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函数概念与基本初等函数复习学案


函数概念与基本初等函数
第一讲 函数概念及其表示

研究考纲,明确考况
考点 函数定义 考纲解读
了解构成函数的 要素, 会求一些简 单函数的定义域 和值域;

考情分析 2010 新课标浙江 理 (10)5 分; 广东理(9)5 分; 江西理(5)5 分 2011 2012 命题概率 单独考概率 为 0.1; 复合 考概率为 0.6; 关注考法 主要考二次根 式函数;分式 函数;指数和 对数函数定义 域值域; 只作了解,一 般不考; 陕西(7)5 分 北京(6)5 分; 江 西 理 ( 10 ) 5 分; 北 京 理 (8) 分; 5 不会单独考 察;复合考 的概率为 0.7; 在实际问题中 考一次函数和 二次函数等模 型的函数值; 在图表或图像 中考对应值; 主要考分段函 数的求值;或 逆向求参数 值; 江西文(3) 四 川 文 5 分; ( 13 ) 5 福建(8)5 分; 分;

映射 函数的表 示法

了解映射的概念.

在实际情境中, 会 根据不同的需要 选择恰当的方法 (如图像法、 列表 法、解析法)表示 函数.

分段函数

了解简单的分段 函数, 并能简单应 用.

海南理(12)5 分;

陕西理 (11) 陕 西 理 5 分; ( 11 ) 5 分;

复合考的概 率为 0.8;

2014 高考高概率类题
1.下列各组函数中,表示同一函数的是__________ A.
y ? 1, y ? x x

B. C. y
? x, y ?
3

y ?

x ? 1? x ? 1, y ?

x ?1
2

x

3

D. y

? | x |, y ? (

x)

2

[解析]只有③两个函数的定义域一样且均为 R.
? ? ? 2 2. (原创)定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x)= ? ?x sin tdt , x ? 0 ? f ( x ? 1 ) - 1, x ? 0 ?

,则 f(3)的值为(

)

A.-1
?

B.-2

C.1
?
2 ? cos x ? cos x

D.2

[解析]

?

2 x

sin tdt ? ? cos

∵f(3)=f(2)-f(1), 又 ∵f(0)=cos0=1, [答案] A

f(2)=f(1)-f(0), ∴f(3)=-1.

∴f(3)=-f(0).

? ?3x, x≤1 3.(2009· 北京)已知函数 f(x)=? 若 f(x)=2,则 x=________. ?-x, x>1, ?

3.[解析] 本题主要考查分段函数和简单的已知函数值求 x 的值.属于基础知识、基本运算 的考查.

? ? ?x≤1 ?x>1 由? x ?x=log32,? 无解,故应填 log32. ? ? ?3 =2 ?-x=2?x=-2
4.(2011·深圳一模)已知 y 与 x(x≤100)之间的部分对应关系如下表: x 11 12 13 14 15 …

y

2 1 2 1 2 … 97 48 95 47 93

则 x 和 y 可能满足的一个关系式是________.

[答案]

2 y= 108-x

500 分基础考点&考法
考点一 考点必记 (1)函数的定义: 设 A , B 是非空数集,如果按某个对应关系 f ,使对于集合 A 中的任何一 个数 x ,在集合 B 中都有唯一确定的数 f ( x ) 和它对应,那么就把对应关系 f 叫作定义在集 合 A 上的函数。记作 f : A ? B , 或 y ? f ( x ), x ? A 。此时,x 叫作自变量,集合 A 叫作函 数的定义域,集合 ? f ( x ) | x ? A ? 叫作函数的值域。习惯上我们称 y 是 x 的函数。 (2)函数的三要素 : 定义域、值域和对应关系。 (3)函数的表示方法 : 常用的有解析法、列表法和图像法。 (4)分段函数:在函数定义域内,对于自变量 x 的不同取值区间,有着不同 的对应关系, 这样的函数通常叫做分段函数。 特别注意的是不要把一个分段函数看成几个函数, 一个分段 函数的定义域是自变量 x 所以取值区间的并集,值域是个段值域的并集。 考法突破 函数三要素

考法 1

利用函数解析式所含运算可以实施为准则求函数定义域

首先考察的函数解析式所含的运算有几种, 然后我们只要按照准则列出不等式或不等式 组,然后求出其解集,就得到了该函数的定义域。由实际问题确定的函数,其定义域还要受 实际问题的约束。常用运算准则如下表: 分式 偶次方根 零指数幂 分母不能等于 0 被开方数非负 底数不能为 0

对数 正切

真数大于,0,底数大于 0 且不等于 1 角的终边不能落在 y 轴上

例如(12 四川文 13)函数 f ( x ) ?

