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数列专题


等差数列解题技巧
导读:高考的出题形式是这样的,填空或者选择出一道数列题,解答题出一道数列的大题。而 填空选择的出题形式包括求某一项,求公差或者公比,或求前 n 项和,实质是考察等差和等比数列 的公式的运用. 先说等差数列 等差数列的通项公式是 an ? a1 ? (n ?1) ? d ①

怎样去理解这条式子,①可以看作 an ? a1 ? (n

?1) ? d ,也就是 an 比 a1 多了 (n ? 1) 个 d 同理我们有

an ? am ? (n ? m) ? d



②可以看作 an ? am ? (n ? m) ? d ,也就是 an 比 am 多了 (n ? m) 个 d

? ? ?

an- a1= (n-1) ?d
① ② ① ② ③

?

① - ② = ③
- ② = ③

an- am= (n-m) ?d


?①

所以根据上面的公式,我们可以得出两项的关系式:

a7 ? a2 ? (7 ? 2) ? d ? 5d , a3 ? a5 ? (3 ? 5) ? d ? a5 ? 2d 等等
特别地②变形有 d ?

an ? am n?m

练习:在等差数列 ?an ? 中, (1) a7 ? 15 , d ? 3 ,求出 a2, , a9 和 a11 (2) a2 ? 6 , a7 ? 16 ,求出 a4 (3) a5 ? 6 , d ? 2 ,求出 an 用公式①来求解(1) a7 ? 15 ? a1 ? 6d ? 15 ,

?a1 ? 6d ? 15 ?a1 ? ?3 ?? ? an ? a1 ? (n ? 1) ? d ? 3n ? 6 ? ?d ? 3 ?d ? 3
(2) ?

∴ a2 ? 0 a9 ? 21

a11 ? 27

?a2 ? 6 ?a1 ? d ? 6 ?a ? 4 ?? ?? 1 ?a7 ? 16 ?a1 ? 6d ? 16 ?d ? 2
∴ a4 ? 2 ? 4 ? 2 ? 10

∴ an ? a1 ? (n ?1) ? d ? 2n ? 2 (3) a5 ? 6 ? a1 ? 4d ? 6 ? ?

?a1 ? 4d ? 6 ?a1 ? ?2 ?? ? an ? 2n ? 4 ?d ? 2 ?d ? 2

用公式②来求解 (1)∵ an ? am ? (n ? m) ? d

a2 ? a7 ? 5 ? d ? 15 ? 5 ? 3 ? 0 , a9 ? a7 ? 2 ? d ? 21 , a11 ? a7 ? 4 ? d ? 27
(2) a2 ? a7 ? 5 ? d ? n, an ? ( a2 比 a7 多了 (2 ? 7) 个 d )

∵ a2 ? 6 , a7 ? 16 ,代入可得 6 ? 16 ? 5 ? d ,可得 d ? 2

a4 ? a2 ? 2 ? d ? 10 或者 a4 ? a7 ? 3? d ? 10
(3)∵ an ? am ? (n ? m) ? d ∴ an ? a5 ? (n ? 5) ? d ? ?4 ? 2n 小结: 对比一下,用公式①求解时计算大,而且运算麻烦,因为每次都要计算出 a1 和 d 来求出通项,再利 用通项公式返过来将对应的项求解出来, 而用公式②就简单的多了, 因为根据 an ? am ? (n ? m) ? d , 只需要知道其中一项和公差, an 通项就可以求解出来(见用公式②问(3)的求解) ,而且可以用 ,而避免了再引入一个 a1 an ? am ? (n ? m) ? d 写出任意两项的关系式(见用公式②问(1)的求解) 项,就能够直接求出对应的项和公差了。记住以下规律 1. 知道任意两项可求通项,知道任意一项和公差也可求通项① 2. 少用 a1 ,计算量会大大减少 常用等差公式 ① m ? n ? p ? q 则 am ? an ? a p ? aq ③ a1 ? an ? a2 ? an?1 ? a3 ? an?2 ? ? ② m ? n ? 2 p 则 am ? an ? 2a p (等差中项) ④ Sn ? ( an 比 a5 多了 (n ? 5) 个 d )

(a1 ? a n )n 2

① 式是项与项之间的转换, (理科学生必须要掌握) ②式是等差中项 ③ 式主要用于 n 项和累加的转化 ④式是前 n 项和和项之间的转换 通过项与项之间的转换,我们可以达到求出两项或者求出其中一项和公差的目的,从而顺利求出通 项和公差,我会在下面的例题中渗透转换的思想的,慢慢去理解吧


? n, an ? 和 ? m, am ? 可以看作为一次函数的两点,我们知道两点确定一条直线,也就两点确定一个通项, d 就是一
次函数的斜率,因为 k

为什么知道任意两项可求通项,因为 an

? a1 ? (n ?1) ? d ? nd ? (a1 ? d ) 可以看做关于 n 的一次函数,
? an ? am n?m

?

y2 ? y1 x2 ? x1

,所以类似地 d

(理数要求熟练掌握,文数不作要求) ,

例1.

在等差数列 ?an ? 中,已知 a2 ? 1 , a5 ? a9 ? 32 , an ? 55 ,则 n 的值为

分析:我们先看一下,已知 an 的值,要求出项数 n ,很明显地要将 an 的通项公式求出来,可以通过

a2 ? 1 和 a5 ? a9 ? 32 两个条件求出来, a5 ? a9 可以转化成等差中项, 2a7 ? a5 ? a9 ? 32 ,可以得
出 a7 ? 16 ,再联合 a2 ? 1 ,可以求出通项。 解:∵ 2a7 ? a5 ? a9 ? 32 ∴ a7 ? a2 ? 5d ? 16 ∴ a7 ? 16

∴ 1 ? 5d ? 16 可求得 d ? 3 (如果熟悉的话,可直接用 d ?

a7 ? a2 ? 3) 7?2

an ? a7 ? (n ? 7) ? d ? 3n ? 5 (或者 an ? a2 ? (n ? 2) ? d ? 3n ? 5 )
∵ an ? 3n ? 5 ? 55 ∴ n ? 20

例2.

(例 1 变形)在等差数列 ?an ? 中,已知 a2 ? 1 , a4 ? a9 ? 29 , an ? 55 ,则 n 的值为

分析:对比例 1,例 1 容易求,因为 a5和a9 的项数之和为偶数,可以转化成等差中项,但是非常遗 憾地 a4和a9 项数之和为一个奇数,变形不了!那是不是就意味着无路可走? 方法一:用最原始的方法解决(就是将所有的项用 an ? a1 ? (n ?1) ? d 表示,然后求出 a1 和 d ,再 求出通项) 解: a2 ? 1 ? a1 ? d ? 1 ①

a4 ? a9 ? a1 ? 3d ? a1 ? 8d ? 29 ? 2a1 ? 11d ? 29 ②
所以①和②组成方程组 ?

