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吉林省长春十一中2015年高考数学考前模拟试卷(文科)(解析版)


2015 年吉林省长春十一中高考数学考前模拟试卷(文科)
一、选择题(60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请将正确选项用 2B 铅笔 涂黑答题纸上对应题目的答案标号) 1.已知集合 A={﹣1,0,1,2},B={x|1≤2x<4},则 A∩B=( A.{﹣1,0,1} B.{0,1,2} C.{0,1} D.{1,2] )

/>2.在复平面内,复数

对应的点位于(



A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

3.给定下列两个命题: ①“p∨q”为真是“≦p”为假的必要不充分条件; ②“?x∈R,使 sinx>0”的否定是“?x∈R,使 sinx≤0”. 其中说法正确的是( A.①真②假 ) C.①和②都为假 D.①和②都为真

B.①假②真

4.函数 y=2cos2(x﹣

)﹣1 是(



A.最小正周期为 π 的奇函数 C.最小正周期为 的奇函数

B.最小正周期为 π 的偶函数 D.最小正周期为 的偶函数

5.已知 a=log23,b=log46,c=log49,则( A.a=b<c B.a<b<c C.a=c>b



D.a>c>b

6.设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 S10:S5=1:2,则 S15:S5=( A.3:4 B.2:3 C.1:2 D.1:3



7.函数 y=(ex﹣e﹣x)?sinx 的图象大致是(



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A.

B.

C.

D.

8.在下列各数中,最大的数是( A.85(9) B.210(6)



C.1000(4) D.11111(2)

9.为了估计某水池中鱼的尾数,先从水池中捕出 2000 尾鱼,并给每尾鱼做上标记(不影响存活),然后 放回水池,经过适当的时间,再从水池中捕出 500 尾鱼,其中有标记的鱼为 40 尾,根据上述数据估计该 水池中鱼的尾数为( A.10000 B.20000 ) C.25000 D.30000

10.已知函数 f(x)=x2﹣2x,g(x)=ax+2(a>0),若?x1∈[﹣1,2],?x2∈[﹣1,2],使得 f(x1)=g (x2),则实数 a 的取值范围是( A. B. )

C.(0,3] D.[3,+∞)

11.若实数 x,y 满足 x2+4y2=4,则 A. B. C. D.

的最大值为(



12.已知 O 是△ ABC 外接圆的圆心,A、B、C 为△ ABC 的内角,若 值为( A.1 ) B.sinA C.cosA D.tanA

,则 m 的

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在答题纸的相应位置上) 13.读两段程序:对甲、乙程序和输出结果判断正确的是 .

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①程序不同,结果不同 ②程序不同,结果相同 ③程序相同,结果不同 ④程序相同,结果相同.

14.某四棱锥的三视图如图所示,则该四棱锥的体积为



15.已知双曲线的方程为



=1(a>0,b>0),过左焦点 F1 作斜率为 .

的直线交双曲线的右支于

点 P,且 y 轴平分线段 F1P,则双曲线的离心率是

16.记定义在 R 上的函数 y=f(x)的导函数为 f′(x).如果存在 x0∈[a,b],使得 f(b)﹣f(a)=f′(x0) (b﹣a)成立,则称 x0 为函数 f(x)在区间[a,b]上的“中值点”.那么函数 f(x)=x3﹣3x 在区间[﹣2, 2]上的“中值点”为 .

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三、解答题(本大题 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤,并把解答写在答卷 纸的相应位置上) 17.ABC 中,a、b、c 分别是角 A、B、C 的对边, (1)判断△ ABC 的形状 (2)若 ,求 的取值范围、 <C< ,且 .

18.一个盒子中装有形状大小相同的 5 张卡片,上面分别标有数字 1,2,3,4,5,甲乙两人分别从盒子 中随机不放回的各抽取一张. (Ⅰ)写出所有可能的结果,并求出甲乙所抽卡片上的数字之和为偶数的概率; (Ⅱ)以盒子中剩下的三张卡片上的数字作为边长来构造三角形,求出能构成三角形的概率.

19.在四棱锥 P﹣ABCD 中,PA⊥平面 ABCD,AD⊥AB,△ ABC 是正三角形,AC 与 BD 的交点 M 恰好 是 AC 中点,N 为线段 PB 的中点,G 在线段 BM 上,且 (Ⅰ)求证:AB⊥PD; (Ⅱ)求证:GN∥平面 PCD. .