1 1? 2x

的定义域是____________。 (用区间表示)
1 2

解 注意到函数解析式包含分式和二次根式两种运算,故 1 - 2 x ? 0 ,? x ? 域为 ? - ? , ? 。
? 2? ? 1?

,所以函数定义

考法 2

用函数是特殊的对应的观点理解函数

在 定 义 中 , 若 a 是 自 变 量 x 的 一 个 值 , 那 么 f (a ) 是 在 对 应 关 系
f : A ? B 或 y ? f ( x ), x ? A 下 a 的对应值, f ? f ( a ) ? 是自变量 x 取值 f ( a ) 时的对应

的值;当然要有 f ( a ) ? A ,否则 f ? f ( a ) ? 是不存在的。 例如函数 y ? f ( x ) 和 y ? g ( x ) 的对应关系分别如下表:
x

-1 1

1 2

0 3

x

1 1

-1 2

2 3

y ? f (x)

y ? g (x)

则 f (1)? _______ :

g ? f (1) ? ? ______: f ? g (1 ) ? ? ________;

解析: f (1 ) 是上左表中 1 的对应值 2, f (1) ? 2 ; 即 那么 g ? f (1) ? ? g ( 2 ) ; 在上右表中 g ( 2 ) 是 2 的对应值,即 g ( 2 ) ? 3 ;所以 g ? f (1) ? ? g ( 2 ) ? 3 ;同理 f ? g (1) ? ? f (1) ? 2 。 想一想:为什么 f ? g ( ? 1) ? 的值存在吗?为什么? 考点 3 准确把握分段函数的定义,利用分段函数在不同区间上不同的解析式 求值。 给定一个分段函数要把它理解成一个函数, 它有一个定义域和一个值域; 自变量在哪 个区间取值,就要用对应的表达式求对应的函数值;

考法真题例解
考法一 求函数定义域 真例 1(2010 广东理数)函数 f ( x ) =lg( x -2)的定义域是 答 (1,+∞) .
考法二

.

解∵ x ? 1 ? 0 ,∴ x ? 1 .

求函数值或给出函数值求变量的值

真题 2(11 陕西理)设若 f ( x ) ? ?

? lg x , x ? 0 , ? ?x ? ?

?

a 0

3t d t , x ? 0 ,
2

f ( f (1)) ? 1 ,则 a =

1

.

解 析

自 变 量

x


3

1
0

时 对 应 值 为
3

f (1) ? lg 1 ? 0

, 所 以

f ( f (1)) ? f ( 0 ) ? 0 ?

?

a

3 t dt ? a ? a
2

? a ,所以 a ? 1, a ? 1 。
3

0

考题考法训练
1.(2012 年高考(江西理)5 分)下列函数中,与函数 y=
1 sin x 1nx x

1
3

定义域相同的函数为 (
sin x x



x

A.y=

B.y=

C.y=xe

x

D.

2.(2012 年高考(安徽理)5 分)下列函数中,不满足 f (2 x) ? 2 f ( x) 的是





A. f ( x) ? x

B. f ( x) ? x ? x

C. f ( x) ? x ??
? ? x, x ? 0, ? x , x ? 0.
2

D. f ( x) ? ? x

3.(2011 高考(浙江理)5 分)设函数 f ( x ) ? ? A.-4 或-2 B.-4 或 2 考题实战演练 考点一:求函数的定义域

若 f (? ) ? 4 ,则实数 ? =

C.-2 或 4

D.-2 或 2

1.(2012 年高考(江苏)5 分)函数 f ( x) ? 1 ? 2 log 6 x 的定义域为____. 答案 0 ? x 6 ; 2.(2011(江西理)5 分)若 f ( x ) ?
? lo g ? ( ? x ? ? )
?

,则 f ( x ) 的定义域为(

)

A. ( ?
答案 A;

? ?

, ?)

B. ( ?

? ?

, ?]

C. ( ?

? ?