? a1 ? d ? 1 ? a1 ? ?2 可求得 ? ?d ? 3 ? 2a1 ? 11d ? 29

an ? a1 ? (n ?1) ? d ? 3n ? 5
∵ an ? 3n ? 5 ? 55 ∴ n ? 20

注释:引入 a1 和 d 是最笨的方法,会导致计算量很大。其实根本没必要要引入 a1 ,通项同样能求 出来。但是很多学生是十分依赖和喜欢这种方法的,因为这是万金油公式,直接套用就行了,这是 个危险的想法,过度依赖公式会让人不擅长分析条件的关系,到头来题目练了很多,却没有一丁点 的提高。

方法二: (文数做法,文理数都要求必须掌握) 分析:方法一是将所有的项 a2 , a4 , a9 转换成 a1 和 d 的关系式,但是题目中 a1 是未知的,所以我 们的运算量会变大。因为题目中 a2 项是已知,我们可以将 a4 , a9 转化成的 a2 和 d 的关系式,然后 就顺利求出 d 的值了 解: a4 ? a9 ? 29 ∵ a4 ? a2 ? 2d , a9 ? a2 ? 7d ∴ a4 ? a9 ? a2 ? 2d ? a2 ? 7d ? 29 即 2a2 ? 9d ? 29 ∵ a2 ? 1 ∴ d ? 3 ∴ an ? a2 ? (n ? 2) ? d ? 3n ? 5 ∵ an ? 3n ? 5 ? 55 ∴ n ? 20 注释:这道题目是将所有未知的项统一转化成我们已知的 a2 项的关系,这种方法在等比数列也 会同样用到 (根本不需要引入 a1 项)

方法三: (理数做法,理数要求掌握,文数不作要求) (公式 m ? n ? p ? q 则 am ? an ? a p ? aq 的运用) 分析:例 1 是利用等差中项 2a7 ? a5 ? a9 求出 a7 ,那么类似地,能不能从 a4 ? a9 ? 29 中求出其中 一项?如果能的话,结合 a2 ? 1 ,根据已知任意两项可以求出通项, an 就能求出来了 解:有公式 m ? n ? p ? q 则 am ? an ? a p ? aq 得 ∵ a4 ? a9 ? 29 ∴ a4 ? a9 ? a2 ? a11 ? 29 (为什么要化为 a2 ? a11 ,因为 a2 已知,另一个未知的项就能就求解) ∵ a2 ? 1 ∴ a11 ? 28

d?

a11 ? a2 ?3 11 ? 2

an ? a2 ? (n ? 2) ? d ? 3n ? 5

∵ an ? 3n ? 5 ? 55 ∴ n ? 20 注释:运用 m ? n ? p ? q , am ? an ? a p ? aq 几乎可以转化成你想要的转化的项,但是要注意,转 化不是任意的,而是要转化成和已知项有关系的式子。

例 3 在等差数列 ?an ? 中, a1 ? a3 ? a5 ? 105 , a2 ? a4 ? a6 ? 99 ,则 a20 等于 解: a1 ? a3 ? a5 ? 3a3 ? 105 ,可得 a3 ? 35 ,

a2 ? a4 ? a6 ? 3a4 ? 99 ,可得 a4 ? 33
(任意两项可得通项公式)

d ? a4 ? a3 ? ?2
∴ an ? a3 ? (n ? 3) ? d ? 41 ? 2n ① ∴ a20 ? 1 ②

注释:其实①和②是多余的,因为在等差数列中我们已知其中某一项和公差就能求出任意一项, 也就是: a20 ? a3 ? (20 ? 3)d ? 1

例 4 在等差数列 ?an ? 中,且 a7 ? 2a4 ? ?1 , a3 ? 0 ,求公差 d 分析:不会做,想将所有的项化简成 a1 ?化简吧,公式在这里 an ? a1 ? (n ?1) ? d ,但是换了我, 我就不会这样算,因为这样算很笨。 解法一(文理科必须掌握) :将 a7 和 a4 化简为已知的项 a3 ,可以直接得出公差 d 解:∵ a7 ? a3 ? 4d ∴ a7 ? 2a4 ? ?1 ∴ a7 ? 2a4 ? a3 ? 4d ? 2 ? (a3 ? d ) ? ?1 ∴化简可得 ?a3 ? 2d ? ?1 ∵ a3 ? 0 ∴d ? ?

a4 ? a3 ? d

1 2

解法二(只要求理数掌握,文数可忽略) 分析:如果可以从 a7 ? 2a4 ? ?1 中求出一个项那该多好,结合 a3 ? 0 ,公差通项就可以直接求出来 了,但问题又来了,怎样去化简呢。注意到 a7 ? 2a4 ? ?1 有个 a4 项,而是是偶数项,可以用等差中 向化成 2a4 ? an ? am 了 解:a7 ? 2a4 ? ?1 ,2a4 ? a7 ? am (根据 m ? n ? 2 p 则 am ? an ? 2a p ,7 ? m ? 2 ? 4 ,m ? 1 ) ∴ 2a4 ? a7 ? am ∴ a1 ? 1

a7 ? 2a4 ? ?1 , a7 ? 2a4 ? a7 ? (a7 ? a1 ) ? ?a1 ? ?1
∴d ? ?

∵ a3 ? 0

1 2

例 5:在等差数列 ?an ? 中,若 a4 ? a6 ? a8 ? a10 ? a12 ? 120 ,求 a9 ?

1 a11 的值 3

解:有条件 a4 ? a6 ? a8 ? a10 ? a12 ? 120 易得, 5a8 ? 120 ,得 a8 ? 24 将 a9 和 a11 化简成 a8 可得到: a9 ?

1 1 2 a11 ? (a8 ? d ) ? (a8 ? 3a11 ) ? a8 ? 16 3 3 3

分析:我们可以从条件 a4 ? a6 ? a8 ? a10 ? a12 ? 120 中求得 a8 项,但是只有一项是不能求出通项的 (至少两项) ,也就是说 a9 和 a11 都不能单独求出来,所以 a9 ? 无法解了),直接将所有的项化成已知项 a8 即可

1 a11 化简后只会与 a8 有关系(不然就 3

例 6:在等差数列 ?an ? 中,若 a3 ? a4 ? a5 ? 12 ,那么 a1 ? a2 ? ... ? a7 ? 解:∵ a3 ? a5 ? 2a4 ,∴ a3 ? a4 ? a5 ? 3a4 ? 12 ∴ a4 ? 4 又∵ a1 ? a7 ? a2 ? a6 ? a3 ? a5 ? 2a4 ∴ a1 ? a2 ? ... ? a7 ? 7a4 ? 28 注释:这道题目用了等差中项公式和 a1 ? an ? a2 ? an?1 ? a3 ? an?2 ? ?公式 将两项之和转变成已知的项 a4 , 我们再看一下 S7 ? a1 ? a2 ? ... ? a7 ? 的等差中项是 a4 ,也就是 S7 ?

(a1 ? a7 ) ? 7 ? 7 a4 ,于是实现了前 n 项和到某一项的转变, 2 (a1 ? a n )n ,看看例题感受一下转化的乐趣吧 2

(a1 ? a7 ) ?7 , 又因为 a1和a7 2

a Sn 和 \ n 的转化, Sn ? an ,利用公式 S n ?

例 7:若等差数列 ?an ? 的前 5 项和为 S5 ? 25 ,且 a2 ? 3 ,则 a7 ? 解: S5 ?

