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数列求和习题精选精讲2


数列求和
教学目标 教学重点 掌握数列求和的方法与技巧 掌握数列求和的方法

一、利用常用求和公式求和 1、等差数列求和公式 [

Sn ?

n(a1 ? an ) n(n ? 1) ? na1 ? d 2 2

2、等比数列求和公式:

(q ? 1) ? na1 ?

n S n ? ? a1 (1 ? q ) a1 ? a n q ? (q ? 1) ? 1? q ? 1? q
例 1] 已知数列 ? an (x≠0) , s n 数列的前 n 项和,求 s n 。 ?, an ? xn ,

【巩固练习】1:已知数列 ? an ? 的通项公式为 an ? 3n ?14 , sn 为 ? an ? 的前
项和,求 s n ;

n

二、错位相减法求和 这种方法是在推导等比数列的前 n 项和公式时所用的方法, 这种方法主要用于求数列{an· bn}的前 n 项和,其中{ an }、{ bn }分别是等差数列和等比数列.

[例 2] 求数列

2 4 6 2n , 2 , 3 ,? ? ?, n ,? ? ? 前 n 项的和. 2 2 2 2

练习求和: S n ? 1 ? 3x ? 5x ? 7 x ? ? ? ? ? (2n ? 1) x
2 3

n?1

………( x ? 1且x ? 0 )

三、倒序相加法求和 1

这是推导等差数列的前 n 项和公式时所用的方法,就是将一个数列倒过来排列(反序) ,再把它与原 数列相加,就可以得到 n 个 (a1 ? an ) . [例 3] 求 sin
2 ?

1 ? sin 2 2? ? sin 2 3? ? ? ? ? ? sin 2 88? ? sin 2 89? 的值

四、分组法求和 有一类数列,既不是等差数列,也不是等比数列,若将这类数列适当拆开,可分为几个等差、等比或 常见的数列,然后分别求和,再将其合并即可. [例 4] 求数列的前 n 项和: 1 ? 1,

1 1 1 ? 3, 2 ? 5,? ? ?, n ?1 ? 2n ? 1 ,… 2 2 2

练习

9 ? 99 ? 999? ? ? ? ? 999 ?? ?? ?9 ? ? ?
n个1

五、裂项法求和 这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项(通项)分解,然后 重新组合,使之能消去一些项,最终达到求和的目的. 通项分解(裂项)如: (1) a n

?

1 1 1 ? ? n(n ? 1) n n ? 1 1 1? 2 , 1 2? 3

(2) an

?

1 n ? n ?1

? n ?1 ? n

[例 5]

求数列

,? ? ?,

1 n ? n ?1

,? ? ? 的前 n 项和.

练习

在数列{an}中, an

? n ,又 bn ?

2 a n ? a n ?1

,求数列{bn}的前 n 项的和.

2

数列的概念
【知识点精讲】 1、数列:按照一定次序排列的一列数(与顺序有关) 2、通项公式:数列的第 n 项 an 与 n 之间的函数关系用一个公式来表示 an=f(n)。 (通项公式不唯一) 3、数列的表示: (1) 列举法:如 1,3,5,7,9……; (2) 图解法:由(n,an)点构成; (3) 解析法:用通项公式表示,如 an=2n+1 (4) 递推法:用前 n 项的值与它相邻的项之间的关系表示各项,如 a1=1,an=1+2an-1 4、数列分类:有穷数列,无穷数列;递增数列,递减数列,摆动数列,常数数列; 有界数列,无界数列 5、任意数列{an}的前 n 项和的性质 Sn= a1+ a2+ a3+ ……+ an

? S1 ?n ? 1? an ? ? ?S n ? S n?1 ?n ? 2? ?an ? an?1 ?an ? an?1
最小 ?

6、求数列中最大最小项的方法:最大 ?