20.已知抛物线 y2=4x 的焦点为 F2,点 F1 与 F2 关于坐标原点对称,以 F1,F2 为焦点的椭圆 C 过点 . (Ⅰ)求椭圆 C 的标准方程; (Ⅱ)设点 T(2,0),过点 F2 作直线 l 与椭圆 C 交于 A,B 两点,且 的取值范围. ,若

21.已知函数 f(x)=|x﹣a|﹣lnx(a>0).
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(1)若 a>0,讨论 f(x)的单调区间; (2)若 a=1,求 f(x)的最小值; (3)证 + +…+ + <n﹣( ﹣ )(n∈N*,且 n≥2).

【选修 4-1:几何证明选讲】(共 1 小题,满分 10 分) 22.选修 4﹣1:几何证明选讲 如图所示,已知 PA 与⊙O 相切,A 为切点,过点 P 的割线交圆于 B、C 两点,弦 CD∥AP,AD、BC 相 交于点 E,F 为 CE 上一点,且 DE2=EF?EC. (1)求证:CE?EB=EF?EP; (2)若 CE:BE=3:2,DE=3,EF=2,求 PA 的长.

【选修 4-4:坐标系与参数方程.】(共 1 小题,满分 0 分) 23.坐标系与参数方程在直角坐标系 xOy 中,圆 C 的参数方程 x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系. (Ⅰ)求圆 C 的极坐标方程; (Ⅱ)射线 OM:θ= 与圆 C 的交点为 O、P 两点,求 P 点的极坐标. (φ 为参数).以 O 为极点,

【选修 4-5:不等式选讲】(共 1 小题,满分 0 分) 24.(Ⅰ)设函数 f(x)=|x﹣ |+|x+a|(a>0).证明:f(x)≥2; (Ⅱ)若实数 x,y,z 满足 x2+4y2+z2=3,求证:|x+2y+z|≤3.
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2015 年吉林省长春十一中高考数学考前模拟试卷(文科)
参考答案与试题解析

一、选择题(60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请将正确选项用 2B 铅笔 涂黑答题纸上对应题目的答案标号) 1.已知集合 A={﹣1,0,1,2},B={x|1≤2x<4},则 A∩B=( A.{﹣1,0,1} B.{0,1,2} 【考点】交集及其运算. 【专题】函数的性质及应用. 【分析】本题可先对集合 B 进行化简,再利用交集运算的法则求出集合 A、B 的交集,得本题结论. 【解答】解:∵集合 B={x|1≤2x<4}, ∴B={x|0≤x<2}, ∵集合 A={﹣1,0,1,2}, ∴A∩B={0,1}. 故选 C. 【点评】本题考查了集合的交集运算,本题难度不大,属于基础题. C.{0,1} D.{1,2] )

2.在复平面内,复数

对应的点位于(



A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【考点】复数代数形式的混合运算. 【专题】数系的扩充和复数. 【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简复数 可求. 【解答】解:由 则复数 故选:D. 【点评】本题考查了复数代数形式的混合运算,考查了复数的代数表示法及其几何意义,是基础题. = 对应的点的坐标为:( , ),位于第四象限. , ,求出在复平面内对应的点的坐标,则答案

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3.给定下列两个命题: ①“p∨q”为真是“≦p”为假的必要不充分条件; ②“?x∈R,使 sinx>0”的否定是“?x∈R,使 sinx≤0”. 其中说法正确的是( A.①真②假 ) C.①和②都为假 D.①和②都为真

B.①假②真

【考点】命题的真假判断与应用. 【专题】简易逻辑. 【分析】①“p∨q”为真,则 p,q 中至少有一个为真,推不出“≦p”为假;反之成立,由充分必要条件即可 判断; ②由存在性命题的否定是全称性命题,即可判断. 【解答】解:①“p∨q”为真,则 p,q 中至少有一个为真,推不出“≦p”为假; 若“≦p”为假,则 p 为真,“p∨q”为真, 故“p∨q”为真是“≦p”为假的必要不充分条件,故①正确; ②“?x∈R,使 sinx>0”的否定是“?x∈R,使 sinx≤0”.故②正确. 故选:D. 【点评】本题考查简易逻辑的基础知识:充分必要条件的判断和命题的否定,属于基础题.