(a1 ? a5 ) ? 5 ? 25 2

可化简得: a1 ? a5 ? 10 ,又∵ a2 ? 3 (观察,这是不是和例一是同一种类型的?) 由等差数列可得: 2a3 ? a1 ? a5 ? 10 , a3 ? 5

d ? a3 ? a2 ? 5 ? 3 ? 2 , an ? a3 ? (n ? 3) ? d ? 2n ?1 ,
∴ a7 ? 2 ? 7 ?1 ? 13 ②



实际上是不用求出通项 an 的,因为已知 a2

? 3 和 d ? 2 ,就可以将任意的项求解出来, a7 ? a2 ? 5d ? 13

例 8:设等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,若 S3 ? 9 , S6 ? 36 ,则 a7 ? a8 ? a9 ? 分析:将 S3 和 S6 转变成项就可以将通项求出来了 解:∵ S3 ?

(a1 ? a3 ) ? 3 ? 3a2 (因为 a1 ? a3 ? 2a2 ) 2


∴ 3a2 ? 9 ∴ a2 ? 3 又∵ S6 ? 36 即 S6 ?

(a1 ? a6 ) ? 6 ? 3a1 ? 3a6 ? 36 ② 2

∴ a1 ? a6 ? a2 ? d ? a2 ? 4d ? 2a2 ? 3d ? 12 ∴ d ? ?1

a8 ? a2 ? 6d ? ?3

∴ a7 ? a8 ? a9 ? 3a8 ? ?9 综述:观察①和②式,已知一项和两项的和,实质就是例 2 的升级版 接下来看一看例 5 的升级版 例 9:设等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,若 S9 ? 72 ,则 a2 ? a4 ? a9 ? 解: S9 ?

(a1 ? a9 ) ? 6 ? 6a5 ? 72 2

∴ a5 ? 12(已知一项是无法将通项求出来的,也就是说 a2 ? a4 ? a9 中 a2 , a4 和 a9 是无法单独求出 来的,所以 a2 ? a4 ? a9 一定可以转化成和只 a5 有关系的式子) ∴ a2 ? a4 ? a9 ? (a5 ? 3d ) ? (a5 ? d ) ? (a5 ? 4d ) ? 3a5 ? 36 (将所有的项转化成 a5 即可)

例 10:在等差数列 ?an ? 中,若 a1 ? a2 ? a3 ? 3 , a28 ? a29 ? a30 ? 165 ,则前 30 项的和等于 解: a1 ? a2 ? a3 ? 3 ? 3a2 ? 3 ? a2 ? 1 ∴ S30 ?

a2 8? a 2 9? a 3 ? 6 5 ? 3a 01

29

? 1 6 5 ?a

29

? 55

(a1 ? a30 ) ? 30 ? 15 ? (a1 ? a30 ) 2

?a2 ? 1 ?d ?2 ? ?a29 ? 55

a1 ? a2 ? d ? 1 ? 2 ? ?1

a3 0 ? a 2 ? d ? 57 9

∴ S30 ? 15 ? (a1 ? a30 ) ? 15 ? 56 ? 840 .③



其实根本不用单独求出 a1 和 a30 ,因为 n ? !∴ S30

?

(a1 ? a30 ) ? 30 (a2 ? a29 ) ? 30 ? ? 56 ?15 ? 56 2 2

等差数列前 n 项和最值问题
记得周星驰的《逃学威龙》有句台词是这样的:长官,你这么做,就相当于把我带去一个充满毒蛇 猛兽的火山口,任凭我怎样哀叫,任凭我怎样挣扎,你还是狠狠地、毫无怜悯地,用脚把我一伸, 我就跌落到火红的岩浆里面!你这么做又于心何忍呢?

(a1 ? an )n 2 d 2 d ( a ? an ) n 想一想好像发现不对, Sn 除了 S n ? 1 外,还有一个公式的那就是 S n ? n ? ( a1 ? ) n , 2 2 2
其实在处理选择填空的前 n 项和的时候,就是需要狠狠地、毫无怜悯地将 Sn 化作 S n ? 那什么时候用到这个公式的呢?其实据我的个人经验,这个公式不用太过重视,因为尽管在复习的 时候会提及到,但是考试,模拟考试几乎不可能会出到的,甚至,这个公式不需要去记。退一步想, 即使要用的时候,就将公式中的 S n ?

(a1 ? an )n 中的 an ? a1 ? (n ?1)d 代入即可。 2

但是尽管不用去记,但是我们还是要明白公式其中的道理的 那就是等差数列前 n 项和 Sn 的最值问题

d 2 d n ? (a1 ? )n 是一个关于 n 的二次函数,如果二次函数有最大值,也是就 Sn 存在 2 2 b b 最大值, n ? ? (对称轴) 当 的时候可以取到最大最小值, 当然因为 n 是整数, 所以要对 n ? ? 2a 2a
我们知道 S n ? 进行处理。 另一种看待 Sn 的观点,我们知道等差数列 an ? a1 ? (n ?1) ? d ? nd ? (a1 ? d ) 是一个关于 n 的 一次函数,比如等差数列 an ? ?2n ? 8 ,其所在的一次函数直线如 图,可以看出,因为斜率 k ? ?2 ,所以 an 随着 n 的增大而减少,

a1 ? 6 , a2 ? 4 , a3 ? 2 , a4 ? 0 , a5 ? ?2 ,所以最大值就是 S3
或者 S4 ,其实就是将前面全为正的项相加,就可以得出最大值 也就是说 an?1 ? 0 存在最大值时,有以下结论 an ? 0 ,

an?1 ? 0 ,我们看看具体的例题吧

例 11.在等差数列 ?an ? 中, a1 ? 50 , a1 ? 50 , d ? ?0.6 ,求 Sn 的最 大值。 解法一; (用二次函数的最大最小值)

(a1 ? an )n [50 ? 50 ? (n ? 1) ? (?0.6)] ? n ? ? ?0.3n 2 ? 50.3n 2 2 (a ? an )n d 2 d (直接用 S n ? 1 化简就不需要记 S n ? n ? (a1 ? )n 了) 2 2 2 d 2 d ∵二次项系数 a ? ?0.3 ? 0 ,而且过原点(因为 S n ? n ? (a1 ? )n ,当 n ? 0 时, S ? 0 ) 2 2 b 503 ? ∴当 n ? ? 时, Sn 取最大值 2a 6 503 n 取接近于 的自然数的时候,即 n ? 84 , Sn 可取最大值 6 a ? a84 ? 84 ? 2108.4 ∴ S max =S84 = 1 2
解:S n ?

