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2017届山东省实验中学高三第二次诊断性考试数学(理)试题


2017 届山东省实验中学高三第二次诊断性考试数学(理)试题 数学(理)试题
第Ⅰ卷(选择题 共 50 分)

一、选择题:本大题共 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项 是符合题目要求的.
1.已知集合 A ? {x 0 ? log 4 x ? 1} , B ? {x x ? 2} ,则 A ?

B ? ( A. (0,1) B. (0, 2] C. (1, 2) D. (1, 2] ) )

2.命题“对任意 x ? R ,都有 x 2 ? 0 ”的否定为( A.对任意 x ? R ,都有 x 2 ? 0 B.不存在 x ? R ,使得 x 2 ? 0
2 C.存在 x0 ? R ,使得 x0 ?0 2 D.存在 x0 ? R ,使得 x0 ?0

3.函数 y ? A. (0,1)

x ln(1 ? x) 的定义域为(
B. [0,1) C. (0,1]

) D. ? 0,1? )

4.已知 ? 是第二象限角, sin ? ? A. ?

12 13

B. ?

5 13

5 ,则 cos ? ? ( 13 5 12 C. D. 13 13

5.已知函数 f ( x) 为奇函数,且当 x ? 0 时, f ( x) ? x 2 ? A.-2 B.0
3

1 ,则 f (?1) ? ( x



C.1
2

D.2 )

6.已知函数 f ( x) ? x ? ax ? bx ? c ,下列结论中错误的是( A. ?x0 ? R , f ( x0 ) ? 0 B.函数 y ? f ( x) 的图象是中心对称图形 C.若 x0 是 f ( x) 的极小值点,则 f ( x) 在区间 (??, x0 ) 单调递减 D.若 x0 是 f ( x) 的极值点,则 f ' ( x0 ) ? 0

第页

1

7.“ ? ? ? ”是“曲线 y ? sin(2 x ? ? ) 过坐标原点”的( A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件

) D.既不充分也不必要条件 )

C.充分必要条件

8.函数 f ( x) ? 2 ln x 的图象与函数 g ( x) ? x 2 ? 4 x ? 5 的图象的交点个数为( A.3 B.2 C.1 D.0

? ? x 2 ? 2 x, x ? 0 9.已知函数 f ( x) ? ? ,若 f ( x) ? ax ,则 a 的取值范围是( ?ln( x ? 1), x ? 0
A. (??, 0] B. (??,1] C. [?2,1] D. [?2, 0]



10.设 S , T 是 R 的两个非空子集,如果存在一个从 S 到 T 的函数 y ? f ( x) 满足: (i) T ? { f ( x) x ? S } ; (ii)对任意 x1 , x2 ? S ,当 x1 ? x2 时,恒有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,那么称这两个集合 “保序同构” ,以下集合对不是“保序同构”的是( A. A ? N , B ? N
*



B. A ? {x ?1 ? x ? 3} , B ? {x x ? ?8或0 ? x ? 10} C. A ? {x 0 ? x ? 1} , B ? R D. A ? Z , B ? Q

第Ⅱ卷(非选择题

共 100 分)

二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.)
11.设函数 f ( x) 在 (0, ??) 内可导,且 f (e ) ? x ? e ,则 f (1) ? __________.
x x '

12.函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? ) ( A, ? , ? 为常数, A ? 0, ? ? 0 )的部分图象如图所示,则 f (0) 的值是 __________.

13.设 a ? 0 ,若曲线 y ?

x 与直线 x ? a, y ? 0 所围成封闭图形的面积为 a 2 ,则 a ? __________.

14.函数 y ? cos(2 x ? ? ) ( ?? ? ? ? ? )的图象向右平移
第页 2

?
2

个单位后,与函数 y ? sin(2 x ?

?
3

) 的图象重

合,则 ? ? __________.

?ax ? 1, ?1 ? x ? 0 ? 15.设 f ( x) 是定义在 R 上且周期为 2 的函数, 在区间 [?1,1] 上,f ( x) ? ? bx ? 2 , 其中 a, b ? R , ,0 ? x ?1 ? ? x ?1
若 f ( ) ? f ( ) ,则 a ? 3b 的值为__________.

1 2

3 2

三、解答题 (本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
16. (本小题满分 12 分) 在锐角 ?ABC 中,内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,且 2a sin B ? 3b . (1)求角 A 的大小; (2)若 a ? 6, b ? c ? 8 ,求 ?ABC 的面积. 17.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? x ? x ? 16 .
3

(1)求曲线 y ? f ( x) 在点 (2, ?6) 处的切线的方程; (2)直线 l 为曲线 y ? f ( x) 的切线,且经过原点,求直线 l 的方程及切点坐标. 18.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? 4 cos ? sin(? x ? (1)求 ? 的值; (2)讨论 f ( x) 在区间 [0, 19.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? (1)求 f ( ?

?
4

) ( ? ? 0 )的最小正周期为 ? .

?
2

] 上的单调性.

2 cos( x ?

?
12

) , x?R.

?
6

) 的值; 3 3? ? ,? ? ( , 2? ) ,求 f (2? ? ) 5 2 3

(2)若 cos ? ?

