(Ⅱ)将 ? =
2 ? 代入 ? 2 ? 2 ? cos? ? 4? sin ,得 ? ? 3 2? ? 4? 0 ,解得 ? ? 4? 0 4

?1 = 2 2 , ?2 = 2 ,|MN|= ?1 - ?2 = 2 ,
因为 C2 的半径为 1,则 ?C2 MN 的面积

1 1 ? 2 ?1? sin 45o = . 2 2

考点:直角坐标方程与极坐标互化;直线与圆的位置关系 24. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f ? x ? ? x ?1 ? 2 x ? a , a ? 0 . (Ⅰ)当 a ? 1 时求不等式 f ? x ? ? 1 的解集; (Ⅱ)若 f ? x ? 图像与 x 轴围成的三角形面积大于 6,求 a 的取值范围. 【答案】 (Ⅰ) {x | 【解析】 试题分析: (Ⅰ)利用零点分析法将不等式 f(x)>1 化为一元一次不等式组来解; (Ⅱ) 将 f ( x ) 化为分段函数,求出 f ( x ) 与 x 轴围成三角形的顶点坐标,即可求出三角形的面 积,根据题意列出关于 a 的不等式,即可解出 a 的取值范围. 试题解析: (Ⅰ)当 a=1 时,不等式 f(x)>1 化为|x+1|-2|x-1|>1, 等价于 ?

2 ? x ? 2} (Ⅱ) (2,+∞) 3

? x ? ?1 ??1 ? x ? 1 ?x ? 1 2 或? 或? , 解得 ? x ? 2 , 3 ?? x ? 1 ? 2 x ? 2 ? 1 ? x ? 1 ? 2 x ? 2 ? 1 ? x ? 1 ? 2 x ? 2 ? 1
2 ? x ? 2} . 3

所以不等式 f(x)>1 的解集为 {x |

? x ? 1 ? 2 a , x ? ?1 ? (Ⅱ)由题设可得, f ( x ) ? ?3 x ? 1 ? 2a, ?1 ? x ? a , ? ? x ? 1 ? 2a, x ? a ?
所 以 函 数 f ( x ) 的 图 像 与 x 轴 围 成 的 三 角 形 的 三 个 顶 点 分 别 为 A(

2a ? 1 , 0) , 3

2 B(2a ? 1,0) , C (a, a+1) ,所以△ABC 的面积为 ( a ? 1) 2 . 3 2 2 由题设得 ( a ? 1) >6,解得 a ? 2 . 3
所以 a 的取值范围为(2,+∞). 考点:含绝对值不等式解法;分段函数;一元二次不等式解法

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