解法二; (求出大于 0 的项,将所有的正项相加) 解: an ? 50 ? 0.6 ? (n ? 1)=-06n ? 50.6 ∵ a1 ? 50 ? 0 , d ? 0 (如图所示) 令 an ? -06n ? 50.6 ? 0 ,可解得 n ? 84.3 所以从 85 项开始, an ? 0 , Sn 随着 n 的增大而越来越小(因为加了越多的负数项) ∴ S max =S84 =

a1 ? a84 ? 84 ? 2108.4 2

分析:对比一下,解法一只需用到二次函数的最值就可以解决问题了,但是运算比较复杂,而且前 提是需要将 Sn 化简成二次函数的式子(公式记得的话就容易做下去,但是假如忘记了的话,那......) 而解法二的好处在于只需要求出 an ? 0 的项数即可,再利用 S n ? 所以个人建议,如果你熟悉项的意义的话,解法二是首选。

(a1 ? a n )n 求解,简单方便快捷, 2

例 12 等差数列 ?an ?中, 已知 S n 为其前 n 项和, a3 ? 12, S12 ? 0, S13 ? 0 , 解:

求公差 d 的取值范围,

? a1 ? a12 ? 2 ?12 ? 0 S12 ? 0 ? ? ?? ? ? ? S13 ? 0 ? a1 ? a12 ?13 ? 0 ? 2 ?

?a3 ? 2d ? a3 ? 9d ? 0 ?2a3 ? 7d ? 0 ?24 ? 7d ? 0 ?24 ?? ?? ?? ? ? d ? ?3 a3 ? 2d ? a3 ? 10d ? 0 ?2a3 ? 8d ? 0 ?24 ? 8d ? 0 7 ?
(将 a1和a12 化成 a3 的关系式) 例 13 等差数列 ?an ? 中, 已知 a2 ? ?6, a8 ? 6, Sn 是其前 n 项和, 则( A. S4 ? S5 B. S 4 ? S5 C. S 6 ? S5 D. S 6 ? S5

).

解释: a2 ? ?6, a8 ? 6 可求得: an ? 2n ?10 ,令 an ? 0 ,可解得: n ? 5 例 14.等差数列 ?an ? 中, S n 为其前 n 项和,且 S6 ? S7 , S7 ? S8 ,则有: (1)此数列公差 d<0 ,(2) S9 一定 小于 S 6 . (3) S7 一定是 S n 中最大值, (4) a7 是各项中最大一项,其中正确的是有哪些 解: (1) S6 ? S7 ,可以得出 a7 ? 0 ( S6 ? S7 两边同时减去 S6 即可)

S7 ? S8 ,可以得出 a8 ? 0 ( S7 ? S8 两边同时减去 S7 即可) ∴ d ? a8 ? a7 ? 0
(2) S9 ? S6 =a7 ? a8 ? a9 ? 3a8 ? 0 , ∴ S9 < S 6 (3) a7 ? 0 , a8 ? 0 ,∴ S 7 一定是 S n 中最大值( S 7 为所有正项值相加) (4) a1 才各项中最大一项,

综上知其中正确的是(1),(2),(3)

补充: (1)在等差数列中,如果 S 7 是最大值,可以得出 d ? 0 , a7 ? 0 , a8 ? 0
(2) 在等差数列中, S7 ? 0, S8 ? 0, 所以零点介于 7~8 之间,可设零点 为 7.5,所以对称轴为 x ?

7.5 ? 3.75 ,所以 S 4 最大 2

所以求前 n 项和的最大值,你要对项的意义掌握清楚,但是这个只是到不 是常考点

(文科数学可忽略这道题)2011 年的广东高考数学卷被称为近年来的一次大整蛊(大灾难), 在整理这些 专题资料的时候,我很想收录理数的数列选择题目,因为难道题目很经典,难得经典…. (敢问出 题者,你这么做又于心何忍呢?).如果用常规的方法去做的话,要化简运算 3~4 分钟才能算出来, 如果用特殊的方法的话,一分钟也不用就可以求解出来,下面我们来欣赏一下这道经典的题目吧 (2011 年广东高考卷理数)11.等差数列 ?an ? 前 9 项的和等于前 4 项的和.若 a1 ? 1, ak ? a4 ? 0 , 则k ? .

解法一:常规方法:

a1 ? a9 a ?a ? 9 ? 1 4 ? 4 ? 9a5 ? 2(a1 ? a4 ) 2 2 ( a ? an ) n (狠狠地、毫无怜悯地将 Sn 化作 S n ? 1 ) 2
∵ S9 ? S 4 ? ∴ 9a5 ? 2(a1 ? a4 ) ? 9(a1 ? 4d ) ? 2(a1 ? a1 ? 3d ) ? d ? ? ∴d ? ? ∵ a1 ? 1 ∴ a4 ?

a1 6

1 6
∴ an ? a1 ? (n ? 1)d ?

1 1 ,∴ ak ? ?a4 ? ? 2 2

7 n ? 6 6 7 n 1 ? ?? 6 6 2

∴n=10

解法二(巧妙方法)∵ S9 ? S4 ∴ S9 ? S4 ? a5 ? a6 ? a7 ? a8 ? a9 ? 0

? 5a7 ? 0

? a7 ? 0

?a1 ? 1 ?a1 ? 1 7 n ? ?? ? 1 ? an ? a1 ? (n ? 1)d ? ? 6 6 ?a7 ? 0 ?d ? ? 6 ?
∴ a4 ?

1 1 ,∴ ak ? ?a4 ? ? 2 2

7 n 1 ? ?? 6 6 2

∴n=10

解法三(最巧妙方法) ∵ S9 ? S 4 ∴ S9 ? S4 ? a5 ? a6 ? a7 ? a8 ? a9 ? 0

? 5a7 ? 0

? a7 ? 0

ak ? a4 ? 0 ? 2a7 (构造等差中项)∴ k ? 4 ? 2 ? 7 ? k ? 10 (不可思议)
(a1 ? a n )n , 2

解法一是最容易想到的, 所以运算最复杂, 而解法二是在解法一上进行优化, 不用 S n ?

直接用前 n 项和相减,可得出 a5 ? a6 ? a7 ? a8 ? a9 ? 0 ,求出 a7 ? 0 ,而解法三是最巧妙的,也是 最难想的,可以忽略,但是对解法一二必须要熟练掌握

等比数列公式详解
类似地,等比等差数列常用公式有

an ? a1qn?1



an ? amqn?m ②
na1    (q ? 1) ? ? n Sn ? ? a1 (1 ? q ) ? Sn ? 1 ? q     ( q ? 1) ?
①式中
n an ? a q?1 1



?

① = ② + ③



② ③

②式中

an ? amqn?m
① ② ③

?

① = ② + ③

对应的性质: 1. m ? n ? p ? r 则 am ? an ? a p ? ar
2 2. m ? n ? 2 p 则 am ? an ? a p

(等比中项)

3. a1 ? an ? a2 ? an?1 ? a3 ? an?2 ? ?