4.函数 y=2cos2(x﹣

)﹣1 是(



A.最小正周期为 π 的奇函数 C.最小正周期为 的奇函数

B.最小正周期为 π 的偶函数 D.最小正周期为 的偶函数

【考点】三角函数的周期性及其求法;函数奇偶性的判断. 【专题】三角函数的图像与性质. 【分析】利用二倍角公式化简为一个角的一个三角函数的形式,求出周期,判定奇偶性. 【解答】解:由 y=2cos2(x﹣ )﹣1=cos(2x﹣ )=sin2x, )﹣1 是奇函数.

∴T=π,且 y=sin2x 奇函数,即函数 y=2cos2(x﹣ 故选 A.

【点评】本题考查三角函数的周期性及其求法,函数奇偶性的判断,是基础题.

5.已知 a=log23,b=log46,c=log49,则(


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A.a=b<c

B.a<b<c C.a=c>b

D.a>c>b

【考点】对数值大小的比较. 【专题】函数的性质及应用. 【分析】根据对数函数的性质和对数的换底公式,即可比较大小. 【解答】解:根据对数的换底公式可知 log23=log49, ∴a=c, ∵函数 y=log4x,为增函数, ∴log46<log49, 即 a=c>b, 故选:C. 【点评】本题主要考查函数值的大小比较,利用对数函数的单调性和对数的换底公式是解决本题的关键.

6.设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 S10:S5=1:2,则 S15:S5=( A.3:4 B.2:3 C.1:2 D.1:3 【考点】等比数列的性质. 【专题】计算题.



【分析】本题可由等比数列的性质,每连续五项的和是一个等比数列求解,由题设中的条件 S10:S5=1:2, 可得出(S10﹣S5):S5=1:1,由此得每连续五项的和相等,由此规律易得所求的比值选出正确选项 【解答】解:∵等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 S10:S5=1:2, ∴(S10﹣S5):S5=﹣1:2, 由等比数列的性质得(S15﹣S10):(S10﹣S5):S5=1:(﹣2):4, 所以 S15:S5=3:4 故选 A. 【点评】本题考查等比数列的性质,解题的关键是熟练掌握等比数列的性质﹣﹣Sk,S2k﹣Sk,S3k﹣S2k, 成公比为 qk 等比 数列数列,本题查了利用性质进行运算的能力

7.函数 y=(ex﹣e﹣x)?sinx 的图象大致是(



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A.

B.

C.

D.

【考点】函数的图象. 【专题】函数的性质及应用. 【分析】通过函数的奇偶性,排除部分选项,然后利用 0<x<π 时的函数值,判断即可. 【解答】解:函数 f(﹣x)=(e﹣x﹣ex)(﹣sinx)=(ex﹣e﹣x)sinx=f(x), ∴函数 f(x)=(ex+e﹣x)sinx 是偶函数,排除 B、C; 当 0<x<π 时,f(x)>0,排除 D. ∴A 满足题意. 故选:A. 【点评】本题考查函数的图象的判断,一般通过函数的定义域、值域.单调性,奇偶性,变化趋势等知识 解答.

8.在下列各数中,最大的数是( A.85(9) B.210(6)



C.1000(4) D.11111(2)

【考点】进位制;排序问题与算法的多样性. 【专题】计算题. 【分析】欲找四个中最大的数,先将它们分别化成十进制数,后再比较它们的大小即可. 【解答】解:85(9)=8×9+5=77; 210(6)=2×62+1×6=78; 1000(4)=1×43=64; 11111(2)=24+23+22+21+20=31. 故 210(6)最大, 故选 B. 【点评】本题考查的知识点是算法的概念,由 n 进制转化为十进制的方法,我们只要依次累加各位数字上 的数×该数位的权重,即可得到结果.

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9.为了估计某水池中鱼的尾数,先从水池中捕出 2000 尾鱼,并给每尾鱼做上标记(不影响存活),然后 放回水池,经过适当的时间,再从水池中捕出 500 尾鱼,其中有标记的鱼为 40 尾,根据上述数据估计该 水池中鱼的尾数为( A.10000 B.20000 ) C.25000 D.30000

【考点】简单随机抽样. 【专题】概率与统计. 【分析】 由题意可得, 有记号的鱼所占的比例大约为 值. 【解答】解:由题意可得有记号的鱼所占的比例大约为 设水库内鱼的尾数是 x, 则有 , , , 设水库内鱼的尾数是 x, 建立方程即可解得 x 的

解得 x=25000, 故选 C. 【点评】本题主要考查用样本的频率估计总体的分布,根据条件建立比例关系是解题的关键.

