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江苏省淮安、宿迁、连云港、徐州苏北四市2016届高三上学期第一次考试 数学 Word版含答案


高三年级摸底考试 数学Ⅰ
第Ⅰ卷
一、填空题(本大题共 14 个小题,每小题 5 分,共 70 分,请把答案填写在答题卡相应位置) 1、已知集合 A ? {x | ?1 ? x ? 1} ,则 A ? Z ? 2、若复数 z ? (1 ? i )(m ? 2i )(i 为虚数单位)是纯虚数,则实数 m 的值为 3、数据 10, 6,8,5, 6 的方差 s 2 ? 4、抛掷甲乙两枚质地均匀且四面上标有 1, 2,3, 4 的正四面体,记落在桌面的底面上的数字分别为 x, y , 则

x 为正数的概率是 y
2

5、已知双曲线 x ? 则m ?

y2 ? 1(m ? 0) 的一条渐近线方程为 x ? 3 y ? 0 , m2

6、执行如图所示的算法流程图,则输出的结果是 7、底面边长为 2,侧棱长为 3 的正四棱锥的体积为 8、在等比数列 ?an ? 中,若 a1 ? 1, a3 a5 ? 4(a4 ? 1) ,则 a7 ? 9、已知 a ? 1, b ? 2, a ? b ? (1, 2) ,则向量 a, b 的夹角为 10、直线 ax ? y ? 1 ? 0 被圆 x ? y ? 2ax ? a ? 0 解得弦长为 2, 、
2 2

?

?

? ?

? ?

则实数 a 的值是 11、已知实数 f ? x ? ? ? x ? 2 x ,则不等式 f (log 2 x) ? f ? 2 ? 的解集是
2

12、将函数 y ? sin 2 x 的图象向左平移 ? (? ? 0) 个单位,若所得的图象过点 (

?
6

,

3 ) ,则 ? 的最小值为 2

13、在 ?ABC 中, AB ? 2, AC ? 3 ,角 A 的平分线与 AB 边上的中线交于点 O, 若 AO ? x AB ? y AC ( x, y ? R ) ,则 x ? y 的值为

????

??? ?

????

14、已知函数 f ? x ? ? e

x ?3

2 ? x ? 2(e 为自然对数的底数) , g ? x ? ? x ? ax ? a ? 3 ,若存在实数 x1 , x2 ,使得

f ( x1 ) ? g ( x2 ) ? 0 ,且 x1 ? x2 ? 1 ,则实数 a 的取值范围是

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15、 (本小题满分 14 分) 在锐角 ?ABC ,角 A, B, C 所对边分别为 a, b, c , b ? 4, c ? 6 ,且 a sin B ? 2 3 。

(1)求角 A 大大小; (2)若 D 为 BC 的中点,求线段 AD 的长。

16、 (本小题满分 14 分) 如图,在四棱锥 P ? ABCD 中, AB // CD, AC ? BD ,AC 与 BD 交于点 O,且平面 PAC ? 底面 ABCD , E 为棱 PA 上一点。 (1)求证: BD ? OE ; (2)若 AB ? 2CD, AE ? 2 EP ,求证: EO // 平面 PBC 。

17、 (本小题满分 12 分) 已 知 数 列

?an ?

满 足 2an ?1 ? an ? an ? 2 ? k (n ? N ? , k ? R ) , 且

a1 ? 2, a3 ? a5 ? ?4 。
(1)若 k ? 0 ,求数列 ?an ? 的前 n 项和 S n ; (2)若 a4 ? ?1 求数列 ?an ? 的前 n 项和 S n 。

18、 (本小题满分 16 分) 如图,墙上有一壁画,最高点 A 离地面 4 米,最低点 B 离地面 2 米,观察者从距离墙 x( x ? 1) 米,离地面 高 a (1 ? a ? 2) 米的 C 处观赏该壁画,设观赏视角 ?ACB ? ? . (1)若 a ? 1.5 ,问:观察者离墙多远时,视角 ? 最大? (2)若 tan ? ?