4. Sm 、 S 2 m - m 、 S3m- 2m 等比
先说明一下,等比数列的求解没有什么简便的方法,题目的求解相对于等差数列会不太直观,而且 有时会麻烦的多。原因如下:等差数列对于加减法的运算比较容易,但对乘除法的运算会变得麻烦 了;等比数列则刚好相反,对于乘除运算比较容易,但对于加减法就会比较复杂了。一般试题中加 减法出现的次数比乘除法多,所以这就会导致等差数列比较好算,而等比数列比较难算了。 一般在计算等比数列的习题中,我们只需要简单地套用公式就能计算出结果,但运算可能会比较繁 琐。所以我们可以这样安慰自己,没办法,这就是唯一的办法,虽然繁琐,但是能算出结果。 例 1: (2011 年广东高考卷文数) ?an ? 为正等比数列, a2 =2 , a4 ? a3 ? 4 ,则求此数列的公比 q 解:∵ a4 ? a3 ? 4 , a2 =2 ∴ a2q ? a2q ? 4 ? 2q ? 2q=4
2 2



化简①可得, q ? q ? 2 ? 0
2

解得: q1 ? 2或者q2 ? -1 ∵ ?an ? 为正等比数列

∴ q1 ? 2 q2 ? -1舍去) ( 注释:和等差数列一样,将所有的项( a4 和 a3 )化简成已知项 a2 即可,注意一点就是如果没有必 要,不要用公式 an ? a1q n?1 将 a4 和 a3 项化成 a1 ,否则,解题难度就会大大加深了。

例 2.已知等比数列 ?an ? 的公比为正数,且 a3 ? a9 =2a52 , a2 =1 ,求 a1 解:∵ a3 ? a9 =2a52 ∴ ∴ a6 2 =2a52

a6 2 =2 ,即 q2 ? 2 ∴ q ? ? 2 a5 2

∵公比为正数 ∴ q ?

2

a1 ?

a2 2 ? q 2

注释:例 2.中已知 a2 =1 和项的关系 a3 ? a9 =2a52 ,我们根据项的关系 a3 ? a9 =2a52 求出公比,进而 根据 an ? a1q n?1 求出通项。当然,和等差数列一样,如果所求的是其中某一项,可以直接根据公式 。 an ? amqn?m ,求出任意项(跳过求通项公式这一步) 例 3.等比数列 ?an ? 的公比 q ? 0 ,已知 a2 =1 , an?2 ? an?1 ? 6an ,求 a4 解:由 an?2 ? an?1 ? 6an 得, 两边同时除了 an ,可得 q2 ? q ? 6 ,化简可得: q2 ? q ? 6 ? 0 ,解得 q ? 2 或 q ? -3 (舍去) ∴ a4 ? a2q2 ? 4 注释: an?2 ? an?1 ? 6an 是求公比 q 的,加上其中一项 a2 =1 ,利用公式 an ? amqn?m ,可将 a4 求出 例 4. 等比数列 ?an ? 中,若 a3? a1 =8 , a4 ? a3 =18 ,求 a2 的值 分析:和例 2,例 3 不同,例 4 只知道项与项的关系,所以没有什么好办法,唯一的办法就是将所 有的项转化成 a1 ,再将 a1 和 q 求解出来。
2 ? ?a3? a1 =8 ?a1(q ? 1) ? 8 ?? 解: ? 3 2 ?a4 ? a3 =18 ?a1(q ? q ) ? 18 ?

① ②

将①式子除以②式,可得

q2 ?1 8 ? (两式相除就可以将 a1 消去) 3 2 q ?q 18

q 2 ? 1 (q ? 1)(q ? 1) q ? 1 8 4 化简得 3 ? ? 2 ? ? 即 4q2 ? 9q ? 9 ? 0 2 2 q ?q q (q ? 1) q 18 9
求得: q ? 3 或 q ? -

3 2 2 ,当 q ? 3 时, a4 ? a3 =18 可以花简成 a2q ? a2q=a2 (q ? q) ? 18 , 4

a2 ?

7 18 18 ? 2 ? 3 ,同理当 q ? 3 时,可得 a2 ? 2 12 q ?q 3 ?3

在上面的例题中,我们只处理单项与单项的关系,如

a4 ? q 2 ,如果是两项之和或者更多项之和之 a2

间的关系的呢, 比如

a3 ? a4 a ? a5 ? a6 a ? a4 , 或者 4 , 它们的值是多少呢?如果换了是积呢, 比如 3 , a1 ? a2 a1 ? a2 a1 ? a2 ? a3

或者三项

a4 ? a5 ? a6 ,它们的比值又等于多少呢?把和与积的比值问题搞清楚了,等比数列的填空 a1 ? a2 ? a3

选择就基本不成问题了。

1. 和的比值

a4 ? a5 ? a6 型 a1 ? a2 ? a3

例 5. 等比数列 ?an ? 中,若 a1 ? a2 ? 30 , a3 ? a4 ? 120 ,则求 a5 ? a6 的值 分析:我们先观察一下 a1 ? a2 ? 30 和 a3 ? a4 ? 120 的关系, a3 是 a1 的 q 2 倍, a4 也是 a2 的 q 2 倍, 所以有 a3 ? a4 ? (a1 ? a2 )q2 ,即 q ?
2

a3 ? a4 120 ? ? 3 ,同理分析 a3 ? a4 和 a5 ? a6 可得, a5 是 a3 a1 ? a2 40

的 q 2 倍, a6 也是 a4 的 q 2 倍,∴ a5 ? a6 ? (a3 ? a4 )q2 ? 120 ? 3 ? 360 解:∵ a3 ? a4 ? (a1 ? a2 )q2 ∴q ?
2

a3 ? a4 120 ? ?3 a1 ? a2 40

∴ a5 ? a6 ? (a3 ? a4 )q2 ? 120 ? 3 ? 360 例 6. 等比数列 ?an ? 中,若 a5 ? a6 ? a ? a ? 0? , a15 ? a16 ? b ,则求 a25 ? a26 的值 分析:观察

a15 a a a ? q10 , 16 ? q10 , 25 ? q10 , 26 ? q10 a5 a6 a15 a16
10

a ? a16 ? a5 ? a6 ? q b 解: ∵ 15 ? ? q10 ? a5 ? a6 a5 ? a6 a
b b2 ∴ a25 ? a26 ? ? a15 ? a16 ? q ? b ? ? a a
10

综述:在例 5 中,我们观察到 a1 ? a2 ? 30 , a3 ? a4 ? 120 有两个特点:1 都是两项相加,2 每个等 式中项数的差相等( a1和a2 项数相差 1, a3和a4 项数也相差 1) ,满足这两个条件可将公比 q.求出来

例 7 等 比 数 列 ?an ? 中 , 若 公 比 q ? 1 , 若 a2004 和 a2005 是 方 程 4 x ? 8 x ? 3 ? 0 的 两 个 根 , 求
2

a2006 ? a2007 的值。
2 解:解方程 4 x ? 8 x ? 3 ? 0 ,得 x1 ?

1 3 , x2 ? 2 2

∵ q ? 1 ,∴ a2005 ? a2004 ∴ a2005 ? ∴q ?

3 1 , a2004 ? (已知任意两项和可求出公比和通项) 2 2

a2005 ? 3 (可以根据 an ? a2004qn?2004 求出通项?再将 a2006和a2007 分别求解出来?) a2004
b =2 a
2

有韦达定理可得: a2005 +a2004 = ?
2

(或者直接相加 a2005 ?