?an ? an?1 ?a n ? a n?1

考虑数列的单调性 【例题选讲】 例 1、根据下面各数列前几项,写出一个通项 (1)-1,7,-13,19,…; (4)5,0,-5,0, 5,0,-5,0,…; (2)7,77,777,777,…; (3) (5)1,0,1,0,1,0,…; (2) a n ?

2 4 6 8 10 , , , , ,...; 3 15 35 63 99
7 n 10 ? 1 9

解 : ( 1 ) an=(-1)n(6n-5);

?

?

(3) a n ?

2n (2n ? 1)(2n ? 1)

(4)

a n ? 5 sin

n? ; 2

(5) a n ?

n? 1 ? (?1) n ?1 ?n ? N ? ? n ? N ? ; a n ? sin 2 2 2

?

?

[点评]根据数列前几项的规律,会写出数列的一个通项公式。

3

练习:⑴ 解:

2 4 1 4 , , , ,....⑵3,5,9,17,33,……⑶1,2,2,4,3,8,4,16,5,…….. 7 11 2 5

?n ?1 n n n ?n为正奇数? 4 1 ? ?? 1? n ? 1 1 ? ?? 1? ? 2 n ?1?an ? ?2?an ? 2 ? 1?3?an ? ? n 或a n ? ? ? ? 22 17 ? 3n 2 2 2 ? 2 2 ?n为正偶数? ?

n? n ? 1 n? 2 或a n ? sin ? ? cos2 ?2 2 2 2
n 2

例 2、已知数列 ?

? 9n 2 ? 9n ? 2 ? ? 2 ? 9n ? 1 ?

(1)求这个数列的第 10 项; (2)
98 是不是该数列中的项,为什么? 101

(3)求证:数列中的各项都在区间(0,1)内; (4)在区间 ? , ? 内有无数列中的项?若有,有几项?若无,说明理由。

?1 2? ?3 3?

9n 2 ? 9n ? 2 3n ? 2 ? 解:设 f (n) ? 3n ? 1 9n 2 ? 1
(1)令 n=10,得第 10 项; a10 ? (2)令

28 32

3n ? 2 98 ? , 得9n ? 300 ,此方程无自然数解,所以不是其中的项 3n ? 1 101

(3)证明:

3n ? 2 3n ? 1 ? 3 3 3 ? ? 1? ? n ? N ? ,? 0 ? ? 1,? 0 ? a n ? 1 3n ? 1 3n ? 1 3n ? 1 3n ? 1 7 ? ?n ? 6 1 3n ? 2 2 ? 3n ? 1 ? 9n ? 6 (4)令 ? a n ? ? ,? ? ?? 8 3 3n ? 1 3 ?9n ? 6 ? 6n ? 2 ?n ? 3 ? 7 8 ? ?n? ?当且仅当n ? 2, 在区间内 6 3 ? an ?
[点评]数列问题转化为解方程和不等式问题,注意正整数解 例 3、下面各数列的前 n 项和 Sn 的公式,求{an}的通项公式. (1) Sn=2n2-3n (2) Sn= 3n-2

4

解: (1) a1 ? S1 ? ?1, 当 n≥2 时, an ? S n ? S n?1 ? 4n ? 5 由于 a1 也适合此等式,所以 an ? 4n ? 5 (2) a1 ? S1 ? ?1, 当 n≥2 时,

an ? S n ? S n?1 ? 2 ? 3n?1

n ?1 ? 1 ? an ? ? n ?1 n?2 ?2 ? 3

[点评]已知数列前 n 项和 Sn,相当于知道了 n≥2 时候 an,但不可忽视 n=1. 即 an ? ?

?

s1

n ?1 n?2
?3 ? an ? ? n ?2 n ?1 n?2

?s n ? s n ?1

练习:已知数列的前 n 项和 Sn 满足 log2(Sn+1)=n+1,求{an}的通项公式 解:由题意 s n ? 2 n?1 ? 1

例 4、有一数列{an},a1=a,由递推公式 an+1=

1?

