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1.3.1单调性与最大(小)值(第3课时)


观察 下列两个函数的图象:
y
M M y

x
o x0
图1

o
图2

x0

x

y
M M

y

x
o x0
图1

o


图2

x0

x

思 考

观察这两个函数图象,图中有 个最高点,那么这个最高点的纵坐 标叫什么呢?

思 考

设函数y=f(x)图象上最高点的纵坐 标为M,则对函数定义域内任意自变量 x,f(x)与M的大小关系如何?
y
M

?
x

x ? x0 x ? x0

x

o

x
图1

x0

思 考

设函数y=f(x)图象上最高点的纵坐 标为M,则对函数定义域内任意自变量 x,f(x)与M的大小关系如何? x ?x
0
y
M

f(x ) ? M
o

f(x) f(x) f(x)

x
图1

x0 x

x

x

思 考

y

x ? x0
f(x)

M

f(x ) ? M
x
x

o
图1

x0

思 考

设函数y=f(x)图象上最高点的纵坐 标为M,则对函数定义域内任意自变量 x,f(x)与M的大小关系如何?

任意取自变量 x 都有 f(x ) ? M

思 考

设函数y=f(x)图象上最高点的纵坐 标为M,那么是否存在一个自变量x, 使得它所对应的函数值就是这个M?
y
M M

f(x 0 ) ? M
x

o

x0

1数 是此函数的最大值 例如函 f ? x? = -x +1? x∈R ?
2
2 1

?(0)=1
O

1、对任意的

x?R 都有?(x)≤1.

2、存在0,使得?(0)=1.

M是函数y= f (x)的最大值 一般地,设函数y= f (x)的定义 域为I,如果存在实数M满足:

(1)对于任意的x ∈I,都有f (x)
≤M;

(2)存在 x0 ? I

,使得 f(x0 ) = M .

思 考

能否仿照函数的最大值的定义,给 出函数y=f(x)的最小值的定义呢?
y f(x)

f(x ) ? M
x

f(x)
M o

M

x

x

一般地,设函数y=f(x)的定义域为

I,如果实数M满足:
(1)对于任意的x∈I,都有f(x) ≥M; (2)存在 x0 ? I , 使得 f ( x0 ) ? M 那么我们称M是函数y=f(x)的最小值

思 考 函数的最大值是函数值域中的一
个元素吗?


思 考 如果在函数f(x)定义域内存在x 1 和 x2,使对定义域内任意x都有 f(x1 ) ? f(x) ? f(x2 ) 成立,由此你能得 到什么结论?如果函数f(x)的最大值是 b,最小值是a,那么函数f(x)的值域是 [a,b]吗? 函数f(x)在定义域中既有最大值f(x2)又 有最小值f(x1).

探究:函数单调性与函数的最值的关系
(1)若函数y=f (x)在区间[m,n] (m<n)上 单调递增,则函数y=f (x)的最值是什么? y

f(n)

当x=m时,f
(x)有最小值f (m),
x

m
O

n

当x=n时,f (x)有最
大值f (n).

f(m)

(2)若函数y=f(x)在区间[m,n]上单调

递减,则函数y=f(x)的最值是什么?
y
f(m)

当x=m时,f

O

m

n

(x)有最大值f (m),

当x=n时,f(x)有
最小值f (n).
x

f(n)

(3)若函数 y=f(x)的图像如下图所示,

则函数y=f(x)在区间[m,n]上的最值是什 f(l) 么? y
f(m)

最大值f (l)=h,有

f(n)
O

最小值f (m), f (n)
中较小者.
x

m

l

n

例4 "菊花"烟花是最壮观的烟花之一.制造时一般是 期望在它达到最高点时爆裂.如果烟花距地面的高度 h米与时间t秒之间的关系为: h ? t ? = -4.9t +14.7t +18, 那么烟花冲出后什么时候是
2

它爆裂的最佳时刻?这时距地面的高度是多少

? 精确到1米 ? ?

解:做出函数 h(t) = -4.9t +14.7t +18 的图像。显然,函数图像的顶点就 是烟花上升的最高点,顶点的横坐 标就是烟花爆裂的最佳时刻,纵坐 标就是这时距地面的高度.
h
20 15 10 5

2

o

1 2 3

4

t

由二次函数的知识,对于函数
h(t) = -4.9t + 14.7t + 18 , 我们有 14.7 = 1.5 时,函数 当t = 2 ? (-4.9)
2

有最大值
4 ? (-4.9) ? 18 - 14.7 2 h= ? 29 4 ? (-4.9)

h
20 15 10 5

o

1

2

3

4

t

所以,烟花冲出1.5s是它爆裂的最佳时刻,此 时距离地面的高度约为29m.

例4

求函数的最大值与最小.

2 已知函数f(x ) ? (x ? ?2, 6?), x ?1

分析:由函数的图象可知道,此

函数在[2,6]上递减。所以在区间[2,
6]的两个端点上分别取得最大值与最 小值.

课堂小结

函数的最值:

?

最大值 最小值

5、函数的最值的求法

(1)利用图象求函数的最值;
(2)利用函数单调性求函数的最值 .


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