3 1 , a2004 ? ) 2 2

∴ a2006 ? a2007 = ? a2005 +a2004 ? q =2 ? 3 =18

例 8. 等比数列 ?an ? 中,满足 a1 ? a2 =3 ①, a2 ? a3 =6 ②,求 Sn 的值。 分析: a1 ? a2 =3 , a2 ? a3 =6 满足两个条件:1 都是两项相加,2 每个等式中项数的差相等(①式中 ,所以可以求出公比 q, 但是没有已知项,通项公 a1和a2 项数相差 1,②式中 a2和a3 项数也相差 1) 式还不能求出来,所以要从 a1 ? a2 =3 求出 a1 项。 解: q ?

a2 ? a3 (求出公比) =2 , a1 ? a2
3 ? 1 (求出 a1 项) 1+q

a1 ? a2 =3 ? a1 +a1q =3 ? a1 ?1+q ? =3 ? a1 =

(不一定要求出 a1 项,只需求出任意项就行了,比如求 a2 项

a2 ? a3 =6 ? a2 +a2 q =6 ? a2 ?1+q ? =6 ? a2 =
∴ a7 ? a1q6 ? 64

6 ? 2) 1+q

例 9.已知等比数列 ?an ? 的各项为正数,若 a1 ? 3 ,前三项和为 21,求 a4 ? a5 ? a6 的值 分析:由前三项和为 21 可得到, a1 ? a2 ? a3 ? 21 ,那么 a4 ? a5 ? a6 ? (a1 ? a2 ? a3 )q ? 21? q ,
3 3

也就是说, 只要将 q 求解出来就可以将 a4 ? a5 ? a6 的值求出来了, 也就是说可以我们要根据 a1 ? 3 和

a1 ? a2 ? a3 ? 21 ,将 a1 ? a2 ? a3 ? 21 所有的项化简成 a1 ,就可以求解出公比 q 了,
2 2 解: a1 ? a2 ? a3 ? 21 ? a1 ? a1q ? a1q ? a1 1 ? q ? q ? 21

?

?

又∵ a1 ? 3 ,可以得出: 1 ? q ? q2 ? 7 解一元二次方程可得: q1 ? 2, q2 ? ?3 (舍去 )

a4 ? a5 ? a6 ? (a1 ? a2 ? a3 )q3 ? 21? q3 =21? 23 =168
换了形式的和的比值,
我们知道 S3 ? a1 ? a2 ? a3 , a4 ? a5 ? a6 ? S6 ? S3 ,∴

a4 ? a5 ? a6 S6 ? S3 ,也就是说假如我们 ? a1 ? a2 ? a3 S3

知道 S6和S3 的比值,就可以求出 q 的值,具体看看下面的例题 例 9.等比数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,若

S6 S ? 3 ,则 9 ? S3 S6

分析:如果我们直接套用公式 Sn ?

a1 (1 ? q n ) 的话,是无法求出来的, 1? q

a1 (1 ? q 6 ) S S 1 ? q6 1? q ∵根据条件 6 ? 3 ,可以得出 6 ? ? ?3 S3 a1 (1 ? q3 ) 1 ? q3 S3 1? q

①,而我们要求的是

S9 S6

a1 (1 ? q 9 ) S9 1 ? q9 1? q ②式很难根据①式化简求值 (注意这里用语是很难, 而不是不能) , ? ? ? ? ②, S6 a1 (1 ? q 6 ) 1 ? q 6 1? q
解:∵

S6 ?3 S3

∴ S6 ? 3S3 ,化简可得,

S6 ? S3 ? 2, S3



S6 ? S3 a ?a ?a ? 2 ,可得 4 5 6 ? 2 ,即 q3 ? 2 因为这是填空题,可直接令 a1 ? a2 ? a3 ? 1, a1 ? a2 ? a3 S3 S9 19 ? S6 3

a4 ? a5 ? a6 ? 2 , a7 ? a8 ? a9 ? ? a4 ? a5 ? a6 ? q3 ? 16 ,可以得 S9 ? 19 , S6 ? 3 ,∴

注释:例 9 实质就是性质 4: Sm 、 S 2 m - m 、 S3m- 2m 成等比的具体例子,一般遇到这种题型的时候, 我们一般要将 S m 化成 Sm ? a1 ? a2 ? ... ? am ,题目可以转化成

a4 ? a5 ? a6 型,难度就会大大降低 a1 ? a2 ? a3

例 10..等比数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,若 S4 =1 , S8 =3 ,求 a17 ? a18 ? a19 +a20 的值 解: ?

?a1 ? a2 ? a3 +a4 =1 ?S4 =1 ?a1 ? a2 ? a3 +a4 =1 ?? ?? ?S8 =3 ?a1 ? a2 ? a3 +a4 +a5 ? a6 ? a7 +a8 =3 ?a5 ? a6 ? a7 +a8 =2
a5 ? a6 ? a7 +a8 =2 a1 ? a2 ? a3 +a4

可求得

q4 ?

(每一项是对应项 q 4 倍, 所以 a5 ? a6 ? a7 +a8 是 a1 ? a2 ? a3 +a4 的 q 4 倍)
4

a17 ? a18 ? a19 +a20 ? ? a1 ? a2 ? a3 +a4 ? q16 ? 1? ? q 4 ? ? 24 ? 16
例 11..等比数列 ?an ? 的公比为 q ?

1 ,且 a1 ? a3 ? a5 +...+a49 ? 30 ,求 S50 的值 2

分析: S50 ? a1 ? a2 ? a3 +...+a50 ,我们观察一下 S50 ? a1 ? a2 ? a3 +...+a50 和

a1 ? a3 ? a5 +...+a49 ? 30 两个条件,如果可以求出 a2 ? a4 ? a6 +...+a50 的值的话,就可以将 S50 求解
出来,而 a2 ? a4 ? a6 +...+a50 ? ? a1 ? a3 ? a5 +...+a49 ? q ,可以将 a2 ? a4 ? a6 +...+a50 求解出来 解: a2 ? a4 ? a6 +...+a50 ? ? a1 ? a3 ? a5 +...+a49 ? q ?

1 ? 30 ? 15 2

S50 ? a1 ? a2 ? a3 +...+a50 ? ? a1 ? a3 ? a5 +...+a49 ? ? ? a2 ? a4 ? a6 +...+a50 ? ? 15 ? 30 ? 45
a4 ? a5 ? a6 型 a1 ? a2 ? a3

2. 积的比值

积的比值型比和的比值型容易得多,因为我们之前说过,乘除法是等比数列所擅长的,所以积的运 算比较容易,一般遇到 a4 ? a5 ? a6 型的话,我们主张用下列公式进行化简 所用公式有 1. m ? n ? p ? r 则 am ? an ? a p ? ar
2 2. m ? n ? 2 p 则 am ? an ? a p

(等比中项)

3. a1 ? an ? a2 ? an?1 ? a3 ? an?2 ? ?

例 12.已知.等比数列 ?an ? 中, a1a2 a3 ? 5 , a7 a8a9 ? 10 ,则求 a4 a5a6 的值 解: a1a2 a3 ? a2 ? 5 , a7 a8a9 ? a8 ? 10 ,
3 3

a4 a5 a6 ? a5 ?
3

?

a2 ? a8

?

3

? ? a2 ? a8 ?

3 2

3 ? ?? a2 ? a8 ? ? 2 ? 50 2 ? 5 2 , ? ?

