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寒假补习班之立体几何练习(打印)


立体几何练习题
一、选择题
1.已知平面 ? 外不共线的三点 A, B, C 到 ? 的距离都相等,则正确的结论是 A. 平面 ABC 必平行于 ? B. 平面 ABC 必与 ? 相交 C. 平面 ABC 必不垂直于 ? D. 存在 ?ABC 的一条中位线平行于 ? 或在 ? 内 2.若空间中有四个点,则“这四个点中有三点在同一直线上”是“这四个点在同一平面上

” 的 (A)充分非必要条件; (B)必要非充分条件; (C)充要条件; (D )非充分非必要条件. 3.如果一条直线与一个平面垂直,那么,称此直线与平面构成一个 “正交线面对 ”。在正方 体中,由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的 “正交线面对”的个数是 (A) 48 (B)18 ( C)24 (D)36 4.已知二面角 ? ? l ? ? 的大小为 60 , m 、n 为异面直线,且 m ? ?,n ? ? ,则 m、n 所 成的角为
0

(A) 30 ( B) 60 (C) 90 (D ) 120 5.已知球 O 半径为 1, A、B、 C 三点都在球面上, A、B 两点和 A、 C 两点的球面距离都 是 ? ,B、 C 两点的球面距离是 ? ,则二面角 B ? OA ? C 的大小是 3 4 (A)

0

0

0

0

? 4

( B)

? 3

(C)

? 2

(D ) 2? 3

7.设 m 、 n 是两条不同的直线, ? 、 ? 是两个不同的平面.考查下列命题,其中正确的命 题是 A. m ? ? , n ? C. ? ?

?,m ? n ? ? ? ?

B. ? // ? , m ? ? , n // ? ? m ? n D. ? ?

? , m ? ? , n // ? ? m ? n

? ,? ? ? ? m, n ? m ? n ? ?

8.设 A、B、 C、D 是空间四个不同的点,在下列命题中,不正确 的是 ... A.AC 与 BD 共面,则 AD 与 BC 共面 B.若 AC 与 BD 是异面直线,则 AD 与 BC 是异面直线 C.若 AB=AC,DB=DC,则 AD=BC D.若 AB=AC,DB=DC,则 AD ? BC 9.若 l 为一条直线, ?,?,? 为三个互不重合的平面,给出下面三个命题:

?, ? ? ∥ ? ? ? ? ① ? ? ?,? ? ? ? ? ? ? ; ②? ?

; ③ l ∥?,l ? ? ? ? ? ? .

其中正确的命题有 A. 0 个 B.1 个 C. 2 个 D. 3 个 10.如图, O 是半径为 1 的球心,点 A、B、 C 在球面上, OA、 OB、 OC 两两垂直,E、F 分别是大圆弧

AB 与 AC 的中点,则点 E、F 在该球面上的球面距离是

(A)

? 4

(B)

? 3

(C)

? 2

(D)

2? 4

E、F 分别为 AB、 A1C1 的中点,则 11.如图,正三棱柱 ABC ? A 1B 1C1 的各棱长都为 2,
EF 的长是 (A) 2 ( B) 3 (C) 5 ( D) 7

12.若 P 是平面 ? 外一点,则下列命题正确的是 (A)过 P 只能作一条直线与平面 ? 相交 (B)过 P 可作无数条直线与平面 ? 垂直 (C)过 P 只能作一条直线与平面 ? 平行 (D)过 P 可作无数条直线与平面 ? 平行 13.对于任意的直线 l 与平面 ? ,在平面 ? 内必有直线 m ,使 m 与 l (A)平行 ( B)相交 ( C)垂直 (D )互为异面直线 14.对于平面 ? 和共面的直线 m 、 n, 下列命题中真命题是 (A)若 m ? ? , m ? n, 则 n∥? (C)若 m ? ? , n∥? ,则 m∥n (B)若 m∥? ,n∥? ,则 m∥n (D)若 m 、 n 与 ? 所成的角相等,则 m∥n