20.(本小题满分 12 分)

1 3 1 2 x ? x ? 2ax . 3 2 2 (1)若 f ( x) 在 ( , ??) 上存在单调递增区间,求 a 的取值范围; 3 16 (2)当 0 ? a ? 2 时, f ( x) 在 [1, 4] 上的最小值为 ? ,求 f ( x) 在该区间上的最大值. 3
设 f ( x) ? ? 21.(本小题满分 14 分)
第页 3

若函数 y ? f ( x) 在 x ? x0 处取得极大值或极小值,则称 x0 为函数 y ? f ( x) 的极值点,已知 a, b 是实数,1 和-1 是函数 f ( x) ? x 3 ? ax 2 ? bx 的两个极值点. (1)求 a 和 b 的值; (2)设函数 g ( x) 的导函数 g ' ( x) ? f ( x) ? 2 ,求 g ( x) 的极值点; (3)设 h( x) ? f ( f ( x)) ? c ,其中 c ? [?2, 2] ,求函数 y ? h( x) 的零点个数.

山东省实验中学 2017 届高三第二次诊断性考试 理科数学试题参考答案 2016.10 说明:试题分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,第Ⅰ卷为第 1 页至第*页,第Ⅱ卷为 第*页至第*页。 试题答案请用 2B 铅笔或 0.5mm 签字笔填涂到答题卡规定位置上, 书写在试题上的答案无效。 考试时间 120 分钟。 第Ⅰ卷(共 50 分)
第页 4

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求 的一项. 1. D D B A A 6. C A B D D

第Ⅱ卷(非选择题,共 100 分) 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 11. 2 12. 6 2 13. 4 9 14. 5π 6 15.-10

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程 16. (本小题满分 12 分)

a b 3 解: (1)由 2asin B= 3b 及正弦定理 = ,得 sin A= . sin A sin B 2
π 因为 A 是锐角,所以 A= . 3

4 6

17. (本小题满分 12 分) 已知函数 f(x)=x +x-16. (1)求曲线 y=f(x)在点(2,-6)处的切线的方程; (2)直线 l 为曲线 y=f(x)的切线,且经过原点,求直线 l 的方程及切点坐标; 解:(1)可判定点(2,-6)在曲线 y=f(x)上.∵f′(x)=(x +x-16)′=3x +1, ∴在点(2,-6)处的切线的斜率为 k=f′(2)=13. ∴切线的方程为 y=13(x-2)+(-6),即 y=13x-32. (2)设切点为(x0,y0), 则直线 l 的斜率为 f′(x0)=3x0+1, ∴直线 l 的方程为 y=(3x0+1)(x-x0)+x0+x0-16, 又∵直线 l 过点(0,0), ∴0=(3x0+1)(-x0)+x0+x0-16, 整理得,x0=-8,∴x0=-2. ∴y0=(-2) +(-2)-16=-26,
3 3 2 3 2 3 2 3 2 3

1 3

6

8

k=3×(-2)2+1=13.
∴直线 l 的方程为 y=13x,切点坐标为(-2,-26).
第页 5

12

18. (本小题满分 12 分) π? ? 2 解: (1)f(x)=4cos ω x·sin?ω x+ ?=2 2sin ω x·cos ω x+2 2cos ω x= 2(sin 2ω x+cos 2ω x) 4? ? π? ? + 2=2sin?2ω x+ ?+ 2. 4? ? 因为 f(x)的最小正周期为 π ,且 ω >0, 2π 从而有 =π ,故 ω =1. 2ω 6 7 2

π? π π π 5π ? (2)由(1)知,f(x)=2sin?2x+ ?+ 2.若 0≤x≤ ,则 ≤2x+ ≤ . 4? 2 4 4 4 ? 当 当 π π π π ≤2x+ ≤ ,即 0≤x≤ 时,f(x)单调递增; 4 4 2 8 π π 5π π π ≤2x+ ≤ ,即 ≤x≤ 时,f(x)单调递减. 2 4 4 8 2

? π? ?π π ? 综上可知,f(x)在区间?0, ?上单调递增,在区间? , ?上单调递减. 8 ? ? ?8 2?
19. (本小题满分 12 分) π ? π? ? π π? ? π? [解答] (1) f?- ?= 2cos?- - ?= 2cos?- ?= 2cos =1. 4 ? 6? ? 6 12? ? 4? π? π π? π? ? ? ? (2)f?2θ + ?= 2 cos?2θ + - ?= 2cos?2θ + ?=cos 2θ -sin 2θ . 3? 3 12? 4? ? ? ? 3 4 ? 3π ? 因为 cos θ = ,θ ∈? ,2π ?,所以 sin θ =- . 5 5 ? 2 ? 24 7 2 2 所以 sin 2θ =2sin θ cos θ =- ,cos 2θ =cos θ -sin θ =- . 25 25 π? 7 ? 24? 17 ? 所以 f?2θ + ?=cos 2θ -sin 2θ =- -?- ?= . 3 25 ? ? ? 25? 25 20. (本小题满分 13 分) 1 3 1 2 设 f(x)=- x + x +2ax. 3 2 2 (1)若 f (x)在( ,+∞)上存在单调递增区间,求 a 的取值范围; 3 16 (2)当 0<a<2 时,f (x)在[1,4]上的最小值为- ,求 f(x)在该区间上的最大值. 3 1 2 1 2 解:(1)由 f′(x)=-x +x+2a=-(x- ) + +2a, 2 4 2 2 2 当 x∈[ ,+∞)时, f′(x)的最大值为 f′( )= +2a; 3 3 9 2 1 令 +2a>0,得 a>- . 9 9
第页 6