1

1

例 13.已知.等比数列 ?an ? 中, a1a3a11 ? 8 ,则求 a2 a8 的值 分析,只有一个条件,化简后得 a1a3a11 ? 8 必然和 a2 a8 有关系,直接求解出 a2 a8 解:∵ a1a3a11 ? a1 ? a1 ? q2 ? a1 ? q10 ? a13 ? q12 ? (a1 ? q4 )3 ? a53 ? 8 ∴ a5 ? 2 , ∴ a2 a8 ? a52 ? 4 例 14.已知.等比数列 ?an ? 中, a1 和 a99 是方程 x ? 10 x ? 16 ? 0 的两个根,求 a40 a50 a60 的值
2

解:∵ a1 和 a1 ? a99 ? 16 是方程 x ? 10 x ? 16 ? 0 的两个根
2

∴由韦达定理得: a1 ? a99 ? 16 ,

a50 是 a1 和 a99 的等比中项, a502 ? 16 ,∴ a50 ? ?4 (没说明是正等比数列,所以 a50 可以取负数)
3 ∴ a40 a50 a60 ? a50 ? ? ?4 ? ? ?64 3

补充例题 例 15.已知.等比数列 ?an ? 中,公比 q ? 2 ,前 n 项和为 Sn ,求

S4 的值 a2

a1 (1 ? q n ) 分析:没有什么简便的方法,唯一方法就是利用公式 Sn ? 和 an ? a1q n?1 进行化简,将 S4 1? q
和 a2 化简成关于 a1 和 q 的表达式

解:

S4 ? a2

a1 (1 ? q 4 ) 1? q a1q3

?

(1 ? q 4 ) 15 ? ?1 ? q ? q3 2

数列通项求解方法大全
如何判断数列为等差数列?方法很简单,简要证明出

an ? q (d 为常数)即可,例如,要证明 an ?1

an ? 2n ? 8 为等差数列,则∵ an ? 2n ? 8 ,∴ an?1 ? 2 ? n ?1? ? 8 ? 2n ?10 ,∴ an ? an?1 ? 2 ,2
为常数,∴ an ? 2n ? 8 为等差数列,同理要证明等比数列也只要证明出

an ? q ( q 为等比即可) an ?1

例 1.已知数列 ?an ? 满足以下条件, an ? 2an?1 ? an?2 ? 2 ,证明 ?an ? an?1? 为等差数列。 分析:要证明 ?an ? an?1? 为等差数列,只需要证明 ? an ? an?1 ? ? ? an?1 ? an?2 ? ? d (d 为常数)即可, 而 an , an ?1 和 an?2 的关系式为 an ? 2an?1 ? an?2 ? 2 ,也就是说从 an ? 2an?1 ? an?2 ? 2 化简求出

? an ? an?1 ? ? ? an?1 ? an?2 ? ? ? 即可,我们构造 an ? an?1 ,我们观察一下, an ? 2an?1 ? an?2 ? 2 左边
只有 an ,我们左边要化成 an ? an?1 ,等式右边也要同时减去 an ?1 ,具体解法看下面 解: 由 an ? 2an?1 ? an?2 ? 2 化简得

an ? an?1 ? 2an?1 ? an?2 ? 2 ? an?1 ? an?1 ? an?2 ? 2 ,
∴ ? an ? an?1 ? ? ? an?1 ? an?2 ? ? 2 (2 为常数) ∴ ?an ? an?1? 为等差数列

例 2.已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 1, an?1 ? 2an ? 1(n ? N * ). 证明数列 ?an ?1 是等比数列; ? 分析:要证明 ?an ?1 是等比数列,只需证明 ?

an ? 1 a ?1 ,当然也可以证明 n ?1 ? q (q 为常数) ?q an?1 ? 1 an ? 1

(q 为常数) 。同理,我们构造 an ?1 ? 1 ,只需将关系式 an?1 ? 2an ? 1 两边同时加上 1 即可。 证明:∵ an?1 ? 2an ? 1 ∴ an?1 ?1 ? 2an ?1 ?1 ? 2an ? 2 ? 2 ? an ? 1? 化简可得

an?1 ? 1 ?2, an ? 1

所以 ?an ?1 是等比数列 ?

例 3.已知数列{an}满足 an?1 ? an ? 2n (n ? N * ) ,求证:数列 ?an ? ? 2n ? 是等比数列;

? ?

1 3

? ?

1 an ?1 ? ? 2n ?1 1 n? ? 3 分析:要证明数列 ?an ? ? 2 ? 是等比数列,即要证明 ,也就是要 ? q (q 为常数) 1 n 3 ? ? an ? ? 2 3 1 n 1 n ?1 构造 an ? ? 2 和 an ?1 ? ? 2 。 3 3
解: an?1 ? an ? 2n ? an?1 ? ?an ? 2n ∴ an ?1 ? ? 2

1 3

n ?1

1 1 1 ? 2? 1 ? ?an ? 2n ? ? 2n ?1 ? ? an ? ? 2n (∵ 2n ? ? 2n?1 ? 2n ?1 ? ? ? ? 2n ) 3 3 3 ? 3? 3

∵ an ?1 ? ? 2

1 3

n ?1

1 1 ? ? ? ?an ? ? 2n ? ? ? an ? ? 2n ? 3 3 ? ?

1 an ?1 ? ? 2n ?1 3 ∴ ? ?1 1 n an ? ? 2 3
∴数列 ?an ? ? 2 ? 是等比数列;
n

? ?

1 3

? ?

例 4.已知数列 ?an ? 满足以下条件, an ?1 ?

?1 ? 2an ,证明 ? ? 1? 为等差数列。 an ? 1 ? an ?

分析:构造

2an 1 1 1 两边同时倒数,再构造 ? 1 和 ? 1 的关系即可,可将 an ?1 ? ?1 an?1 an an ? 1 an?1 2an a ?1 1 ,两边同时倒数可得, , ? n an ? 1 an ?1 2an a ?1 1 1 1 1 ? n ? ? ? , an?1 2an 2 an 2

解: an ?1 ?

再化简可得,

两边同时减去 1,可得

? 1 1 1 1 1 1 1 1? 1 ? 1 ? ? ? ? 1 ? ? ? ? ? ? 1? an?1 2 an 2 2 an 2 2 ? an ?

∴?

?1 ? ? 1? 为等差数列。 ? an ?

练习 1④:. 1. 已知数列 ?an ? 满足关系 an?1 ? 3an ? 2 ,求证:数列 ?an ?1 是等比数列; ? 2. 已知数列 ?an ? 满足关系 an ?1 ?

1 1 2? ? an ? ,求证:数列 ? an ? ? 是等比数列; 2 3 3? ?

3. 已知数列 ?an ? 前 n 项和满足关系 Sn ? 2an ? 2n ,求证:数列 ?an?1 ? 2an ? 是等比数列; 4. 数列 {an } 的前 n 项和记为 S n ,已知 a1 ? 1 , an ?1 ? 等比数列 5. 已知数列 ?an ? 满足关系 an ? 4 ?

n?2 ?S ? S n ( n ? 1, 2, 3, ? .)证明数列 ? n ? 是 n ?n?

? 1 ? 4 ? n ? 2 ? ,求证:数列 ? ? 是等差数列; an?1 ? an ? 2 ?

