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2015年高考导数问题常见的分类讨论典型例题


2015 年高考第一轮复习高考数学资料中心 2015 年高考导数问题常见的分类讨论典型例题 主编:贾海琴 主编单位:永辉中学生学习中心 1.需对函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? c 是否为二次函数进行讨论或需对一元二次方程的判别式进行讨论的问题。 由于许多问题通过求导后转化为二次函数或二次不等式,它们对应的二次方程是否有解,就要对判别式讨 论。 例 1、已知函数 f ( x) ? x3 ? ax2 ? 3bx ? c(b ? 0), 且g ( x) ? f ( x) ? 2 是奇函数.(Ⅰ)求 a,c 的值; (Ⅱ)求函数 f(x)的单调区间. 例 2、设函数 f ( x) ? x3 ? 3ax ? b(a ? 0) . (Ⅰ)若曲线 y ? f ( x) 在点 (2, f ( x)) 处与直线 y ? 8 相切,求 a , b 的值; (Ⅱ)求函数 f ( x) 的单调区间与极值点. 例 3、已知函数 f ( x) ? x ? 2 ? a(2 ? ln x), (a ? 0) ,讨论 f ( x) 的单调性. x 例 4、已知函数 f ( x) ? ln( 1 ? x 2 ) ? ax.(a ? 0) ,讨论 f ( x) 的单调性; 例 5、设函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? k (k ? 0) 在 x ? 0 处取得极值,且曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线垂 直于直线 x ? 2 y ? 1 ? 0 . (Ⅰ)求 a , b 的值; (Ⅱ)若函数 g ( x) ? 例 6、函数 f ( x) ? ex ,讨论 g ( x) 的单调性. f ( x) 1 3 x ? kx ,其中实数 k 为常数. 3 (I) 当 k ? 4 时,求函数的单调区间; (II) 若曲线 y ? f ( x ) 与直线 y ? k 只有一个交点,求实数 k 的取值范围. 练习:设函数 f ? x ? ? x ? b ln ? x ? 1? ,其中 b ? 0 ,求函数 f ? x ? 的极值点。 2 2、需对一元二次方程两根大小为标准分类讨论的问题。由于求单调区间通常要解一元二次不等式,要写 出它的解,就必须知道它两根的大小,否则就要对两根大小分类讨论。求导后,导函数为零有实根(或导 函数的分子能分解因式) ,但不知导函数为零的实根是否落在定义域内,从而引起讨论。求导后,导函数 为零有实根(或导函数的分子能分解因式) ,导函数为零的实根也落在定义域内,但不知这些实根的大小 关系,从而引起讨论。 例 7、设函数 ( ),其中 .当 时,求函数 的极大值和极小值 第 1 页 共 1 页 2015 年高考第一轮复习高考数学资料中心 2ax ? a 2 ? 1 练习:已知函数 f ? x ? ? ? x ? R ? ,其中 a ? R 。 x2 ? 1 (1)当 a ? 1 时,求曲线 y ? f ? x ? 在点 2, f ? 2? 处的切线方程; (2)当 a ? 0 时,求函数 f ? x ? 的单调区间与极值。 练习:已知 a 是实数,函数 f ? x ? ? (1)求函数 f ? x ? 的单调区间; (2)设 g ? a ? 为 f ? x ? 在区间 ? 0, 2? 上的最小值。 ①写出 g ? a ? 的表达式; ②求 a 的取值范围,使得 ?6 ? g ? a ? ? ?2 。 ? ? x ? x ? a? 。 1 2 x -ax+(a-1) ln x ,

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