1 ,当 a 变化时,求 x 的取值范围。 2

19、 (本小题满分 16 分) 如图, 椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的上、 下顶点分别为 A、 B, 右焦点为 F, 点 P 在椭圆 C 上, 且 OP ? AF 。 a 2 b2

(1)若点 P 的坐标为 ( 3,1) ,求椭圆 C 的方程;

(2)延长 AF 交椭圆 C 与点 Q,若直线 OP 的斜率是直线 BQ 的斜率的 2 倍,求椭圆 C 的离心率; (3)求证:存在椭圆 C,使直线 AF 平分线段 OP。

20、 (本小题满分 16 分) 已知函数 f ? x ? ? cos x ? ax ? 1, a ? R
2

(1)求证:函数 f ? x ? 是偶函数; (2)当 a ? 1 时,求函数 f ? x ? 在 ? ?? , ? ? 上的最大值; (3)若对于任意的实数 x 恒有 f ? x ? ? 0 ,求实数 a 的取值范围。 21、 【选择题】本题包括 A、B、C、D 四小题,请选定其中两个小题,并在相应的答题区域作答,多多做, 则按作答的前两小题平分,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 A 【选修 4-1:几何证明选讲】 (本小题满分 10 分) 如图,AB 是 ? O 的直径,CB 与 ? O 相切与点 B,E 为线段 CB 上一点, 连结 AC、AE,分别交 ? O 于 D、G 两点,连结 DG 并延长交 CB 于点 F, 若 EB=3EF,EG=1,GA=3,求线段 CE 的长。

B 【选修 4-2:矩阵与变换】 (本小题满分 10 分) 已知矩阵 A ? ?

? ?1 2 ? ?1 1 ? ?2? ,B ? ? ,向量 ? ? ? ? ,若 A? ? B? ,求实数 x, y 的值。 ? ? ? 1 x? ? 2 ?1? ? y?

C、 【选修 4-4:坐标系与参数方程】 (本小题满分 10 分)

? 2 t ?x ? ? ? ? 2 已知直线 l ? ,以坐标原点为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C 的 (t 为参数) ?y ? 2 t ? ? 2
极坐标方程为 ? ? 2sin ? ? 2 cos ? ,若直线 l 与曲线 C 相交与 A、B 两点,求线段 AB 的长。

D 【选修 4-5:不等式选讲】 (本小题满分 10 分) 已知函数 f ? x ? ? x ? 1 ,若 a ? 1, b ? 1 ,且 a ? 0 ,求证: f (ab) ? a f ( ) 。

b a

【必做题】第 22、23 题,每题 10 分,共计 20 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 22、 (本小题满分 10 分) 已知某校有甲乙两个兴趣小组,其中甲组有 2 名男生、3 名女生,乙组有 3 名男生,1 名女生,学校计划 从两兴趣小组中随机各选 2 名成员参加某项活动。 (1)求选出的 4 名选手中恰好有一名女生的选派方法数; (2)记 X 为选出的 4 名选手中女选手的人数,求 X 的概率分布和数学期望。

23、 (本小题满分 10 分) 已知抛物线 C : x ? 2 py ( p ? 0) 过点 (2,1) ,直线 l 过点 P (0, ?1) 与抛物线 C 交于 A、B 两点,点 A 关于 y
2

轴的对称点为 A? ,连接 A?B (1) 求抛物线 C 的标准方程; (2) 问直线 A?B 是否过定点?若是,求长定点坐标;若不是,请说明理由。

宿迁市 2015-2016 学年度高三年级摸底考试 数学 I 参考答案及评分标准 一.填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.请把答案填写在答题卡相应位 置 . ...... . 1. ??1,0,1? 8.4 9. ? 2. ?2 3.

16 5

4. 1 2

5.

3 3
π 6

6. ?1 13.

7.

4 3

2 3

10. ?2

11. (0,1) ? (4, ??)

12.

