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单调性


永 远 联 系 莫 分 华 离 罗 庚

切 莫 忘 几 何 代 数 统 一 体

隔 离 分 家 万 事 休

数 形 结 合 百 般 好

形 少 数 时 难 入 微

数 无 形 时 少 直 觉

焉 能 分 作 两 边 飞

数 与

形 本 是 相 倚 依

,

,

——

引例

图示是某市一天24小时内的气温变化图。气温θ 是关于时间 t 的函数,记为θ =f (t) ,观察这个 气温变化图,说明气温在哪些时间段内是逐渐升 高的或下降的?

解:函数y=f(x)的单调区间有 [-5,-2),[-2,1),[1,3),[3,5]
其中y=f(x)在区间[-5,-2), [1,3)是减函数, 在区间[-2,1), [3,5] 上是增函数。

在区间I内
y=f(x)
f(x2) y y

在区间I内
y=f(x)

图 象

·
·
x1 x2 x

f(x1) f(x2)

f(x1)

·
x1

·
x2 x

0

0

图象 特征
数量 特征

在区间I内
y=f(x)
f(x2) y y

在区间I内
y=f(x)

图 象

·
·
x1 x2 x

f(x1) f(x2)

f(x1)

·
x1

·
x2 x

0

0

图象 特征
数量 特征

从左至右,图象上升

在区间I内
y=f(x)
f(x2) y y

在区间I内
y=f(x)

图 象

·
·
x1 x2 x

f(x1) f(x2)

f(x1)

·
x1

·
x2 x

0

0

图象 特征
数量 特征

从左至右,图象上升
y随x的增大而增大

在区间I内
y=f(x)
f(x2) y y

在区间I内
y=f(x)

图 象

·
·
x1 x2 x

f(x1) f(x2)

f(x1)

·
x1

·
x2 x

0

0

图象 特征
数量 特征

从左至右,图象上升
y随x的增大而增大

从左至右,图象下降
y随x的增大而减小

在区间I内
y=f(x)
f(x2) y y

在区间I内
y=f(x)

图 象

·
·
x1 x2 x

f(x1) f(x2)

f(x1)

·
x1

·
x2 x

0

0

图象 特征 数量 特征

从左至右,图象上升
y随x的增大而增大 当x1<x2时, f(x1) < f( x 2 )

从左至右,图象下降
y随x的增大而减小

在区间I内
y=f(x)
f(x2) y y

在区间I内
y=f(x)

图 象

·
·
x1 x2 x

f(x1) f(x2)

f(x1)

·
x1

·
x2 x

0

0

图象 特征

从左至右,图象上升

从左至右,图象下降

y随x的增大而增大 y随x的增大而减小 数量 特征 当x1<x2时 f(x1) <f(x2) 当x1<x2时f(x1) >f(x2)

单调增函数和单调减函数的定义. 设函数y=f(x)的定义域为A,区间I ? A.
y
f(x2) f(x1)

如果对于属于定义域A 内某个区间I上的任意两 个自变量的值x1, x2,
x1 x2

O

x

当x1<x2时,都有f(x1 )

<

f(x2 ) 函

那么就说在f(x)这个区间上是单调增 数,I 称为 f(x) 的单调 增 区间.

单调增函数和单调减函数的定义. 设函数y=f(x)的定义域为A,区间I ? A.
y

f(x1)
f(x2)

如果对于属于定义域A 内某个区间I上的任意两 个自变量的值x1, x2,
当x1<x2时,都有f(x1 ) > f(x2 )
x1 x2

O

那么就说在f(x)这个区间上是单调 减 函 数,I 称为 f(x) 的单调 减 区间.

1.如果函数 y =f(x)在区间I是单调增函数或单 调减函数,就说函数 y =f(x)在区间I上具有单 调性。这个区间叫函数的单调区间。在单调区间 上,增函数的图象是上升的,减函数的图象是下 降的。(严格单调的) 2.函数单调性是针对某个区间而言的,是一个局 y 部性质;(区域性)
判断 函数 f (x)= x2 在 ? ??, ?? ? 是单调增函数;
o
y ? x
2

x

3. x 1, x 2 取值的任意性(任意性)
判断2:定义在R上的函数 f (x)满足 f (2)> f(1), y 则函数 f (x)在R上是增函数; f(2)

4.单调性与函数在个别点有无定义 的关系。

f(1)

O

1 2x

? 如:函数f (x)= x2在 ? 0, ? ? ? 或 ? 0, ? ? 单 调 递 增 都 可 以 ;

但y ?

1 x

在 ? 0, ? ? ? 单 调 减 函 数 , 就 不 能 说 ? 0, ? ? 单 调 减 函 数 。 ?

5.注意双向不等式的运用,可将抽 象不等式化为具体不等式。 x1<x2 ? f(x1 ) < f(x2 ) x1<x2 ? f(x1 ) > f(x2 )
如 : ? f ( x ) 在 ? 0,1 ? 上 单 增 , 且 f ( 2 x - 1 ) > f ( x + 2 ) . y 求 x的 取 值 范 围 。

6.运用单调性可求值域。

运用练习 题型一:图象法对单调性的判断
例2.画出下列函数图像,并写出单调区间:
(1) y ? 1 x ( x ? 0 );
2

(2) y ? ? x ? 2.