12

5 7 8 10 12

2

6

1 2 所以,当 a>- 时,f(x)在( ,+∞)上存在单调递增区间. 9 3 1- 1+8a 1+ 1+8a (2)令 f′(x)=0,得两根 x1= ,x2= . 2 2 所以 f(x)在(-∞,x1),(x2,+∞)上单调递减,在(x1,x2)上单调递增. 当 0<a<2 时,有 x1<1<x2<4,所以 f(x)在[1,4]上的最大值为 f(x2), 27 又 f(4)-f(1)=- +6a<0,即 f(4)<f(1). 2 40 16 所以 f(x)在[1,4]上的最小值为 f(4)=8a- =- . 3 3 得 a=1,x2=2, 10 从而 f(x)在[1,4]上的最大值为 f(2)= . 3 12 13 11 7 9

21. (本小题满分 14 分) 若函数 y=f(x)在 x=x0 处取得极大值或极小值,则称 x0 为函数 y=f(x)的极值点.已知 a,b 是实数,1 和-1 是函数 f(x)=x +ax +bx 的两个极值点. (1)求 a 和 b 的值; (2)设函数 g(x)的导函数 g′(x)=f(x)+2,求 g(x)的极值点; (3)设 h(x)=f(f(x))-c,其中 c∈[-2,2],求函数 y=h(x)的零点个数. 解:(1)由题设知 f′(x)=3x +2ax+b,且 f′(-1)=3-2a+b=0,
2 3 2

f′(1)=3+2a+b=0,解得 a=0,b=-3.
(2)由(1)知 f(x)=x -3x.因为 f(x)+2=(x-1) (x+2),所以 g′(x)=0 的根为 x1=x2=1,x3=-2,于 是函数 g(x)的极值点只可能是 1 或-2. 当 x<-2 时,g′(x)<0;当-2<x<1 时,g′(x)>0,故-2 是 g(x)的极值点. 当-2<x<1 或 x>1 时,g′(x)>0,故 1 不是 g(x)的极值点. 所以 g(x)的极值点为-2. 8
3 2

(3)令 f(x)=t,则 h(x)=f(t)-c.先讨论关于 x 的方程 f(x)=d 根的情况, d∈[-2,2]. 当|d|=2 时,由(2)可知,f(x)=-2 的两个不同的根为 1 和-2,注意到 f(x)是奇函数,所以 f(x)=2 的 两个不同的根为-1 和 2. 9

当|d|<2 时,因为 f(-1)-d=f(2)-d=2-d>0,f(1)-d=f(-2)-d=-2-d<0, 所以-2,-1,1,2 都不是 f(x)=d 的根.由(1)知 f′(x)=3(x+1)(x-1). ①当 x∈(2, +∞)时, f′(x)>0, 于是 f(x)是单调增函数, 从而 f(x)>f(2)=2, 此时 f(x)=d 无实根. 同 理,f(x)=d 在(-∞,-2)上无实根. ②当 x∈(1,2)时,f′(x)>0,于是 f(x)是单调增函数,又 f(1)-d<0,f(2)-d>0,y=f(x)-d 的图像 不间断,所以 f(x)=d 在(1,2)内有唯一实根.同理,f(x)=d 在(-2,-1)内有唯一实根. ③当 x∈(-1,1)时,f′(x)<0,故 f(x)是单调减函数,又 f(-1)-d>0,f(1)-d<0,y=f(x)-d 的图
第页 7

像不间断,所以 f(x)=d 在(-1,1)内有唯一实根. 由上可知:当|d|=2 时,f(x)=d 有两个不同的根 x1,x2 满足|x1|=1,|x2|=2; 当|d|<2 时,f(x)=d 有三个不同的根 x3,x4,x5 满足|xi|<2,i=3,4,5. 现考虑函数 y=h(x)的零点. (ⅰ)当|c|=2 时,f(t)=c 有两个根 t1,t2 满足|t1|=1,|t2|=2,而 f(x)=t1 有三个不同的根,f(x)=

t2 有两个不同的根,故 y=h(x)有 5 个零点.
(ⅱ)当|c|<2 时,f(t)=c 有三个不同的根 t3,t4,t5 满足|ti|<2,i=3,4,5,而 f(x)=ti(i=3,4,5)有 三个不同的根,故 y=h(x)有 9 个零点. 综上可知,当|c|=2 时,函数 y=h(x)有 5 个零点;当|c|<2 时,函数 y=h(x)有 9 个零点.

第页

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