5 8

14. [2,3]

二.解答题:本大题共 6 小题,15—17 每小题 14 分,18—20 每小题 16 分,共计 90 分. 请在答题卡指定区域内作答 ,解答时应写出文字说明、证明过程或计算步骤. .......... 15. (1)由正弦定理,得 a sin B ? b sin A , 因为 b=4, a sin B ? 2 3 ,所以 sin A ? 又0? A?
π π ,所以 A ? . 2 3

……………………………2 分
3 , 2

……………………………4 分 ………………………………6 分

(2)若 b=4,c=6,由余弦定理得

a2=b2+c2-2bccos A=16+36-2×24×
所以 a= 2 7 . 又因为 a sin B ? 2 3 ,所以 sin B ?

1 =28, 2
………………………………8 分

21 2 7 …………………10 分 ,从而 cos B ? , 7 7

因为 D 为 BC 的中点,所以 BD = DC = 7 . 在 ?ABD 中,由余弦定理得 AD 2 ? AB 2 ? BD 2 ? 2 AB ? BD ? cos B , 即 AD 2 ? 36 ? 7 ? 2 ? 6 ? 7 ? 所以 AD ? 19 .
2 7 ? 19 , 7

………………………………14 分

16. (1)因为平面 PAC ? 底面 ABCD ,平面 PAC ? 底面 ABCD ? AC , BD ? AC ,

BD ? 平面 ABCD ,
所以 BD ? 平面 PAC , 又因为 OE ? 平面 PAC , 所以 BD ? OE . ………………………………6 分

(2)因为 AB // CD , AB ? 2CD , AC 与 BD 交于 O , 所以 CO : OA ? CD : AB ? 1: 2 ,

又因为 AE ? 2 EP , 所以 CO : OA ? PE : EA , 所以 EO // PC , 又因为 PC ? 平面 PBC , EO ? 平面 PBC , 所以 EO // 平面 PBC . ……………………………………………………14 分

17. (1)当 k ? 0 时, 2an ?1 ? an ? an ? 2 ,即 an ? 2 ? an ?1 ? an ?1 ? an , 所以,数列 ?a n ? 是等差数列. …………………………………………………2 分

? a1 ? 2, a1 ? 2, ? ? 设数列 ?a n ? 公差为 d ,则 ? 解得 ? 4 d ?? . ?2a1 ? 6d ? ?4, ? 3 ?
所以, S n ? na1 ?

………………………4 分

n(n ? 1) n(n ? 1) 4 2 8 d ? 2n ? ? (? ) ? ? n 2 ? n . 2 2 3 3 3

…………6 分 ……………8 分

(2)由题意, 2a4 ? a3 ? a5 ? k ,即 ?2 ? ?4 ? k ,所以 k ? 2 . 又 a4 ? 2a3 ? a2 ? 2 ? 3a2 ? 2a1 ? 6 ,所以 a2 ? 3 , 由 2an ?1 ? an ? an ? 2 ? 2 , 得 (an ? 2 ? an ?1 ) ? (an ?1 ? an ) ? ?2 ,

所以,数列 ?an ?1 ? an ? 是以 a2 ? a1 ? 1 为首项, ?2 为公差的等差数列. 所以 an ?1 ? an ? ?2n ? 3 , …………………………………………………………10 分 当 n ≥ 2 时,有 an ? an ?1 ? ?2(n ? 1) ? 3 , 于是, an ?1 ? an ? 2 ? ?2(n ? 2) ? 3 ,

an ? 2 ? an ?3 ? ?2(n ? 3) ? 3 ,


a3 ? a2 ? ?2 ? 2 ? 3 ,

a2 ? a1 ? ?2 ? 1 ? 3 ,
叠加得, an ? a1 ? ?2(1 ? 2 ? ? ? (n ? 1)) ? 3(n ? 1),(n ≥ 2) 所以 an ? ?2 ?

n(n ? 1) ? 3(n ? 1) ? 2 ? ? n 2 ? 4n ? 1,(n ≥ 2) ,……………………13 分 2

又当 n ? 1 时, a1 ? 2 也适合. 所以数列 ?a n ? 的通项公式为 an ? ? n 2 ? 4n ? 1, n ? N* . …………………14 分 A

18. (1)当 a ? 1.5 时,过 C 作 AB 的垂线,垂足为 D , 则 BD ? 0.5 ,且 ? ? ?ACD ? ?BCD , 由已知观察者离墙 x 米,且 x ? 1 , C a

θ x
(第 18 题图)

B D2

4

则 tan ?BCD ?