2a a

n n

,写出这个数列的前 4 项,并根据前 4

项观察规律,写该数列的一个通项公式。 详见优化设计 P37 典例剖析之例 2,解答过程略。 (理科班学生可要求通项公式的推导:倒数法) 变式:在数列{an},a1=1,an+1=

1?

a na
n

,求 an。

n

详见优化设计 P37 典例剖析之例 1,解答过程略。 [点评]对递推公式,要求写出前几项,并猜想其通项公式,此外了解常用的处理办法,如: 迭加、迭代、迭乘及变形后结合等差(比)数列公式,也很必要。

? 10 ? 例 5、已知数列{an}的通项公式 an ? ?n ? 1?? ? ? 11?
若有,求最大项和最大项的项数;若无,说明理由. 解:? an?1 ? an ? ?n ? 2??

n

?n ? N ?, 试问数列{a }有没有最大项?
?
n

? 10 ? ? ? 11?

n ?1

? 10 ? ? 10 ? 9 ? n ? ?n ? 1?? ? ? ? ? ? 11? ? 11? 11

n

n

当 n<9, an?1 ? an ? 0, an?1 ? an 当 n>9, an?1 ? an ? 0 , an?1 ? an
5

当 n=9, an?1 ? an ? 0, an?1 ? an 故 a1 ? a2 ? a3 ? ... ? a9 ? a10 ? a11 ? ..... 所以, 数列{an}有最大项, 为第 9,10 项 [点评] 求数列{an}的最大项,最小项,考虑数列的单调性,即通过对 an 的单调性进行讨论 练习:已知 a n ? 么? 解:? an ? 1 ?

n ? 98 n ? 99

?n ? N ?, 则在数列{a }中的前 30 项中,最大项和最小项分别为什
?
n

99 ? 98 n ? 99

?最大 a10 最小 a9

【课堂小结】 1、 了解数列的概念、分类与表示法; 2、 重点理解数列的通项公式, 会求一些简单数列的通项公式, 会根据通项公式和递推公式 求数列的项; 3、任意数列{an}的前 n 项和的性质 Sn= a1+ a2+ a3+ ……+ an

? S1 ?n ? 1? an ? ? ?S n ? S n?1 ?n ? 2? ?an ? an?1 ?an ? an?1
最小 ?

4、求数列中最大最小项的方法:最大 ? 考虑数列的单调性 【作业布置】 高考胜卷

?an ? an?1 ?a n ? a n?1

裂项法

(一)

6

同学们知道:在计算分数加减法时,两个分母不同的分数相加减,要先通 分化成同分母分数后再计算。 (一)阅读思考

例如

,这里分母 3、4 是相邻的两个自然数,公分母正好是它们

的乘积,把这个例题推广到一般情况,就有一个很有用的等式:





下面利用这个等式,巧妙地计算一些分数求和的问题。

【典型例题】

例 1. 计算:

7

分析与解答:

上面 12 个式子的右面相加时,很容易看出有许多项一加一减正好相互抵消 变为 0,这一来问题解起来就十分方便了。

像这样在计算分数的加、减时,先将其中的一些分数做适当的拆分,使得 其中一部分分数可以相互抵消,从而使计算简化的方法,我们称为裂项法。

8

例 2. 计算: 公式的变式



分别取 1,2,3,??,100 时,就有

9

例 3. 设符号 (

) 、 <

>代表不同的自然数, 问算式

中这两个符号所代表的数的数的积是多少?