10.已知函数 f(x)=x2﹣2x,g(x)=ax+2(a>0),若?x1∈[﹣1,2],?x2∈[﹣1,2],使得 f(x1)=g (x2),则实数 a 的取值范围是( A. B. )

C.(0,3] D.[3,+∞)

【考点】函数的值域. 【专题】计算题;压轴题. 【分析】根据二次函数的图象求出 f(x)在[﹣1,2]时的值域为[﹣1,3],再根据一次 g(x)=ax+2(a>0) 为增函数,求出 g(x2)∈[2﹣a,2a+2],由题意得 f(x)值域是 g(x)值域的子集,从而得到实数 a 的取 值范围. 【解答】解:∵函数 f(x)=x2﹣2x 的图象是开口向上的抛物线,且关于直线 x=1 对称 ∴x1∈[﹣1,2]时,f(x)的最小值为 f(1)=﹣1,最大值为 f(﹣1)=3, 可得 f(x1)值域为[﹣1,3] 又∵g(x)=ax+2(a>0),x2∈[﹣1,2], ∴g(x)为单调增函数,g(x2)值域为[g(﹣1),g(2)] 即 g(x2)∈[2﹣a,2a+2]
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∵?x1∈[﹣1,2],?x2∈[﹣1,2],使得 f(x1)=g(x2), ∴ 故选 D 【点评】本题着重考查了函数的值域,属于中档题.本题虽然是一道小题,但完全可以改成一道大题,处 理的关键是对“任意”、“存在”的理解. ?a≥3

11.若实数 x,y 满足 x2+4y2=4,则 A. B. C. D.

的最大值为(



【考点】椭圆的参数方程;基本不等式在最值问题中的应用;三角函数的最值. 【专题】平面向量及应用. 【分析】先根据实数 x,y 满足 x2+4y2=4,利用三角换元法:设 x=2cosθ,y=sinθ,代入 后利用三角函数的性质即可得出 的最大值. 化简,最

【解答】解:∵实数 x,y 满足 x2+4y2=4, ∴设 x=2cosθ,y=sinθ, 则 = = =

= ∴当 θ= 故选 C. 时,

, 取最大值为 .

【点评】本小题主要考查二元函数最值的求法、三角函数的性质等基础知识,考查运算求解能力与转化思 想.属于中档题.

12.已知 O 是△ ABC 外接圆的圆心,A、B、C 为△ ABC 的内角,若 值为( A.1 ) B.sinA C.cosA D.tanA

,则 m 的

【考点】平面向量的基本定理及其意义. 【专题】平面向量及应用.

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【分析】根据题意画出相应的图形,取 AB 的中点为 D,根据平面向量的三角形法则可得 用外接圆的性质可得 OD⊥AB, 向量 .由向量共线定理可得

,利

.等式两边同时与

作数量积,再利用正弦定理及两角和的余弦公式即可得出. ,∵点 O 是三角形 ABC 的外接

【解答】解:如图所示,取线段 AB 的中点 D,连接 DO,则 圆的圆心,∴OD⊥AB,∴ . 对等式 两边与向量 作数量积,得 , 化为 由正弦定理得 ∴ 故选 B. = ,∴ ,∴ . =sinA, . .

【点评】本题综合考查了三角形的外接圆的性质、向量的三角形法则、数量积运算、正弦定理、三角形的 内角和定理、两角和的圆心公式等基础知识与基本技能,考查了数形结合的能力、推理能力、计算能力.

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在答题纸的相应位置上) 13.读两段程序:对甲、乙程序和输出结果判断正确的是 ② .

①程序不同,结果不同
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②程序不同,结果相同 ③程序相同,结果不同 ④程序相同,结果相同. 【考点】循环结构. 【专题】算法和程序框图. 【分析】程序甲是 WHILE WEND 语句,只要变量 i≤1000 成立,求和运算就要执行下去,直到 i>1000 时 终止运算并输出求出的和 S;而程序乙是 DO LOOP UNTIL 语句,只要变量 i≥1 成立,求和运算就要执行 下去,直到 i<1 时终止运算并输出求出的和 S,由此可得两程序结构不同,但输出的 S 也不同,可得本题 答案. 【解答】解:程序甲是计数变量 i 从 1 开始逐步递增直到 i=1000 时终止, 累加变量 S 从 0 开始,这个程序计算的是:1+2+3+…+1000; 程序乙计数变量 i 从 1000 开始逐步递减到 i=0 终止, 累加变量从 0 开始,这个程序计算的是 1000+999+…+2+1 但这两个程序是不同的. 两种程序的输出结果却相同. 故答案为:②. 【点评】考查由框图分析出算法结构的能力,本题考查是循环的结果

14.某四棱锥的三视图如图所示,则该四棱锥的体积为 16 .