15.关于直线 m 、 n 与平面 ? 、 ? ,有下列四个命题: ① 若 m // ? , n // ? 且 ? // ? ,则 m // n ; ② 若 m ? ? , n ? ? 且 ? ? ? ,则 m ? n ; ③ 若 m ? ? , n // ? 且 ? // ? ,则 m ? n ; ④ 若 m // ? , n ? ? 且 ? ? ? ,则 m // n 。 其中真命题的序号式 A.①② B.③④ 16.给出下列四个命题:

C.①④

D.②③

①垂直于同一直线的两条直线互相平行 ②垂直于同一平面的两个平面互相平行 ③若直线 l1 , l2 与同一平面所成的角相等,则 l1 , l2 互相平行

④若直线 l1 , l2 是异面直线,则与 l1 , l2 都相交的两条直线是异面直线 其中假命题 的个数是 ... (A) 1 (B) 2

(C) 3

( D) 4

17.如图,平面 ? ? 平面 ? , A ? ? , B ? ? , AB 与两平面 ? 、 ? 所成的角分别为 B 分别作两平面交线的垂线, B AB : ' ' ? 过 A、 垂足为 A ' 、B? , 则A A B C D ( ) 2 :1 ( ) 3 :1 ( ) 3: 2 ( ) 4:3
A

? ? 和 。 4 6

?

18.如图,平面 ? ? 平面 ? ,

B' A'

B ?

? ? 和 。过 A、 4 6 B 分别作两平面交线的垂线,垂足为 A ' 、 B? ,若 AB=12,则 A ' B ' ?
A ? ? , B ? ? , AB 与两平面 ? 、? 所成的角分别为
( B)6 ( C)8 (A) 4 ( D) 9

二、计算题
1.如图,已知四棱锥 P-ABCD 的底面 ABCD 为等腰梯形, AB // DC ,

AC ? BD, AC 与 BD 相交于点 O ,且顶点 P 在底面上的
射影恰为 O 点,又 BO ? 2, PO ?

2, PB ? PD .

(Ⅰ)求异面直接 PD 与 BC 所成角的余弦值; (Ⅱ)求二面角 P ? AB ? C 的大小; (Ⅲ)设点 M 在棱 PC 上,且 时, PC ? 平面 BMD 。

PM ? ? ,问? 为何值 MC

2. 如图,α⊥β,α∩β =l , A∈α, B∈β,点 A 在直线 l 上的射影为 A1, 点 B 在 l 的射影 为 B1,已知 AB=2,AA1=1, BB1= 2, 求: (I) 直线 AB 分别与平面α,β所成角的大小; (II)二面角 A1- AB- B1 的大小。

3.在四棱锥 P- ABCD 中,底面是边长为 2 的菱形,∠DAB=60 ,对角线 AC 与 BD 相交于点 O, PO⊥平面 ABCD, PB 与平面 ABCD 所成的角为 60 . (1)求四棱锥 P- ABCD 的体积; (2)若 E 是 PB 的中点,求异面直线 DE 与 PA 所成角的 大小(结果用反三角函数值表示) .
?

?

4.在直三棱柱 ABC ? A 1B 1C1 中, ?ABC ? 90 , AB ? BC ? 1. (1)求异面直线 B1C1 与 AC 所成的角的大小;

ABC 所成角为 45 ,求三棱锥 A1 ? ABC 的体积。 (2)若 AC 1 与平面

5.如图,四面体 ABCD 中, O、E 分别是 BD、 BC 的中点,

CA ? CB ? CD ? BD ? 2, AB ? AD ? 2.
(I)求证: AO ? 平面 BCD; (II)求异面直线 AB 与 CD 所成角的大小; (III)求点 E 到平面 ACD 的距离。