0.5 2.5 ,…………2 分 , tan ?ACD ? x x

2.5 0.5 2 ? 2 2 2 5 x ? x 所以, tan ? ? tan(?ACD ? ?BCD) ? x , ? ≤ ? 2.5 ? 0.5 1.25 1.25 5 5 1? 1? 2 x? 2 x2 x x 4
当且仅当 x ?

5 ? 1 时,取“ ? ” .……………………………………………6 分 2
? 2

又因为 tan ? 在 (0, ) 上单调增,

所以,当观察者离墙

5 米时,视角 ? 最大.…………………………………8 分 2
1 2?a 4?a ,又 tan ? ? , , tan ?ACD ? 2 x x
2x 1 ? ,…………………10 分 x ? (a ? 2) ? (a ? 4) 2
2

(2)由题意得, tan ?BCD ?

所以 tan ? ? tan(?ACD ? ?BCD) ? 所以 a 2 ? 6a ? 8 ? ? x 2 ? 4 x ,

当 1 ≤ a ≤ 2 时, 0 ≤ a 2 ? 6a ? 8 ≤ 3 ,所以 0 ≤ ? x 2 ? 4 x ≤ 3 ,

? x2 ? 4 x ≤ 0 即? 2 ,解得 0 ≤ x ≤ 1 或 3 ≤ x ≤ 4 , ? x ? 4x ? 3≥ 0
又因为 x ? 1 ,所以 3 ≤ x ≤ 4 ,

……………………14 分

所以 x 的取值范围为 [3, 4] .………………………………………………………16 分 19. (1)因为点 P( 3,1) ,所以 kOP ?
1 3



b 1 ? ?1 , 又因为 AF ? OP, ? ? c 3

所以, 3c ? b ,所以 3a 2 ? 4b 2 , 又点 P( 3,1) 在椭圆上,所以 解之得 a 2 ?
13 2 13 ,b ? . 3 4

……………………………………2 分

3 1 ? 2 ?1, 2 a b

故椭圆方程为

x2 y 2 ? ? 1. 13 13 3 4

………………………………………4 分

(2)由题意,直线 AF 的方程为 联立消去 y ,得

x y x2 y 2 ? ? 1 ,与椭圆 C 方程 2 ? 2 ? 1 c b a b

a2 ? c2 2 2x x ? ?0, a2c2 c

解得 x ? 0 或 x ?

2a 2 c 2 a 2 c b (c 2 ? a 2 ) ,所以 点的坐标为 ( , ) ,……………7 分 Q a2 ? c2 a2 ? c2 a2 ? c2

所以直线 BQ 的斜率为 k BQ

b (c 2 ? a 2 ) ?b 2 2 bc ? a ? c2 ? 2, 2a c a 2 2 a ?c

由题意得,

c 2bc ? ,所以 a 2 ? 2b 2 , ……………………………………………9 分 b a2

所以椭圆的离心率 e ?

c b2 2 ? 1? 2 ? .………………………………………10 分 a a 2
cx , b

(3)因为线段 OP 垂直 AF,则直线 OP 的方程为 y ? 与直线 AF 的方程

b2 c bc 2 x y ? ? 1 联立,解得两直线交点的坐标( 2 , 2 ). a a c b 2b2 c 2bc 2 , 2 ),………………12 分 a2 a