分析与解:减法是加法的逆运算,

就变成

,与前面提到的等式

相联系,便可找到一

组解,即

另外一种方法



都是自然数,且

,当

时,利用上面的变加为减

的想法,得算式



这里

是个单位分数,所以

一定大于零,假定

,则

,代入上式得

,即



又因为

是自然数,所以 一定能整除

,即 是

的约数,有 个 就有

个 ,这一来我们便得到一个比
10

更广泛的等式,即当



, 是

的约数时,一定有

,即

上面指出当 里 当 当 当 当 当 当 当 当 当 故(



, 是

的约数时,一定有

,这

,36 共有 1,2,3,4,6,9,12,18,36 九个约数。 时, 时, 时, 时, 时, 时, 时, 时, 时, )和< , , , , , , , , , >所代表的两数和分别为 49,32,27,25。

【模拟试题】

二.尝试体验: 1. 计算:

11

2. 计算:

3. 已知

是互不相等的自然数,当

时,求



【试题答案】 1. 计算:

12

2. 计算:

3. 已知

是互不相等的自然数,当

时,求



的值为:75,81,96,121,147,200,361。 6,9,18,共 6 个,所以有

因为 18 的约数有 1,2,3,

13

(二)

前一节我们已经讲过,利用等式

,采用“裂项法”能很快求出

这类问题的结果来,把这一等式略加推广便得到另一等式:

,现利用这一等式来解一些分数的计算问题。

【典型例题】

例 1. 分析与解:此题如按异分母加法法则来求和,计算量太大,下面用裂项法试一试。
14

下面我们用

,现在给



一些具体的值,看看有什么结果。



时,有



时,有

当 ??

时,有



时,有



时,有

上面这 998 个等式左边的分数, 其分母分别与题目中各加数的分母一样, 只是分子是 2 不是 1,但是很容易将题目中各数的分子变为 2,例如

,??,这样采用裂项法也能较快求出结果来。

因为

, ??,



所以

15

例 2.

因为

所以

同样可得

一般地,因为

16

这里

是任意一个自然数。

利用这一等式,采用裂项法便能较快地求出例 2 的结果。

例 3. 计算:

17

分析与解:





连续使用上面两个等式,便可求出结果来。

18

【模拟试题】(答题时间:15 分钟) 二. 尝试体验

1. 求和:

2. 求和:

3. 求和:

【试题答案】

1. 求和:

2. 求和:

19

3. 求和:

20

数列通项的求法
【知识点精讲】 求数列的通项方法 1、 由等差,等比定义,写出通项公式 2、 利用迭加 an-an-1=f(n)、迭乘 an/an-1=f(n)、迭代 3、一阶递推 an?1 ? pan ? q ,我们通常将其化为 ?an?1 ? A? ? p?an ? A? 数列 4、利用换元思想 5、先猜后证:根据递推式求前几项,猜出通项,用归纳法证明 6、对含 an 与 Sn 的题,进行熟练转化为同一种解题 【例题选讲】
2 2 例 1、设{an}的首项为 1 的正项数列,且 ?n ? 1?an ,2,3,.....? 求它 ?1 ? nan ? an?1an ? 0?n ? 1

看成{bn}的等比

的通项公式。 解:由题意 a1=1 , an>0,(n=1,2,3,…..)

?an?1 ? an ???n ? 1?an?1 ? nan ? ? 0
n an n ?1
n ?1 n ? 2 2 1 ? . . . . . ?.1 ? n n ?1 1 n

? a n ? 0,? a n ?1 ? a n ? 0

? 有a n ?1 ?

? an ?
? an ?

an an?1 a ? ? ......? 2 ? a1 an?1 an?2 a1
1 n

? an ?

变式:已知数列{an},a1=2,an+1=an+3n+2,求 an, 解:an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+(an-2-an-3)+…..+(a2-a1)+a1 [点评]根据数列递推公式,利用迭加(an-an-1=f(n)) 、迭乘(an/an-1=f(n)) 、迭代

2 a n ? 1, 求 a n 3 2 2 1) a n ? a n ?1 ? 1(n ? 2)......(2) 解法一:? a n ?1 ? a n ? 1......( 3 3 2 由(1)-(2)得: a n ?1 ? a n ? (a n ? a n ?1 ) 设 bn ? an ? an?1则数列 {bn }为等比数列 3
例 2、已知数列{an},a1=1,an+1=

21

? bn ? a n ? a n ?1 ?

