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12-13(一)《线性代数B》期终试题B答案


上海应用技术学院 2012—2013 学年第一学期 《线性代数 B》期(末) (B)试卷参考答案及评分标准
课程代码: B2220035 学分: 2 考试时间: 100 分钟
一、单项选择题(本大题共 5 小题,每小题 3 分,共 15 分)

1 2 3 1.行列式 2 3 4 的值为( C ) 3 4 5
(A)2 (B)1

(C)0 (D)-1

2. 设 A, B 是任意的 n 阶矩阵,下列命题中正确的是( B ) (A) ( A ? B) 2 ? A2 ? 2 AB ? B 2 (C) ( A ? B)( A ? B) ? A2 ? B 2 3. 设 A 为 4 阶方阵, 且 (A)16 (B) 8 (B) ( A ? E )( A ? E ) ? ( A ? E )( A ? E ) (D) ( AB) 2 ? A2 B 2

A ? ?2 ,则
(C) -16

A* ? 4 A?1 = ( D ) 。
(D) -8

4.设 AC ? CB ,且 C 为 n? m 矩阵,则 A, B 分别是( C )矩阵 (A) n? m 与 m? n (B) m? n 与 n? m (C) n? n 与 m? m (D) m? m 与 n? n 5. 当 k ? ( D )时,向量组 α1 ? (1,0,?1) , α 2 ? (3,1,2) , α 3 ? (2,1, k ) 秩为 2。 (A)0 (B)1 (C)2 (D)3

二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 3 分,共 15 分)

1 2 3 1.行列式 0 1 2 ,则 A ? A ? A ? __ 11 12 13 2 1 3
? ?

3 ____。

2.向量组 a1 ? ? 2, 2, 7 ? , a2 ? ?3, ?1, 2 ? , a3 ? ?1,5,12 ? 线性_相关____(填写相关或无关) 。
?

? 1 1 1 ?? x1 ? ?1? ? ?? ? ? ? 3.已知非齐次线性方程组 ? 1 2 3 ?? x 2 ? ? ?1? 无解,则 t =____4____。 ? 2 3 t ?? x ? ?1? ? ?? 3 ? ? ?
第 1 页

?3 ? 2 4.已知 A ? ? ?0 ? ?0
5. A ? ? ?

2 1 0 0

0 0? ? 0 0? ?1 ,则 A ? 1 ?2 ? ? 1 1 ?

0 ? ?1 2 ? 2 ?3 0 ? ? 1 ?0 0 3 ? 1 ? ?0 0 ? 3 ?

0? ? 0? 2? ? 3? 1? ? 3?



? 1 ? 1? ? , k 为正整数, A k ? ? ?0 1 ?

?1 ? k ? ? ?0 1 ? ? ? ?



三、计算题(本大题共 7 小题,共 62 分)

1 2 1.计算行列式 D ? 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 2 2 2 4

2 2 2 2

2 2 3 2

2 2 的值。 (本小题 10 分) 2 4 0 2 0 0 0 2 1 0 0 2 ? ?4 (5 分). 0 2

D?

?

?1 0 0 0 2 2 2 2 0 0

?1 0 (5 分) ? 0 0 1 0 0 0 0 2
T

2.已知 A ? ?1 2 1 2? , B ? A A 。 (1)求 B; (2) 求 B 。 (本小题 10 分)
n

?1? ?1 ? ? ? ? 2? ?2 (1) B ? ? ??1 2 1 2? ? ? 1 1 ? ? ? ? 2? ?2 ? ? ?

2 4 2 4

1 2 1 2

2? ? 4? 2? ? 4? ?