因为线段 OP 被直线 AF 平分,所以 P 点坐标为( 由点 P 在椭圆上,得 又 b2 ? a 2 ? c 2 ,设

4b 4 c 2 4b 2 c 4 ? 4 2 ?1, a6 ab
(*)……………14 分

c2 ? t ,得 4[(1 ? t ) 2 ? t ? t 2 ] ? 1 . a2

令 f (t ) ? 4[(1 ? t ) 2 ? t ? t 2 ] ? 1 ? 4(t 3 ? t 2 ? t ) ? 1 , 因为 f '(t ) ? 4(3t 2 ? 2t ? 1) ? 0 ,所以函数 f (t ) 单调增,又 f (0) ? ?1 ? 0 , f (1) ? 3 ? 0 ,所以, f (t ) ? 0 在 区间 (0,1) 上有解,即(*)式方程有解, ) 故存在椭圆 C ,使线段 OP 被直线 AF 垂直平分. …………………………16 分 20. (1)函数 f ( x) 的定义域为 R, 因为 f (? x) ? cos(? x) ? a(? x) 2 ? 1 ? cos x ? ax 2 ? 1 ? f ( x) , 所以函数 f ( x) 是偶函数. ……………………………………3 分

(2)当 a ? 1 时, f ( x) ? cos x ? x 2 ? 1 ,则 f '( x) ? ? sin x ? 2 x , 令 g ( x) ? f '( x) ? ? sin x ? 2 x ,则 g '( x) ? ? cos x ? 2 ? 0 ,所以 f '( x) 是增函数, 又 f '(0) ? 0 ,所以 f '( x) ≥ 0 ,所以 f ( x) 在[0,?]上是增函数, 又函数 f ( x) 是偶函数, 故函数 f ( x) 在[??,?]上的最大值是? ?2,最小值为 0.…………………………8 分
2

(3) f '( x) ? ? sin x ? 2ax , 令 g ( x) ? f '( x) ? ? sin x ? 2ax ,则 g '( x) ? ? cos x ? 2a ,
1 ①当 a ≥ 时, g '( x) ? ? cos x ? 2a ≥ 0 ,所以 f '( x) 是增函数, 2

又 f '(0) ? 0 ,所以 f '( x) ≥ 0 ,所以 f ( x) 在[0,+∞)上是增函数,

而 f (0) ? 0 , f ( x) 是偶函数, 故 f ( x) ≥ 0 恒成立. ………………………………………12 分

1 ②当 a ≤ ? 时, g '( x) ? ? cos x ? 2a ≤ 0 ,所以 f '( x) 是减函数, 2

又 f '(0) ? 0 ,所以 f '( x) ≤ 0 ,所以 f ( x) 在(0,+∞)上是减函数, 而 f (0) ? 0 , f ( x) 是偶函数,所以 f ( x) ? 0 ,与 f ( x) ≥ 0 矛盾,故舍去.………14 分
1 1 ③当 ? ? a ? 时,必存在唯一 x0 ?(0,?),使得 g '( x0 ) ? 0 , 2 2

因为 g '( x) ? ? cos x ? 2a 在[0,?]上是增函数, 所以当 x?(0,x0)时, g '( x) ? 0 ,即 f '( x) 在(0,x0)上是减函数, 又 f '(0) ? 0 ,所以当 x?(0,x0)时, f '( x) ? 0 , ,即 f ( x) 在(0,x0)上是减函数, 而 f (0) ? 0 ,所以当 x?(0,x0)时, f ( x) ? 0 ,与 f ( x) ≥ 0 矛盾,故舍去. 1 综上,实数 a 的取值范围是[ ,+∞). 2 ………………………………………16 分

宿迁市 2015-2016 学年度高三年级摸底考试 数学Ⅱ参考答案及评分标准 21. 【选做题】 . A.因为 EG ? 1, GA ? 3 ,所以 EA ? EG ? GA ? 4 ,又因为 EG ? EA ? EB 2 , 则 EB ? 2 ,又 EB ? 3EF ,所以 EF ?