【考点】由三视图求面积、体积. 【专题】计算题;空间位置关系与距离. 【分析】根据几何体的三视图,得出该几何体是底面为矩形,高为 4 的直四棱锥,求出它的体积即可. 【解答】解:根据几何体的三视图,得;
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该几何体是底面为矩形的直四棱锥,如图所示; 所以,该四棱锥的体积是 V= ×4×3×4=16. 故答案为:16.

【点评】本题考查了空间几何体三视图的应用问题,也考查了几何体体积的计算问题,是基础题目.

15.已知双曲线的方程为



=1(a>0,b>0),过左焦点 F1 作斜率为 .

的直线交双曲线的右支于

点 P,且 y 轴平分线段 F1P,则双曲线的离心率是 【考点】双曲线的简单性质. 【专题】计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程.

【分析】先求过焦点 F1(﹣c,0)的直线 l 的方程,进而可得 P 的坐标,代入双曲线方程,结合几何量之 间的关系,即可求出双曲线的离心率. 【解答】解:由题意,过焦点 F1(﹣c,0)的直线 l 的方程为:y= ∵直线 l 交双曲线右支于点 P,且 y 轴平分线 F1P, ∴直 l 交 y 轴于点 Q(0, c). ,∴P 点坐标(c, ), (x+c),

设点 P 的坐标为(x,y),则 x+c=2c,y=

代入双曲线方程得:



=1

又∵c2=a2+b2,∴c2=3a2,∴c= ∴e= = 故答案为: .

a

【点评】本题考查双曲线的几何性质,考查学生的计算能力,确定 P 的坐标是关键.
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16.记定义在 R 上的函数 y=f(x)的导函数为 f′(x).如果存在 x0∈[a,b],使得 f(b)﹣f(a)=f′(x0) (b﹣a)成立,则称 x0 为函数 f(x)在区间[a,b]上的“中值点”.那么函数 f(x)=x3﹣3x 在区间[﹣2, 2]上的“中值点”为 【考点】导数的运算. 【专题】新定义;函数的性质及应用. 【分析】根据题意,对 f(x)求导数,代入新定义公式,求出中值点. 【解答】解:∵f(x)=x3﹣3x, ∴f′(x)=3x2﹣3, 设 x0 为 f(x)在区间[﹣2,2]上的“中值点”, 则 f′(x0)= 即3 ﹣3=1, ; . = =1, .

解得 x0=± 故答案为:±

【点评】本题考查了新定义函数的导数以及对新定义的理解、分析和计算能力,是基础题.

三、解答题(本大题 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤,并把解答写在答卷 纸的相应位置上) 17.ABC 中,a、b、c 分别是角 A、B、C 的对边, (1)判断△ ABC 的形状 (2)若 ,求 的取值范围、 <C< ,且 .

【考点】平面向量数量积的运算;向量的模;三角函数中的恒等变换应用. 【专题】计算题. 【分析】本题考查的知识点是两角和与差的正弦公式,倍角公式,解三角形,平面向量的数量积运算,向 量的模等知识点.

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(1)要判断△ ABC 的形状,我们可由

,结论正弦定理边角互化的原则,将式子中边

全部化为对应角的正弦值,然后根据两角和与差的正弦公式,倍角公式,得到 sinB=sin2C,又由因为 ,我们易判断三角形的形状. (2) 由 的取值范围. 【解答】解:(1) ?sinBsinA﹣sinBsin2C=sinAsin2C﹣sinBsin2C ?sinB=sin2C, 因为 , , 两边平方后, 根据 (1) 的结论, 我们可求出 B 的表达式及取值范围, 进而求出

所以 B=π﹣2C?B+C=π﹣C?π﹣A=π﹣C?A=C 即△ ABC 为等腰三角形. (2)因为

所以



而 所以 ,

【点评】要根据某个恒成立的三角函数关系式,判断三角形的形状,一般的思路是分析角与角的关系,如 果有三个角相等,则为等边三角形;如果只能得到两个角相等,则为普通的等腰三角形;如果两个角和为 90°,或一个角为 90°,则为直角三角形.