A

D O B E C

6.如图,在棱长为 1 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,P 是侧棱 CC1 上的一点,CP=m, (I)试确定 m,使得直线 AP 与平面 BD D 1B1 所成 角的正切值为 3 2 ; (Ⅱ)在线段 A1C1 上是否存在一个定点 Q,使得对 任意的 m,D 1Q 在平面 APD 1 上的射影垂直于 AP ,并证 明你的结论。

BC 边上的中 7. 如图,已知正三棱柱 ABC ? A 1B 1C1 的侧棱长和底面边长为 1, M 是底面
点, N 是侧棱 CC1 上的点,且 CN=2C1 N 。 (Ⅰ)求二面角 B1 ? AM ? N 的平面角的余弦值; (Ⅱ)求点 B1 到平面 AMN 的距离。

1.D 2. A 3.D 4.B 5. C 6.B 7. B 8. C 9.C 10.B 11. C 12.D 13.C 14.C 15.D 16.D 17. A 18.B 1、 【解】 解法一:

PO ? 平面 ABCD ,

? PO ? BD

又 PB ? PD, BO ? 2, PO ?

2 , 由 平 面 几 何 知 识 得 :

OD ? 1, PD ? 3, PB ? 6
(Ⅰ)过 D 做 DE // BC 交于 AB 于 E ,连结 PE ,则 ?PDE 或 其补角为异面直线 PD 与 BC 所成的角, 四边形 ABCD 是等腰梯形,

? OC ? OD ? 1, OB ? OA ? 2, OA ? OB

? BC ? 5, AB ? 2 2, CD ? 2
又 AB // DC 是 平 行 四 边 形 。 ? 四 边 形 EBCD

? E D ? B C ? 5 , B E? C D ? 2

? E 是 AB 的中点,且 AE ? 2
又 PA ? PB ? 6 ,

??PEA 为直角三角形,

? PE ? PA2 ? AE 2 ? 6 ? 2 ? 2

在 ?PED 中,由余弦定理得: cos ?PDE ?

PD2 ? DE 2 ? PE 2 3 ? 5 ? 4 2 15 ? ? 15 2PD ? DE 2? 3 ? 5

故异面直线 PD 与 BC 所成的角的余弦值为

2 15 。 15

(Ⅱ)连结 OE ,由(Ⅰ)及三垂线定理知, ?PEO 为二面角 P ? AB ? C 的平面角

? sin ?PEO ?

PO 2 ? , PE 2

??PEO ? 450

?二面角 P ? AB ? C 的大小为 450
(Ⅲ)连结 MD, MB, MO ,

PC ? 平面 BMD, OM ? 平面 BMD ,
又在 Rt ?POC 中, PC ? PD ? 3, OC ? 1, PO ?

PC ? OM

2 ,? PM ?

2 3 3 , MC ? , 3 3

?

PM ?2 MC

故 ? ? 2 时, PC ? 平面 BMD

解法二:

PO ? 平面 ABCD

? PO ? BD

又 PB ? PD , BO ? 2, PO ?

2,

由平面几何知识得: OD ? OC ? 1, BO ? AO ? 2 以 O 为原点, OA, OB, OP 分别为 x, y, z 轴建立如图所示的空间 直角坐标系,则各点坐标为 O(0, 0, 0) , A(2, 0, 0) , B(0, 2, 0) ,

C (?1, 0, 0) , D(0, ?1, 0) , P(0,0, 2)
(Ⅰ)

PD ? (0, ?1, ? 2) ,

BC ? (?1, ?2,0) ,


? PD ? 3, BC ? 5, PD ? BC ? 2

? cos ? PD, BC ??

PD ? BC PD BC

?

2 15 。 15 2 15 。 15

故直线 PD 与 BC 所成的角的余弦值为

(Ⅱ)设平面 PAB 的一个法向量为 n ? ( x, y, z ) , 由于 AB ? (?2, 2,0) , AP ? (?2,0, 2) , 由 ?