2 2 n ?1 2 n ? ( ) ? ( ) 3 3 3
n

2 ? 2? ? an ? 1 ? an ? ? ? 3 ? 3?
法二:设 ?a n ?1 ? A? ?

? 2? ? an ? 3 ? 3 ? ? ? ? 3?

n

2 ?an ? A? 3

解得: A ? 3即原式化为 ?a n ?1 ? 3? ?

2 ?an ? 3? 3

设 bn ? an ? 3, 则数列 {bn }为等比数列,

? 2? ? bn ? an ? 3 ? (?2) ? ? ? ? 3?
法三: a 2 ?

n ?1

? 2? ? an ? 3 ? 3 ? ? ? ? 3?
2

n

2 2 2 2 2 ? 2? ?2? ? 2? a1 ? 1, a3 ? a2 ? 1 ? ? ? ? ? 1 a4 ? a3 ? 1 ? ? ? ? ? ? ? ? 1 3 3 3 3 3 ? 3? ?3? ? 3?
n ?1

3

2

2 ? 2? ……… an ? an?1 ? 1 ? ...... ? ? ? 3 ? 3?

2 ? .....? ? 1 3

? 2? ? an ? 3 ? 3 ? ? ? ? 3?

n

[点评]注意数列解题中的换元思想,如 bn ? an ? 3 对数列递推式 an?1 ? pan ? q , 我们通常将其化为 ?an?1 ? A? ? p?an ? A? 比数列 练习:(1):数列{an}中,a1=1,2an= an?1 ? 2(n ? 2),求 an 解方法同上: a n ? 2 ? 看成 {bn} 的等

1 2 n ?1

(2) 数列{an}中,a1=1, a n ?1 ?

2a n ?n ? N ? an ? 2

解:原式化为

2 a n?1

?

2 ? 1 ,利用换元思想。利用上法得 an ? 2n ? 2 an
n?1

例 3、 (猜证)已知数列{an}满足 a1=1, an ? 3 (1)求 a2,a3 ,a4 (2)证明: a n ?

? an?1 ?n ? 2?.

3n ? 1 2

解: (1)a2=4 a3=13 a4=40 (2)a1 ,a2,a3 ,a4 由前可知,成立
22

3k ? 1 假设 n=k 时也成立,即 a k ? 2
n=k+1 时, a k ?1 ? 3 ? a k ? 3 ?
k k

3k ? 1 3k ?1 ? 1 ? 也成立 2 2

综上, a n ?

3n ? 1 2
t ? an ,则 2

练习: 设正数数列{an}前 n 项和 Sn, 存在正数 t, 使得对所有自然数 n, 有 ts n ? 通过归纳猜想得到 Sn 并证明? 解:n=1 时,得 a1=t,n=2 时,得 a2=3t,n=3 时,得 a2=5t,猜测 an=(2n-1)t 证明:n=1,2,3 时,已经成立 假设 n=k 时也成立,即 ak=(2k-1)t,则 Sk=k2t n=k+1 时, ts k ?1 ?
2

t ? a k ?1 , ? 4t (k 2t ? ak ?1 ) ? (t ? ak ?1 ) 2 2

? ak ?1 ? 2tak ?1 ? (4k 2 ? 1)t 2 ? 0 ? ak ?1 ? (2k ? 1)t ? [2(k? 1) - 1]t 也成立
综上,an=(2n-1)t , Sn= n2t

[点评]用数学归纳法,由 n=k 证明 n=k+1 成立时,从递推式入手 例 4、设数列{an}的首项为 1,前 n 项和为 Sn,满足关系

3tS n ? ?2t ? 3?S n?1 ? 3t ?t ? 0, n ? 2, n ? N ?
(1) 求证:数列{an}是等比数列; (2) 设数列{an}的公比为 f(t),作数列{bn},使 b1=1,bn= f ? ?b ? ? ? n?1 ? 的通项公式 解?(1)由 S1 ? a1 ? 1, S 2 ? a1 ? a2 ? 1 ? a2 ? a 2 ?