(4 分)

(2) B n ? ( AT A)( AT A)? ( AT A) ? AT ( AAT )( AAT )? ( AAT ) A (4 分) ????????? ?????????
n n ?1

? 10n?1 AT A ? 10n?1 B

(2 分)

? 4 2 3? ? ? 3.设 A ? ? 1 1 0 ? ,且矩阵 X 满足 AX ? A ? 2 X ,求 X 。 (本小题 10 分) ? ?1 2 3? ? ?
第 2 页

? 2 2 3? AX ?2X ? A , ( A ? 2 E ) X ? A , X ? ( A ? 2E) A (3 分) A ? 2 E ? ? 1 ?1 0 ? , , ? ? ? ?1 2 1 ? ? ?
?1

? 2 2 3 4 2 3 ? ? 1 0 0 3 ?8 ?6 ? ? ? ? ? ( A ? 2 E ? A) ? ? 1 ?1 0 1 1 0 ? ? ? 0 1 0 2 ?9 ?6 ? ( 6 ? ?1 2 1 ?1 2 3 ? ? 0 0 1 ?2 12 9 ? ? ? ? ? ? 3 ?8 ?6 ? ? ? X ? ? 2 ?9 ?6 ? (1 分) 。 ? ?2 12 9 ? ? ?


分 ),

AX ?2X ? A , ( A ? 2 E ) X ? A , X ? ( A ? 2E)?1 A (3 分) ,

? 2 2 3? ? 1 ?4 ?3 ? ? ? ? ? ?1 A ? 2 E ? ? 1 ?1 0 ? , ( A ? 2 E ) ? ? 1 ?5 ?3 ? (5 分) , ? ?1 2 1 ? ? ?1 6 4 ? ? ? ? ? ? 1 ?4 ?3 ?? 4 2 3 ? ? 3 ?8 ?6 ? ? ?? ? ? ? X ? ( A ? 2 E ) A ? ? 1 ?5 ?3 ?? 1 1 0 ? ? ? 2 ?9 ?6 ? (2 分) 。 ? ?1 6 4 ?? ?1 2 3 ? ? ?2 12 9 ? ? ?? ? ? ?
?1

4.已知向量组 α1 ? (1,1,2,3) , α2 ? (1,?1,1,1) , α3 ? (1,3,3,5)T , α4 ? (4,?2,?5,6) ,
T T T

α5 ? (?3,?1,?5,?7)T ,求该向量组的一个最大无关组,并将其余向量用最大无关组线性表
示。 (本小题 10 分)

?1 1 ? 1 ?1 A=( α1 , α2 , α3 , α4 , α5 ) ? ? ?2 1 ? ?3 1

1 4 3 ?2 3 ?5 5 6

?3 ? ? 1 ? ? ?1 ? ? 0 ? ?5 ? ? 0 ? ? ?7 ? ? 0

0 2 1 ?1 0 0 0 0

0 ?2 ? ? 0 ?1 ? , (4 分) 1 0? ? 0 0?

R( A) ? 3 , α1 , α 2 , α 4 为一个最大无关组(3 分) ?3 ? 2?1 ? ?2 ,?5 ? ?2?1 ? ?2 (3 ,
分) 。

? x1 ? x 2 ? x3 ? x 4 ? 0 ? 5.求线性方程组 ? x1 ? x 2 ? x3 ? 3 x 4 ? 0 的基础解系,并用其表示通解。 (本小题 10 分) ? x ? x ? 2 x ? 3x ? 0 2 3 4 ? 1
第 3 页

?1 ?1 ?1 1 ? ? 1 ?1 0 ?1 ? ? x1 ? x2 ? x4 ? 0 ? x1 ? x2 ? x4 ? ? ? ? 1 ?1 1 ?3 ? ? ? 0 0 1 ?2 ? (4 分) ? , ,? , ? ? x3 ? 2 x4 ? 0 ? x3 ? 2 x4 ?1 ?1 ?2 3 ? ? 0 0 0 0 ? ? ? ? ?