18.一个盒子中装有形状大小相同的 5 张卡片,上面分别标有数字 1,2,3,4,5,甲乙两人分别从盒子 中随机不放回的各抽取一张. (Ⅰ)写出所有可能的结果,并求出甲乙所抽卡片上的数字之和为偶数的概率; (Ⅱ)以盒子中剩下的三张卡片上的数字作为边长来构造三角形,求出能构成三角形的概率. 【考点】古典概型及其概率计算公式. 【专题】计算题;概率与统计.

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【分析】(Ⅰ)根据盒子中装有形状大小相同的 5 张卡片,上面分别标有数字 1,2,3,4,5,可以写出 所有可能的结果,从而求出甲乙所抽卡片上的数字之和为偶数的概率; (Ⅱ)确定剩下的三边长包含的基本事件,剩下的三张卡片上的数字作为边长能构成三角形的基本事件, 即可求出能构成三角形的概率. 【解答】解:(Ⅰ)甲乙两人分别从盒子中随机不放回的各抽取一张,基本事件有(1,2),(1,3), (1,4),(1,5),(2,1),(2,3),(2,4),(2,5),(3,1),(3,2),(3,4),(3, 5),(4,1)(4,2),(4,3),(4,5)(5,1),(5,2),(5,3),(5,4)共 20 个… 设事件 A=“甲乙所抽卡片上的数字之和为偶数” 则事件 A 包含的基本事件有(1,3),(1,5),(2,4),(3,1),(3,5),(4,2),(5,1), (5,3)共 8 个… 所以 .…

(Ⅱ)剩下的三边长包含的基本事件为:(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1, 3,5),(1,4,5),(2,3,4),(2,3,5),(2,4,5),(3,4,5)共 10 个;… 设事件 B=“剩下的三张卡片上的数字作为边长能构成三角形“ 则事件 B 包含的基本事件有:(2,3,4),(2,4,5),(3,4,5)共 3 个… 所以 .…

【点评】列举法是确定基本事件的常用方法.

19.在四棱锥 P﹣ABCD 中,PA⊥平面 ABCD,AD⊥AB,△ ABC 是正三角形,AC 与 BD 的交点 M 恰好 是 AC 中点,N 为线段 PB 的中点,G 在线段 BM 上,且 (Ⅰ)求证:AB⊥PD; (Ⅱ)求证:GN∥平面 PCD. .

【考点】直线与平面平行的判定.
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【分析】(Ⅰ)根据线面垂直的性质和判定,即可得证; (Ⅱ)由等边三角形的性质和直角三角形中 30°所对的直角边为斜边的一半,得到 线段成比例的判定得到 GN∥PD,再由线面平行的判定定理即可得证. 【解答】(Ⅰ)证明:∵PA⊥平面 ABCD, ∴PA⊥AB, 又∵AD⊥AB,∴AB⊥平面 PAD, 又 PD?平面 PAD,∴AB⊥PD. (Ⅱ)证明:∵△ABC 是正三角形,且 M 是 AC 中点, ∴BM⊥AC, 在直角三角形 AMD 中,∠MAD=30°,∴ 在直角三角形 ABD 中,∠ABD=30°,∴ ∴ 又∵ , ,∴BG=GD,又 N 为线段 PB 的中点, , , ,由平行线分

∴GN∥PD,GN?平面 PCD,PD?平面 PCD, ∴GN∥平面 PCD.

【点评】本题主要考查线面垂直的判定和性质,以及线面平行的判定定理,注意线线垂直与线面垂直的相 互转化,本题属于基础题.

20.已知抛物线 y2=4x 的焦点为 F2,点 F1 与 F2 关于坐标原点对称,以 F1,F2 为焦点的椭圆 C 过点 . (Ⅰ)求椭圆 C 的标准方程;
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(Ⅱ)设点 T(2,0),过点 F2 作直线 l 与椭圆 C 交于 A,B 两点,且 的取值范围. 【考点】直线与圆锥曲线的关系;椭圆的标准方程. 【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】 (Ⅰ) 设椭圆的半焦距为 c, 由 y2=4x 求得 c=1. 设椭圆 C 的标准方程为

,若



由于椭圆 C 过点

.代入椭圆方程可得

,又 a2=b2+c2,联立解得即可;

(II)对直线 l 的斜率分类讨论:当直线 l 的斜率不存在时,即 λ=﹣1 时,直接求出.当直线 l 的斜率存在 时,即 λ∈[﹣2,﹣1)时,设直线 l 的方程为 y=k(x﹣1),与椭圆的方程联立可得根与系数的关系,再利 用向量相等 ,可得 ,且 λ<0.进而得到: .由 λ∈[﹣2,﹣1)可得

到 k2 的取值范围. 由于

= y1) y2) (x1﹣2, , = (x2﹣2, , 可得

=



通过换元,令

,即可得出.