? 1 ?

(n=2,3,4,…..) 求{bn}

2t ? 3 3t

?

1) a 2 2t ? 3 ? 3tS n ? ?2t ? 3?S n ?1 ? 3t.........( (1) ? (2) ? 3ta n ? ?2t ? 3?a n ?1 ? 0 又? ? 2) a1 3t ?3tS n ?1 ? ?2t ? 3?S n ? 2 ? 3t.......(

??

an 2t ? 3 ?n ? 2,3,4,5......? ? an?1 3t

得证

23

(2) f (t ) ?

? 1 ? 2 2t ? 3 2 1 ? ? ? bn ? f ? ?b ? ? ? ? bn ?1 3t 3 t ? n ?1 ? 3

? bn ? 1 ?

2 ?n ? 1? ? 2 n ? 1 3 3 3

[点评]对 an 与 Sn 进行熟练转化解题 练习:设数列{an}为正项数列,若对任意正整数 n, an 与 2 得 等差中项等于其前 n 项和 Sn 与 2 的等比中项, 求{an}的通项公式 解:?

an ? 2 1 2 ? 2S n ,? S n ? ?a n ? 2? 2 8

?当n ? 2, an ? S n ? S n?1 ? ?an ? an?1 ??an ? an?1 ? 4? ? 0 ? an ? an?1 ? 4 a1 ? S1 ? 2 ? an ? 4n ? 2
n?1

?n ? 2?

备用补充:求下列数列(1)S n ? ?? 1? (3) a1 ? 0, an?1 ? sn ? n 2 ? 2n

? n (2)an ? x n ? yn?x ? 0?, a1 ? 0, 前三项和x

答案 ?1??? 1? ?1 ? 2n??2?2 n ? 2n或?? 3? ? 3n?3??
n n

? 0 n ?1 ?2n ? 1 n ? 2

【课堂小结】 求数列的通项方法 1.由等差,等比定义,写出通项公式 2.利用迭加 an-an-1=f(n)、迭乘 an/an-1=f(n)、迭代 3.一阶递推 an?1 ? pan ? q ,我们通常将其化为 ?an?1 ? A? ? p?an ? A? 列. 4.利用换元思想 5.先猜后证:根据递推式求前几项,猜出通项,用归纳法证明 6.对含 an 与 Sn 的题,进行熟练转化为同一种解题 【作业布置】 高考胜卷 看成{bn}的等比数

数列疑难解析
24

1.怎样理解“数列是一类特殊的函数”? 数列这类特殊的函数,其特殊性表现为如下两个方面: (1) 数列这类函数的定义域只能是正整数集合 N *或它的有限子集 {1, 2, 3, ?, n} . 即 定义域中的元素的取值既有着特殊性,又有着从小到大依次取值的有序性; (2) 数列这类函数的函数值也是有序的, 它是按自变量从小到大依次取值时所分别对应 的函数值先后出现的次序“摆放”的一列函数值的“队” .例如对于定义在实数集 R 上的函 数 g(x) ,当我们把函数值列 g(0) ,g(-1) ,g( 2 ) ,g(

5 ) , 2



视为一个数列,实际上确实是一个数列时,那么数列①的定义域是{1,2,3,4} ,按自变 量从小到大依次取值时所分别对应的函数值先后出现的次序依次是:a1=f (1)= g (0), a2=f (2)= g(-1) ,a3=f (3)= g ( 2 ),a4=f (4)= g ( 的队是:f (1), f (2), f (3), f (4).

5 ).由此“摆放”出的一列函数值 2

2.怎样理解等差数列定义中“从第 2 项起”以及“差等于同一个常数”这两个要点? 要求“从第 2 项起”是为了确保每一项的前一项差的存在性,而只有使“差等于同一 个常数” ,才与“等差”名副其实,体现了等差数列的基本特征.