?1? ?1? ? ? ? ? 0 1 ? x1 ? ? 1 ? ? 1 ? ? x2 ? ? 1 ? ? 0 ? 令 ? ? ? ? ? , ? ? (2 分) ? ? ? ? ? , ? ? , ?1 ? ? ? , ? 2 ? ? ? 为一个基础解系(2 , ? 2? ?0? ? x4 ? ? 0 ? ? 1 ? ? x3 ? ? 0 ? ? 2 ? ? ? ? ? ?1? ?0?
? x1 ? ?1? ?1? ? ? ? ? ? ? ? x2 ? ? k ? 1 ? ? k ? 0 ? , k , k ? R (2 分) 分) 。通解为 1 2 ? x3 ? 1 ? 0 ? 2 ? 2 ? ? ? ? ? ? ? ?0? ?1? ? x4 ?
?2 x1 ? x 2 ? x3 ? x 4 ? 1 ? 6. a 取何值时, 当 方程组 ? x1 ? 2 x 2 ? x3 ? 4 x 4 ? 2 无解、 有解?有解时求出相应的解 (本 ? x ? 7 x ? 4 x ? 11x ? a 2 3 4 ? 1
小题 12 分)

2 ? ?2 ?1 1 1 1? ?1 2 ?1 4 ? ? ? ? ? A?b ? ? ? 1 2 ? 1 4 2 ? ? ? 0 5 ? 3 7 3 ?(3 分) 当 a ? 5 ? 0 , a ? 5 , 即 ? 1 7 ? 4 11 a ? ? 0 0 0 0 a ? 5? ? ? ? ?
时 , R( A) ? 2 ? R( A?b) ? 3 , 方 程 组 无 解 ( 3 分 ) 当 a ? 5 ? 0 , 即 a ? 5 时 , ;

1 ? ?1 0 5 ? 3 。此时 ? A? b ? ? ? 0 1 ? R( A) ? 2 ? R( A?b) ,方程组有解(3 分) ? 5 ?0 0 0 ? ?

6 5 7 5 0

4? ? 5? 3? 5? 0? ? ?

1 6 4 ? ? x1 ? ? 5 c1 ? 5 c2 ? 5 ? 1 6 4 3 7 3 ? x1 ? x3 ? x 4 ? ? ? x3 ? c1 ? x2 ? 5 c1 ? 5 c2 ? 5 ? 5 5 5 ,令 ,? , c1 , c2 ? R (3 分) ? ? 3 7 3 x4 ? c2 ? x ?   ? ? x 2 ? x3 ? x 4 ? c1 3 5 5 5 ? ? ? ? x4 ? c2 ?
第 4 页



? 1? ? 6? ?4? ?? ? ?? ? ? ? ? x1 ? ? ? ? 5? ? 5? ?5? ? x2 ? ? 3 ? ? c ? ? 7 ? ? ? 3 ?, c , c ? R. 1 2 ? x ? ? c1 ? 5 ? 2 ? 5 ? ? 5 ? 3 ? ? ? 1 ? ? 0 ? ?0? ?x ? ? ? ? ? ? ? ? 4? ? 0 ? ? 1 ? ?0?

四、证明题(本大题共 8 分) 1.已知向量组 α1 , α 2 , α 3 线性无关,证明向量组 β1 ? α1 ? 2α 2 , β2 ? 2α2 ? 3α3 ,

β3 ? 3α3 ? α1 线性无关。
证: k1?1 ? k2 ?2 ? k3 ?3 ? 0 , k1 (?1 ? 2?2 ) ? k2 (2?2 ? 3?3 ) ? k3 (3?3 ? ?1 ) ? 0 , ,由于 α1 , α2 , α3 线性无关,所以 (k1 ? k3 )?1 ? (2k1 ? 2k2 )?2 ? (3k3 ? 3k2 )?3 ? 0 (3 分)

1 0 1 ? k1 ? k3 ? 0 ? , ? 2k1 ? 2k 2 ? 0 ( 2 分 ) 2 2 0 ? 12 ? 0 , 方 程 组 ? 3k ? 3k ? 0 0 3 3 3 ? 2

? k1 ? k3 ? 0 ? ? 2k1 ? 2k 2 ? 0 只 有 零 解 , ? 3k ? 3k ? 0 3 ? 2

,所以 β1 ? α1 ? 2α2 , β2 ? 2α2 ? 3α3 , β3 ? 3α3 ? α1 线性无关(1 k1 ? k2 ? k3 ? (2 分) 0 分) 。

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