? ?n ? AB ? 0 ? ?n ? AP ? 0



? ?x? y ? ? ?z ? 2x

取 n ? (1,1, 2) ,又已知平面 ABCD 的一个法向量 m ? (0, 0,1) ,

? cos ? m, n ??

m? n 2 ? 。 m?n 2

又二面角 P ? AB ? C 为锐角,

?所求二面角 P ? AB ? C 的大小为 45
2 x0 ? 2 ,

(Ⅲ)设 M ( x0 ,0, z0 ) ,由于 P, M , C 三点共线, z0 ?

PC ? 平面 BMD

? OM ? PC

?(?1,0, ? 2) ? ( x0 ,0, z0 ) ? 0
由(1) (2)知: x0 ? ?

? x0 ? 2 z0 ? 0
2 2 ? M (? , 0, ) 3 3
?? ? PM ?2 MC

2 2 , z0 ? 。 3 3

故 ? ? 2 时, PC ? 平面 BMD 。

2、 【解】 解法一: (Ⅰ)如图, 连接 A1B,AB1, ∵α⊥β, α∩β=l ,AA1⊥l , BB1⊥l, ∴AA1⊥β , BB1⊥α. 则∠ BAB1,∠ ABA1 分别是 AB 与α和β所成的角 . Rt△BB1A 中, BB1= 2 , AB=2, ∴sin∠ BAB1 = BB1 2 = . AB 2 ∴∠BAB1=45°. AA1 1 = , AB 2 ∴∠ ABA1= 30°.

Rt△ AA1B 中 , AA1=1,AB=2, sin∠ ABA1=

故 AB 与平面α,β所成的角分别是 45°,30°. (Ⅱ)∵BB1⊥α, ∴平面 ABB1⊥α。 在平面α内过 A1 作 A1E⊥ AB1 交 AB1 于 E,则 A1E⊥平面 AB1B。过 E 作 EF⊥ AB 交 AB 于 F,连接 A1F,则由三垂线定理得 A1F⊥ AB, ∴∠ A1FE 就是所求二面角的平面 角. 在 Rt △ ABB1 中 , ∠ BAB1=45 ° , ∴AB1=B1B= 2. ∴Rt△ AA1B 中, A1B= AB2- AA12 = 4-1 = 由 AA1· A1B=A1F· AB 得 A1F= 3。

AA1· A1B 1× 3 3 = = , AB 2 2 A1E 6 = , A1F 3 6 . 3

∴在 Rt△ A1EF 中,sin∠ A1FE =

∴二面角 A1- AB-B1 的大小为 arcsin 解法二: (Ⅰ)同解法一.

(Ⅱ) 如图 , 建立坐标系 , 则 A1(0,0,0),A(0,0,1),B 1(0,1,0),B( 2,1,0). 在 AB 上取 一点 → → F(x,y,z),则存在 t∈R,使得 AF =tAB , 即(x,y,z ? 1)=t( 2,1, ? 1), ∴点 F 的坐标为( 2t, t,1 ? t). 1 → → → → 要使A1F ⊥AB,须 A1F ·AB=0, 即( 2t, t,1 ? t) ·( 2,1, ? 1)=0, 2t+t ? (1 ? t)=0, 解得 t= , 4 ∴点 F 的坐标为( 21 3 , , ), 4 4 4 21 3 → ∴ A1F =( , , ). 4 4 4 2 11 → ∴ EF=( , ? , ). 4 44 → → ∴ EF⊥ AB,

1 1 设 E 为 AB1 的中点,则点 E 的坐标为( 0, , ) 。 2 2 2 11 1 1 1 → → 又EF·AB=( ,- , )·( 2,1, ? 1)= ? ? =0, 4 44 2 4 4 ∴∠A1FE 为所求二面角的平面角.