3.等差数列的通项公式可以写成 an=dn+c(其中 c=(a1-d) )的形式,当 d≠0 时, 可以说 an 是 n 定义在 N 上的一次函数.

4.对于等差数列 ?an ? ,当 d≠0 时,为什么不能说前 n 项和 Sn 是常数项为零的 n 的二 次函数? 对于等差数列,其前 n 项和 Sn 可表示为 Sn=an2+bn(其中 a ?

d d , b ? a1 ? ) . 当 2 2

d≠0 时,当然有 a≠0.但仍不能说 Sn 是 n 的二次函数.这是因为二次函数是有严格定义
25

的, 其定义域是实数集 R, 图像是一条抛物线. 而由等差数列前 n 项和的公式 Sn=an2+bn 确 定的函数值 S1,S2,?,Sn,?,只是二次函数 y ? ax2 ? bx( x ? R) 中当 x=1,2,3,? 时的一系列孤立的函数值, Sn=an2+bn 的图像只是二次函数 y ? ax2 ? bx( x ? R) 的图像 (抛 物线)上的一群孤立的点.

5.在等差数列通项公式的一般形式 an= am+(n-m)d 中,n 必须大于 m 吗? 在通项公式 an=am+(n-m)d ①中,不必规定 n> m.事实上,当 n= m 时,左、右 两边显然相等.当 n< m 时,由于 am= an+(m-n)d 成立,由此得: an=am-(m-n)d=am+(n-m)d 成立.综上可知,不论 n> m,或 n≤ m,①式都成立. (对于等比数列相应问题的疑惑,可仿照等差数列的问题加以解释) .

6.如何从函数的角度去认识数列? 数列是一类特殊的函数,分析数列的有关问题,可以用函数的方法去认识. 例如.已知数列{xn}满足 xn+1=xn-xn-1 (n≥2),x1=a,x2=b.记 Sn=x1+x2+x3+??+xn, 求 x100 与 S100. 由 x1=a,x2=b,x3=b-a,x4=-a,x5=-b,x6=a-b,x7=a,x8=b,x9=b-a,x10=-a, x11=-b,x12=a-b,x13=a,x14=b,??. 可以发现数列{xn}是一个周期数列,具有 xn+6=xn,即周期为 6. 由 100=16× 6+4,故 x100=x4=-a,S100=S4=2b-a.

7.数列{an}的前 n 项和 Sn 组成的数列{Sn}与{an}是一对相关数列,研究两者之间的关 系是数列中常见问题.

8.关于等差数列前 n 项和的最大值和最小值的求法 (1) 在等差数列{an}中,如果公差 d>0,则数列{an}前 n 项和有最小值.
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当 a1>0 时,Sn 的最小值就是 S1=a1; 当 a1<0 时,数列{an}中一定存在 am≤0,而 am+1>0,Sn 的最小值就是 Sm. (2) 在等差数列{an}中,如果公差 d<0,则数列{an}前 n 项和有最大值. 当 a1<0 时,Sn 的最大值就是 S1= a1; 当 a1>0 时,数列{an}中一定存在 am≥0,而 am+1<0,Sn 的最大值就是 Sm. (3) 在 d≠0 时,Sn 是 n 的二次函数,求数列{an}的最值问题可借助求二次函数的最值 的方法来求.

9.数列的求和 (1) 通项公式 an 是项数 n 的一次、二次、三次多项式的求和问题. 此类问题通常转化为自然数列,自然数的平方数列、立方数列进行求和,需利用下列 公式:

1 n?n ? 1? , 2 1 12 ? 2 2 ? 3 2 ? ? ? n 2 ? n?n ? 1??2n ? 1? , 6 1 2 13 ? 2 3 ? 33 ? ? ? n 3 ? n 2 ?n ? 1? . 4 1? 2 ? 3 ??? n ?
(2) 利用裂项法,进行数列的求和. (3) 转化为等差数列,等比数列进行求和.

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