?3? y ? x ? 1
2

?4? y

? ?x ? 2 x ? 3
2

y ? a x ? b x ? c ( a ? 0 ) 的对称轴为
2

x ? ?

b 2a

y ? ax ? bx ? c
2

单调增区间

单调减区间

a>0

? b ? ? , ?? ? ? 2a ? ?

b ? ? ? ?? , ? 2a ? ? ?

a<0

b ? ? ? ?? , ? 2a ? ? ?

? b ? ? , ?? ? ? 2a ? ?

返回

题型二:用定义证明函数的单调性
例 判断函数 y ? x ?
1 x

在定义域 ? 0, ? ? ? 上的单调性.

主要步骤 1. 任取x1,x2∈D,且x1<x2;

2. 作差f(x1)-f(x2);
3. 变形(通常是因式分解和配方);

4. 定号(即判断差f(x1)-f(x2)的正负);
5. 下结论

证明:在区间 ?1, ? ? ? 上任取两个值 x1 , x 2 且 x1 ? x 2
则 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? ( x1 ?
1 x1 ) ? ( x2 ? 1 x2 )

设元

作差
1 x2 )

? ( x1 ? x 2 ) ? (
? ( x1 ? x 2 ) ?

1 x1

?

( x 2 ? x1 ) x1 ? x 2

变 形

? ( x1 ? x 2 )(

x1 ? x 2 ? 1 x1 ? x 2

)

? x1 , x 2 ? ? 1, ? ? ? ,且 x1 ? x 2 ? x1 ? x 2 ? 0, x1 x 2 ? 1 ? 0
? f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? 0,? f ( x1 ) ? f ( x 2 )

判号

所以函数 y ? x ?

1 x

在区间上

?1, ? ? ?

是增函数.

结论 返回

证明函数单调性的四步骤:

(1)设元: (在所给区间上任意设两
个实数
x1 , x 2 且 x1 ? x 2 .)

(2)比较: (作差

,然后变形,常 通过“因式分解”、“通分”、“配方 ”等手段将差式变形或作商)
f ( x1 ) ? f ( x 2 )

(3)判号: (判断的

f ( x1 ) ? f ( x 2 ) 符号)

(4)结论: (作出单调性的结论)

试用定义法证明函数 f ( x ) ? ?

1 x

?1

在区间 ? 0 , ? ? ? 上是单调增函数。

成果运用
若二次函数 f ( x ) ? ? x ? a x ? 4在区间 ? ? ? ,1 ? 上单调递 增,求a的取值范围。
2

变式1
若二次函数 f ( x ) ? ? x ? a x ? 4 的单调增区间是 ? ? ? ,1 ? , 则a的取值情况是 ( )
2

A. a ? ? 2

B. a ? 2

C. a ? ? 2

D. a ? 2

变式2
请你说出一个单调减区间是 ? ? ? , ? 1? 的二次函数

变式3
请你说出一个在 ? ? ? , ? 1? 上单调递减的函数

( A) y ? ?2 x ? 1
(C ) y ? 2 x

(B ) y ? ?3x ? 1
2

(D ) y ? 2x ? x ? 1
2

? x ?1 ? ?? x ? 1

x? 0 x? 0
________

成果运用
若二次函数 f ( x ) ? ? x ? a x ? 4在区间 ? ? ? ,1 ? 上单调递 增,求a的取值范围。
2

y

y

o1

x

o 1

x

解:二次函数 f ( x ) ? ? x ? a x ? 4 的对称轴为 x ? ?
2

a 2

,

由图象可知只要 x ? ?

a 2

? 1 ,即 a

? ? 2 即可.

小结
1.函数单调性的定义中有哪些关键点? 2.判断函数单调性有哪些常用方法? 3.你学会了哪些数学思想方法? 作业
1、教材 p37 /5,6,7 2、证明函数 f(x)=-x2在 ?0 , ? ? ? 上是 减函数。
3、证明函数 f(x)= x ? 在 ? 0,1 ? 上是 x 单调递增的。(选做) k f (x) ? ( k ? 0 ) 在 ? ? ? , 0 ? 和 ? 0, ? ? ? 上的单调性? 试讨论 x
1

数与形,本是相倚依, 焉能分作两边飞; 数无形时少直觉, 形少数时难入微; 数形结合百般好, 隔离分家万事休; 切莫忘,几何代数统一体, 永远联系莫分离. ——华罗庚

题型一:图象法对单调性的判断

?1 ? y ? x ? 1
2

?2? y

? ?x ? 2 x ? 3
2

例2.画出下列函数图像,并写出单调区间:
(2) y ? ? x ? 2.
2

y
2 1 -2 -1 -1 -2

y=-x2+2

(?? , 0] y ? ? x +2的 单 调 增 区 间 是 _______;
2

y ? ? x +2的 单 调 减 区 间 是 _______.
2

[0, ? ? )

1

2

x

变式1:讨论 y ? ax (a ? 0) 的单调性
2

变式2:讨论 y ? ax ? bx ? c(a ? 0) 的单调性
2

成果交流

f ( x ) 是定义在R上的单调函数,且 f ( x ) 的图

象过点A(0,2)和B(3,0) (1)解方程 f ( x ) ? f (1 ? x ) (2)解不等式 f (2 x ) ? f (1 ? x ) (3)求适合 f ( x ) ? 2 或 f ( x ) ? 0 取值范围 的 x 的

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