2 1 3 2 1 1 1 1 3 → → ( , , )·( ,- , ) - + 4 4 4 4 4 4 8 16 16 A1F ·EF 1 3 又 cos∠ A1FE= = = = = , 3 → → 2 1 9 2 1 1 3 1 3 |A1F |· |EF | + + · + + · 16 16 16 16 16 16 4 2 ∴二面角 A1- AB-B1 的大小为 arccos 3 . 3

3、 【解】 (1) 在四棱锥 P-ABCD 中,由 PO⊥平面 ABCD , 得 ∠PBO 是 PB 与平面 ABCD 所成的角,∠PBO=60° . 在 Rt△ AOB 中 BO=ABsin30° =1,由 PO⊥BO, 于是,PO=BOtg60° = 3 ,而底面菱形的面积为 2 3 . ∴四棱锥 P-ABCD 的体积 V=

1 × 2 3 × 3 =2. 3

(2)解法一:以 O 为坐标原点,射线 OB、 OC、 OP 分别为 x 轴、y 轴、z 轴的正半轴建立空间直角坐标 系. 在 Rt△ AOB 中 OA= 3 ,于是,点 A、 B、D、P 的坐标分别是 A(0,- 3 ,0), B(1,0,0),D(- 1,0,0),P(0,0, 3 )。

E 是 PB 的中点,则 E(

1 3 ,0, )。 2 2

于是 DE =(

3 3 ,0, ), AP =(0, 3 , 3 ). 2 2

3 2 2 ? 设 DE 与 AP 的夹角为 θ,有 cosθ= , 4 9 3 ? ? 3?3 4 4
∴异面直线 DE 与 PA 所成角的大小是 arccos 解法二:取 AB 的中点 F,连接 EF、DF. 由 E 是 PB 的中点,得 EF∥ PA, ∴∠FED 是异面直线 DE 与 PA 所成角(或它的补角) 。 在 Rt△ AOB 中 AO=ABcos30° = 3 =OP, 于是,在等腰 Rt△POA 中,PA= 6 ,则 EF=

θ=arccos

2 。 4

2 . 4

6 . 2

在正△ABD 和正△PBD 中,DE=DF= 3 .

1 6 EF 2 cos∠FED= 2 ? 4 = DE 3 4
2 . 4

∴异面直线 DE 与 PA 所成角的大小是 arccos 4、 【解】 (1) ∵ BC∥ B1C1,

∴∠ACB 为异面直线 B1C1 与 AC 所成角(或它的补角) ∵∠ABC=90° ,AB=BC=1, ∴∠ACB=45° , ∴异面直线 B1C1 与 AC 所成角为 45° . (2)∵ AA1⊥平面 ABC, ∠ACA1 是 A1C 与平面 ABC 所成的角,∠ACA1=45°. ∵∠ABC=90°,AB=BC=1,AC= 2 ∴AA1= 2 。

1 2 ∴三棱锥 A1-ABC 的体积 V= 3 S△ABC×AA1= 6 。

5、 【解】 本小题主要考查直线与平面的位置关系、异面直线所成的角以及点到平面的距离 基本知识,考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力。 方法一: (I)证明:连结 OC

BO ? DO, AB ? AD,? AO ? BD.

BO ? DO, BC ? CD,? CO ? BD.
在 ?AOC 中,由已知可得 AO ? 1, CO ? 3. 而 AC ? 2,

? AO2 ? CO2 ? AC 2 ,

??AOC ? 90o , 即 AO ? OC.
BD OC ? O,

? AO ? 平面 BCD

(II) 取 AC 的中点 M,连结 OM、ME、OE,由 E 为 BC 的中点知 ME∥AB,OE∥DC ?直线 OE 与 EM 所成的锐角就是异面直线 AB 与 CD 所成的角 在 ?OME 中, EM ?

1 2 1 AB ? , OE ? DC ? 1, 2 2 2

OM 是直角 ?AOC 斜边 AC 上的中线,? OM ?

1 AC ? 1, 2

? cos ?OEM ?