【解答】解:(Ⅰ)设椭圆的半焦距为 c,由 y2=4x 得 c= =1,

设椭圆 C 的标准方程为



∵椭圆 C 过点



∴ 又 a2=b2+1,



联立解得 b2=1,a2=2. 故椭圆 C 的标准方程为 (Ⅱ) 1)当直线 l 的斜率不存在时,即 λ=﹣1 时, 又 T(2,0),∴ , . , .

2)当直线 l 的斜率存在时,即 λ∈[﹣2,﹣1)时,设直线 l 的方程为 y=k(x﹣1),
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得(1+2k2)x2﹣4k2x+2k2﹣2=0,

设 A(x1,y1),B(x2,y2),显然 y1≠0,y2≠0,则由根与系数的关系, 可得: , ,



,①





,∴

,且 λ<0.

将①式平方除以②式得:



由 λ∈[﹣2,﹣1)得





故 ∵ ∴ 又

,解得 =(x1﹣2,y1),



=(x2﹣2,y2),

=(x1+x2﹣4,y1+y2), ,



=



令 ∴ ∴ 综上所述:

,∵

,∴

,即

, .

. ∈ .

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【点评】本题综合考查了椭圆与抛物线的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到根 与系数、换元法、分类讨论、向量相等及其向量运算和向量的模等基础知识与基本技能方法,考查了分析 问题和解决问题的能力,考查了推理能力和计算能力,属于难题.

21.已知函数 f(x)=|x﹣a|﹣lnx(a>0). (1)若 a>0,讨论 f(x)的单调区间; (2)若 a=1,求 f(x)的最小值; (3)证 + +…+ + <n﹣( ﹣ )(n∈N*,且 n≥2).

【考点】利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究函数的单调性. 【专题】综合题;导数的综合应用. 【分析】(1)将绝对值符号化去,分类讨论,再求导函数,即可确定函数的单调区间; (2)a=1 时,f(x)=|x﹣1|﹣lnx,将绝对值符号化去,分类讨论,再求导函数,即可确定函数的单调区间, 进而可得 f(x)的最小值; (3)由(2)可知,lnx≤x﹣1,从而 放缩法,即可证得结论成立. 【解答】解:若 a≥1,当 x≥a 时,f(x)=x﹣a﹣lna,f′(x)= 增; 当 0<x<a 时,f(x)=a﹣x﹣lnx,f′(x)=﹣1﹣ <0,所以 f(x)在(0,a)上单调递减; 若 0<a<1,当 x≥a 时,f(x)=x﹣a﹣lna,f′(x)= ,x>1,f′(x)>0,a<x<1,f′(x)<0 ≥0,∴f(x)在区间[a,+∞)上单调递 ,令 x=n2,可得 ≤ (1﹣ ),再进行叠加,利用

∴f(x)在区间[1,+∞)上单调递增,(a,1)上单调递减; 当 0<x<a 时,f(x)=a﹣x﹣lnx,f′(x)=﹣1﹣ <0,所以 f(x)在(0,a)上单调递减; 而 f(x)在 x=a 处连续,则 f(x)在(1,+∞)上单调递增,(0,1)上单调递减 综上,当 a≥1 时,f(x)的递增区间是(a,+∞),递减区间是(0,a);当 0<a<1 时,f(x)的递增区 间是(1,+∞),递减区间是(0,1);… (2)a=1 时,f(x)=|x﹣1|﹣lnx (x>0) 当 0<x≤1,f(x)=1﹣(x+lnx),f′(x)=﹣1﹣ <0,所以 f(x)在(0,1]上单调递减; 当 x>1,f(x)=x﹣(1+lnx),f′(x)= >0,所以 f(x)在(1,+∞)上单调递增,
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∴x=1 时,f(x)的最小值为 f(1)=0… (3)由(2)可知,当 a=1,x>1 时,有 f(x)>f(1)=0, ,





n≥2 时,



= ﹣







… 【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性,用放缩法证明不等式,体现了转化的数学思想,其中,用 放缩法证明不等式 是解题的难点.