2 4 , FB ? , 3 3

……………………4 分

连结 BD ,则 ?AGD ? ?ABD , ?ABD ? ?DAB ? 90? , ?C ? ?CAB ? 90? , 所以 ?C ? ?AGD ,所以 ?C ? ?DGE ? 180? , 所以 C , E , G , D 四点共圆. 所以 FG ? FD ? FE ? FC ? FB 2 ,所以 FC ? ……………………8 分

8 , CE ? CF ? EF ? 2 .………10 分 3
……………………4 分

?2 y ? 2? ?2 ? y ? B. A? ? ? ? , Bα ? ? 4 ? y ? , 2 ? xy ? ? ? ? ?2 y ? 2 ? 2 ? y , 由 Aα = Bα 得 ? 解得 x ? ? 1 , y?4. 2 2 ? xy ? 4 ? y , ?
2

……………………10 分

C.由 ? ? 2sin ? ? 2cos ? ,可得 ρ =2ρsin θ-2ρcos θ, 所以曲线 C 的直角坐标方程为 x +y =2y-2x,标准方程为(x+1) +(y-1) =2. 直线 l 的方程为化成普通方程为 x-y+1=0. 圆心到直线 l 的距离为 d ? ……………………6 分
2 2 2 2

?1 ? 1 ? 1 2

?

2 ,………………………………………8 分 2

所求弦长 L ? 2 2 ? (

2 2 ) ? 6 . …………………………………………………10 分 2

D.要证 f (ab) ? a f ( ) ,只需证 | ab ? 1 |?| b ? a | , 只需证 (ab ? 1) 2 ? (b ? a ) 2 ,
2 2 2 2 2 2 2 2

b a

……………………6 分

而 (ab ? 1) ? (b ? a ) ? a b ? a ? b ? 1 ? (a ? 1)(b ? 1) ? 0 , 从而原不等式成立. ……………………10 分

1 1 1 22. (1)选出的 4 名选手中恰好有一名女生的选派方法数为 C2 ? C3 ? C32 ? C3 ? 21 种.

…………………………3 分 (2) X 的可能取值为 0,1, 2,3 . ………………4 分

P ( X ? 0) ? P ( X ? 3) ?

C32 3 1 , ? ? 2 2 C5 C4 10 ? 6 20
1 C32C3 3? 3 3 , ? ? 2 2 C5 C4 10 ? 6 20

P ( X ? 1) ?

1 1 2 1 C2 C3C3 ? C3 2 ? 3? 3 ? 3 7 , ? ? 2 2 C5 C4 10 ? 6 20

P( X ? 2) ? 1 ? P( X ? 0) ? P( X ? 1) ? P( X ? 3) ?

9 . 20

………………8 分

X 的概率分布为: X P
E( X ) ? 0 ?

0
1 20

1
7 20

2
9 20

3
3 20
………………10 分

1 7 9 3 17 . ? 1? ? 2? ? 3? ? 20 20 20 20 10

23. (1)将点 (2,1) 代入抛物线 x 2 ? 2 py 的方程得, p ? 2 , 所以,抛物线 C 的标准方程为 x 2 ? 4 y . ……………………4 分

(2)设直线 l 的方程为 y ? kx ? 1 ,又设 A( x1 , y1 ), B ( x2 , y2 ) ,则 A?(? x1 , y1 ) ,

1 2 ? ?y? x , 由? 得 x 2 ? 4kx ? 4 ? 0 ,则 ? ? 16k 2 ? 16 ? 0, x1 ? x2 ? 4, x1 ? x2 ? 4k , 4 ? ? y ? kx ? 1,
x2 2 x12 ? y ? y1 4 ? x2 ? x1 , ? 2 ? 4 x2 ? (? x1 ) x1 ? x2 4

所以 k A?B

于是直线 A?B 的方程为 y ? 所以, y ?

x2 2 x2 ? x1 ? ( x ? x2 ) , 4 4

……………………8 分

x2 ? x1 x 2 x ?x ( x ? x2 ) ? 2 ? 2 1 x ? 1 ,当 x ? 0 时, y ? 1 , 4 4 4
…………………………………………………10 分

所以直线 A?B 过定点 (0,1) .


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