2 , 4

?异面直线 AB 与 CD 所成角的大小为 arccos
(III) 设点 E 到平面 ACD 的距离为 h.

2 . 4

VE ? ACD ? VA?CDE ,



1 1 h S?ACD ? AO S?CDE . 3 3

在 ?ACD 中, CA ? CD ? 2, AD ?

2,

1 2 7 ? S?ACD ? ? 2 ? 22 ? ( )2 ? . 2 2 2
3 AO.S?CDE 1? 2 21 ?h ? ? ? . S?ACD 7 7 2

而 AO ? 1, S?CDE

1 3 2 3 ? ? ?2 ? , 2 4 2

?点 E 到平面 ACD 的距离为
方法二: (I)同方法一。

21 . 7

(II)解:以 O 为原点,如图建立空间直角坐标系,则 B(1, 0, 0), D( ?1, 0, 0),

1 3 C (0, 3,0), A(0,0,1), E ( , ,0), BA ? (?1,0,1), CD ? (?1, ? 3,0). 2 2

? cos ? BA, CD ??

BACD . BA CD

?

2 , 4
2 . 4

z

A

?异面直线 AB 与 CD 所成角的大小为 arccos

D O

(III)解:设平面 ACD 的法向量为 n ? ( x, y, z ), 则

x

B

E

C

y

? ?n. AD ? ( x, y, z ).(?1,0, ?1) ? 0, ? ? ?n. AC ? ( x, y, z ).(0, 3, ?1) ? 0,

? ? x ? z ? 0, ?? ? ? 3 y ? z ? 0.

令 y ? 1, 得 n ? (? 3,1, 3) 是平面 ACD 的一个法向量。 又 EC ? (? ,

1 3 ,0), 2 2

?点 E 到平面 ACD 的距离 h ?

EC n n

?

3 21 ? . 7 7

6、 【解】 本小题主要考查线面关系、直线与平面所成角的有关知识及空间想像能力和推理 运算能力。考查应用向量知识解决数学问题的能力。 解法1: (I) 连AC, 设AC

BD ? O,

AP与面BDD1 B1 交于点G,连OG. 因为PC // 面BDD1 B1 , 面BDD1 B1
故 OG // PC 。所以 OG ?

面APC ? OG,

1 m PC ? 。 2 2

又 AO ? DB, AO ? BB1 , 所以AO ? 面BDD1 B1   . 故 ?AGO即为AP与面BDD1 B1 所成的角。

2 1 在 Rt △ AOG中, tan AGO ? 2 ? 3 2 ,即 m ? . m 3 2 1 故当 m ? 时,直线 AP与平面BDD1B1所成的角的正切值为3 2 。 3
(Ⅱ)依题意,要在 A1 C1 上找一点 Q ,使得 D1 Q ? AP . 可推测 A1 C1 的中点 O1 即为所求的 Q 点。 因为 D1 O1 ? A1 C1 . D1 O1 ? AA1 ,所以 D1 Q ? 面ACC1 A1 . 又 AP ? 面ACC1 A1 . ,故 D1 O1 ? AP 。 从而 D1 O1 在平面AD1 P上的射影与AP垂直。 解法二: (I)建立如图所示的空间直角坐标系,则 A(1,0,0),B(1,1,0),P(0,1,m), C(0,1,0), D(0,0,0),B1(1,1,1),D 1(0,0,1). 所以 BD ? (?1, ?1,0), BB1 ? (0,0,1),

AP ? (?1,1, m), AC ? (?1,1,0).
又由 AC ? BD ? 0, AC ? BB1 ? 0知AC为平面BB1 D1 D 的一个法向量 . 设 AP 与 面BDD1 B1   所成的角为 ? ,

则 sin ? ? cos(

?
2

?? ) ?
2

| AP ? AC | 2 ? | AP | ? | AC | 2 ? 2 ? m2
? 3 2 1 ? (3 2)
2

依题意有:

2? 2?m

2

,解得 m ?