, ?? )

D. ( ? , ? ? )

考点:二函数的定义

1.( 2009 ( 广 东 卷 理 ) 5 分 ) 已知甲、乙两车由同一起点同时出发,并沿同一路线(假 定为直线)行驶.甲车、乙车的速度曲线分别为 v甲 和 v乙 (如图 2 所示) .那么对于图中给 定的 t 0 和 t1 ,下列判断中一定正确的是 A. 在 t 1 时刻,甲车在乙车前面 B. t 1 时刻后,甲车在乙车后面

C. 在 t 0 时刻,两车的位置相同

D. t 0 时刻后,乙车在甲车前面

【解析】由图像可知,曲线 v 甲 比 v 乙 在 0~ t 0 、0~ t 1 与 x 轴所围成图形面积大,则在 t 0 、 t 1 时刻,甲车均在乙车前面,选 A.
?1, x为有理数 ? 2.(2012 年高考(福建理)5 分) 设函数 D ( x) ? ? ,则下列结论错误的是 ?0, x为无理数 ?

( A. D ( x) 的值域为 ?0,1? C. D ( x) 不是周期函数 [ 考点三:分段函数 1.(2009(山东卷理)5 分)定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x)= ? 则 f(2009)的值为( A.-1 B. 0 ) C.1 D. 2
? log
2



B. D ( x) 是偶函数 D. D ( x) 不是单调函数

(1 ? x ), x ? 0

? f ( x ? 1 ) ? f ( x ? 2 ), x ? 0



【解析】:由已知得 f ( ? 1) ? lo g 2 2 ? 1 , f (0 ) ? 0 , f (1) ? f (0 ) ? f ( ? 1) ? ? 1 ,
f ( 2 ) ? f (1) ? f (0 ) ? ? 1 , f (3) ? f ( 2 ) ? f (1) ? ? 1 ? ( ? 1) ? 0 , f ( 4 ) ? f (3) ? f ( 2 ) ? 0 ? ( ? 1) ? 1 , f (5) ? f ( 4 ) ? f (3) ? 1 , f (6 ) ? f (5) ? f ( 4 ) ? 0 ,

所以函数 f(x)的值以 6 为周期重复性出现.,所以 f(2009)= f(5)=1,故选 C. 答案:C.
错误!未指定书签。2.(2012 年高考(江苏)5 分)设 f ( x) 是定义在 R 上且周期为 2 的函数,

在区间 [?1, 上, 1]
? ? ax ? 1, 1 ≤ x ? 0 , ? f ( x ) ? ? bx ? 2 其中 a , ? R b , ≤ x ≤ 1, 0 ? ? x ?1

.若 f ? ? ? f ? ? ,则 a ? 3b 的值为____.
?2? ?2?

?1?

?3?

高考能力限时训练 第一讲函数的概念及表示

一、选择题 1.(2009 江西卷文)函数 y ? A. [ ? 4 , 1] 答案:D 【解析】由 ?
?
2

? x ? 3x ? 4
2

的义域为 D. [ ? 4, 0 ) ? (0, 1]

x

B. [ ? 4 , 0 )
x ? 0

C. (0, 1]

?? x ? 3x ? 4 ? 0

得 ? 4 ? x ? 0 或 0 ? x ? 1 ,故选 D.

2.(2009 江西卷理)函数 y ?

ln ( x ? 1) ? x ? 3x ? 4
2

的定义域为

A. ( ? 4 , ? 1) 答案:C 【解析】由 ?

B. ( ? 4 , 1)

C. ( ? 1, 1)

D. ( ? 1,1]

?x ?1 ? 0
2

? x ? ?1 ? ? ? ? 1 ? x ? 1 .故选 C ??4 ? x ? 1 ?? x ? 3x ? 4 ? 0

3.(2011 山东理)若点(a,9)在函数 y ? 3 的图象上,则 tan=
x

a? 6

的值为 D

A.0

B.

3 3

C.1

D. 3

4.(2012 北京理)某棵果树前 n 前的总产量 S 与 n 之间的关系如图所示.从目前记录的结果 看,前 m 年的年平均产量最高。m 值为( )

A.5 B.7 C.9 D.11 【解析】由图可知 6,7,8,9 这几年增长最快,超过平均值,所以应该加入,因此选 C。 【答案】C 二、填空题 5.(2010 陕西文数)已知函数 f(x)= ?
? 3 x ? 2, x ?1, ? x ? a x , x ? 1,
2

若 f(f(0) )=4a,则实数= 2

.

解析:f(0)=2,f(f(0) )=f(2)=4+2a=4a,所以 a=2 6.(2010 浙江文数) (16) 某商家一月份至五月份累计销售额达 3860 万元,预测六月份销 售额为 500 万元,七月份销售额比六月份递增 x %,八月份销售额比七月份递增 x%,九、 十月份销售总额与七、八月份销售总额相等,若一月至十月份销售总额至少至少达 7000 万 元,则,x 的最小值 。

答案:20


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