【选修 4-1:几何证明选讲】(共 1 小题,满分 10 分) 22.选修 4﹣1:几何证明选讲 如图所示,已知 PA 与⊙O 相切,A 为切点,过点 P 的割线交圆于 B、C 两点,弦 CD∥AP,AD、BC 相 交于点 E,F 为 CE 上一点,且 DE2=EF?EC. (1)求证:CE?EB=EF?EP; (2)若 CE:BE=3:2,DE=3,EF=2,求 PA 的长.

【考点】与圆有关的比例线段. 【专题】选作题. 【分析】(I)由已知可得△ DEF∽△CED,得到∠EDF=∠C.由平行线的性质可得∠P=∠C,于是得到 ∠EDF=∠P,再利用对顶角的性质即可证明△ EDF∽△EPA.于是得到 EA?ED=EF?EP.利用相交弦定理 可得 EA?ED=CE?EB,进而证明结论; (II)利用(I)的结论可得 BP= ,再利用切割线定理可得 PA2=PB?PC,即可得出 PA.

【解答】(I)证明:∵DE2=EF?EC,∠DEF 公用,
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∴△DEF∽△CED, ∴∠EDF=∠C. 又∵弦 CD∥AP,∴∠P=∠C, ∴∠EDF=∠P,∠DEF=∠PEA ∴△EDF∽△EPA. ∴ ,∴EA?ED=EF?EP.

又∵EA?ED=CE?EB, ∴CE?EB=EF?EP; (II)∵DE2=EF?EC,DE=3,EF=2. ∴32=2EC,∴ .

∵CE:BE=3:2,∴BE=3. 由(I)可知:CE?EB=EF?EP,∴ ∴BP=EP﹣EB= . ,解得 EP= ,

∵PA 是⊙O 的切线,∴PA2=PB?PC, ∴ ,解得 .

【点评】熟练掌握相似三角形的判定和性质定理、平行线的性质、对顶角的性质、相交弦定理、切割线定 理是解题的关键.

【选修 4-4:坐标系与参数方程.】(共 1 小题,满分 0 分) 23.坐标系与参数方程在直角坐标系 xOy 中,圆 C 的参数方程 x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系. (Ⅰ)求圆 C 的极坐标方程; (Ⅱ)射线 OM:θ= 与圆 C 的交点为 O、P 两点,求 P 点的极坐标. (φ 为参数).以 O 为极点,

【考点】简单曲线的极坐标方程;参数方程化成普通方程. 【专题】坐标系和参数方程. 【分析】(Ⅰ)通过 x=ρcosθ,y=ρsinθ,直接把圆的普通方程化为极坐标方程即可. (Ⅱ)解法 1:求出射线 OM 的普通方程为 y=x,x≥0,与圆的方程联立,求出 P 点的坐标为(1,1),转 化为极坐标即可.
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解法 2:把

代入 ρ=2cosθ 即可求解 P 点的极坐标.

【解答】解:(Ⅰ)圆 C 的普通方程是(x﹣1)2+y2=1,又 x=ρcosθ,y=ρsinθ 所以圆 C 的极坐标方程是 ρ=2cosθ… (Ⅱ)解法 1:因为射线 的普通方程为 y=x,x≥0 消去 y 并整理得 x2﹣x=0

联立方程组

解得 x=1 或 x=0,所以 P 点的坐标为(1,1) 所以 P 点的极坐标为 解法 2:把 代入 ρ=2cosθ 得 … …

所以 P 点的极坐标为

【点评】本题考查圆的极坐标方程与普通方程的互化,点的极坐标与极坐标的转化,考查计算能力.

【选修 4-5:不等式选讲】(共 1 小题,满分 0 分) 24.(Ⅰ)设函数 f(x)=|x﹣ |+|x+a|(a>0).证明:f(x)≥2; (Ⅱ)若实数 x,y,z 满足 x2+4y2+z2=3,求证:|x+2y+z|≤3. 【考点】不等式的证明. 【专题】推理和证明. 【分析】(Ⅰ)通过绝对值三角不等式,已经基本不等式,即可证明 f(x)≥2; (Ⅱ)利用已知条件构造柯西不等式,然后证明即可. 【解答】证明:(Ⅰ)由 a>0, 有 所以 f(x)≥2… (Ⅱ)∵x2+4y2+z2=3,由柯西不等式得:[x2+(2y)2+z2](12+12+12)≥(x+2y+z)2(当且仅当 即 时取“=”号) 当且仅当 a=1 时取等号.

整理得:(x+2y+z)2≤9,即|x+2y+z|≤3… 【点评】本题考查不等式的证明,基本不等式以及柯西不等式的应用,考查推理与计算能力.

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