1 . 3

故当 m ?

1 时,直线 AP与平面BDD1B1所成的角的正切值为3 2 。 3

(Ⅱ)若在 A1 C1 上存在这样的点 Q ,设此点的横坐标为 x , 则 Q( x,1 ? x,1), D1Q ? ( x,1 ? x,0) 。 依题意,对任意的 m 要使 D1Q 在平面 APD1 上的射影垂直于 AP。等价于

D1Q ? AP ? AP ? D1Q ? 0 ? x ? (1 ? x) ? 0 ? x ?
即 Q 为 A1 C1 的中点时,满足题设的要求。

1 2

7、 【解】 本小题主要考查线面关系、二面角和点到平面距离的有关知识及空间想象能力和 推理运算能力。考查应用向量知识解决数学问题的能力。 解法 1: (Ⅰ)因为 M 是底面 BC 边上的中点,所以 AM ? BC,又 AM ? CC1 ,所以 AM ? 面

BCC1B1 ,从而 AM ? B1M , AM ? NM,所以 ? B1MN 为二面角 B1 ? AM ? N 的平面角。
又 B1M =

B1B2 ? BM 2 ? 1 ?

1 5 1 4 5 2 2 ,MN= MC ? CN ? ? ? ? , 4 2 4 9 6 1 10 , ? 9 3

连 B1 N ,得 B1 N =

B1C12 ? C1 N 2 ? 1 ?

在 ?B1MN 中,由余弦定理得

5 25 10 ? ? B 1 M 2 ? MN 2 ? B 1 N 2 4 36 9 5 cos ?B1MN ? ? ? 。 2 B 1 M MN 5 5 5 2? ? 2 6
故所求二面角 B1 ? AM ? N 的平面角的余弦值为

5 。 5

(Ⅱ)过 B1 在面 BCC1B1 内作直线 B1H ? MN , H 为垂足。

又 AM ? 平面 BCC1B1 ,所以 AM ? B1H 。于是 B1 H ? 平面 AMN,故 B1H 即为 B1 到平面 AMN 的距离。在 R1?B1HM 中, B1H = B1M sin B1MH ? 面 AMN 的距离为 1。 解法 2: (Ⅰ)建立如图所示的空间直角坐标系,则 B1 (0, 0,1) ,M( 0,

5 1 ? 1 ? ? 1 。故点 B1 到平 2 5
1 ,0), 2

C(0,1,0),N (0,1,

2 3 1 , ,0 ),所以, ) ,A ( ? 3 2 2

AM ? (

1 1 2 3 ,0,0) , MB1 ? (0, ? ,1) , MN ? (0, , ) 。 2 2 3 2

因为 MB1 AM ?

3 1 ? 0 ? 0 ? (? ) ? 0 ? 1 ? 0 2 2

所以 MB1 ? AM ,同法可得 MN ? AM 。 故 ? MB1 , MN ? 为二面角 B1 ? AM ? N 的平面角。

5 MB1 ? MN 5 ? 12 ? . ∴ cos ? MB1 , MN ? = 5 5 5 MB1 ? MN ? 2 6
故所求二面角 B1 —AM— N 的平面角的余弦值为

5 。 5

(Ⅱ)设 n ? ( x, y, z ) 为平面 AMN 的一个法向量,则由 n ? AM , n ? MN 得

? 3 ?x ? 0 x?0 ? ? 2 ? ?? 4 ? ?1 y ? 2 z ? 0 ? ?y ? ? 3 z ? 3 ?2

故可取 n ? (0, ?

4 ,1) 。 3

5 2 5 ? 3 ? 设 MB1 与 n 的夹角为 ? ,则 cos ? ? 。 3 5 5 MB1 ? n ? 2 3 MB1 ? n
所以 B1 到平面 AMN 的距离为 MB1 ? cos a ?

5 2 5 ? ? 1。 2 5


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