我们总结一下,要证明复杂数列如 ?an ?1 是等差或等比数列,只需要构造关系式 an ? 1 即可,但是 ? 证明是等比数列或者等差数列有什么用呢?证明不是白证的,通常在试题中往往会这样设计,如下 列题目: 已知数列{an}满足关系 an?1 ? 3an ? 2 , a1 ? 1 (1) 求证:数列 ?an ?1 是等比数列; ? (2) 求 an 的前 n 项和 Sn 很明显地,问题(1)很容易得证,具体看练习题 1 的答案,但是怎样去求 Sn 呢?看下面的答案



答案如下: 构造化简数列 an?1 ?1 ? 3 构造化简数列 an ?1 ?

1. 2. 3.

? an ?1?

2 1? 2? ? ? an ? ? 3 2? 3? n n?1 n 将 Sn?1 ? 2an?1 ? 2 和 Sn ? 2an ? 2 两式子相减化简可得, an?1 ? 2an ? 2 ,可判断得出为首项为 2,
公比为 2 的等比数列(后面会有专题讲到)

4.

5.

S S n?2 S n ,构造化简数列 n ?1 ? 2 ? n n n ?1 n 2a ? 4 4 4 将 an ? 4 ? ,两边同时减去 2,得到 an ? 2 ? 2 ? ,两边取倒数可得, ? n?1 an ?1 an?1 an?1 an?1 an?1 a ?2?2 a ?2 1 2 1 1 (注意 ? ? ? n?1 ? n?1 ? ? ? an ? 2 2an?1 ? 4 2 ? an?1 ? 2 ? 2 ? an?1 ? 2 ? 2 ? an?1 ? 2 ? 2 ? an?1 ? 2 ? 2 an?1 ? 2
因为 an?1 ,所以 S n ?1 ? S n ? ? Sn?1 ? Sn (后面会有专题讲到) 化简过程,模拟考试有可能会出现这种类型的) ,所以数列 ?

?

1 ? ? 是等差数列 ? an ? 2 ?

解: (1) 证明略 (2) 设 bn ? an ? 1 ,因为 a1 ? 1 ,容易得出, b1 ? a1 ? 1 ? 2 ,∴ bn 是以 b1 ? 2 , q ? 3 的等比数 列, bn ? b1qn?1 ? 2 ? 3n?1 ,∴ an ? 2 ? 3n?1 ?1 ,∴ an ? 2 ? 3n?1 ?1 ∴ Sn ? a1 ? a2 ? ... ? an ? 2 ? 3

? 2 ? 3 ? ... ? 2 ? 3 1 ? 1 ? ... ? 1 ????????????? ? ? ??????? ? ? ?
1?1 2?1 n ?1 等比数列求和 n个1

=2 ? ? 31?1 ? 32?1 ? ... ? 3n ?1 ? ? ?1 ? 1 ? ... ? 1?

? 3n ? n ? 1
从上面的例子可以看出,只要能将数列 ?an ?1 是等比数列证明出来,就可以求出 an ? 1 的通项,进 ? 而求解 an 的通项了。注意,求 an ? 1 的通项时,最后用换元法设 bn ? an ? 1 ,这样会运算简便点。

练习 2,求下面各个通项⑤ 1. 已 知 数 列 ?an ? 满 足 关 系 an ?1 ?

1 1 an ? , a1 ? 1 求 证 : 数 列 2 3

2? ? ? an ? ? 是 等 比 数 列 , 求 3? ?

1 ? an = ? ? 3 ?

1? ? 2?

n ?1

2 ? 通项 3
n?2 ?S ? S n( n ? 1, 2, 3, ? .)证明数列 ? n ? 是 n ?n?

2. 数列 {an } 的前 n 项和记为 S n ,已知 a1 ? 1 ,an ?1 ?

等比数列,求 ?Sn ? 通项,并求 ?an ? 通项(提示 an 可利用 an ? ?

? S1 ? ? Sn ? Sn ?1 ?

? n ? 1? 公式求解) ? n ? 2?

3. 已知数列 ?an ? 满足关系 an ? 4 ? 通项

? 1 ? 4 ? n ? 2 ? , a1 ? 1 求证:数列 ? ? 是等差数列,求 ?an ? an?1 ? an ? 2 ?

但是问题又来了, 假如缺少第一个问, 即没有要求证明 ?an ?1 是是等比数列, 就直接要求解出 an 的 ? 通项的话,那该怎么办?下面的泛等差等比数列将提供了一种很好的解题方法。没有第一个问的提 示, 我们观察关系式找规律; 不会构造函数, 我们让函数自己构造! 上帝可能会关闭了你所有的门, 但是他不会把你的天窗给关死了的,不然人就憋死了。



答案:1. an =

? n ?1? ? 2n?2

2.

Sn ? n ? 2n?1 , an = ? n ?1? ? 2n?2 ,

3.

an ?

2 ?2 n?3

泛等差数列和泛等比数列介绍
先观察以下数列

an ? an?1 ? 1

① ② ③ ④ ⑤

an ? an?1 ? n

an ? an?1 ? 2n an ? an?1 ? n ? 2n an ? an?1 ? n2

先观察①式, an 和 an ?1 的系数相同,是一个等差数列, (因为 an ? an?1 ? 1 (1 为常数),对比式子 ) ①~⑤,式中各项都一样,只是第三项不一样而已,而第三项都是关于 n 的函数式,也就是 g (n) 不 一样而已 于是,我们定义有 对于数列 ?an ? ,如果 an 和 an ?1 的关系式化简后 有形如 an ? an?1 ? g (n) 的关系式的( an 和 an ?1 的系数相同) ,我们称 ?an ? 为泛等差数列⑥ 类似地我们引入泛等比数列 先观察下列数列式子

an ? 2an?1
an ? 2an?1 ? 1 an ? 2an?1 ? n

① ② ③ ④ ⑤

an ? 2an?1 ? 2n an ? 2an?1 ? n2

①~⑤式都可以用 an ? 2an?1 ? g (n) 来表示,尽管它们不全是等比数列(因为 f ( n) 不全为 0) ,但是 在计算通项的时候它们有着相同的运算规律,我们有以下定义 对于数列 ?an ? ,如果 an 和 an ?1 的关系式化简后 有形如 an ? Can?1 ? g (n) 的式子的( C ? 1 ) (如果 C=1,那么 C 就是泛等差数列) , 我们称 ?an ? 为泛等比数列⑦


你不用查资料和翻书,教科书和所有正式的文献都没有泛等差数列这个概念的,这是我自己定义的

题外话
高中的时候读过《罗密欧与朱丽叶》 ,里面有一段对话,大概是这样的,朱丽叶站在楼上的阳台 上,对着楼下的罗密欧说, “罗密欧,罗密欧,为什么你是罗密欧?”罗密欧愣了一下,过一会儿才 缓过神来,对答说, “朱丽叶啊朱丽叶。你是我的朱丽叶! ”看到这一段,我纳闷了一下,怎么说朱 丽叶也是出身贵族,受过高等教育,也不至于问那么低智商的问题。如果换了我是罗密欧的话,我 肯定会对朱丽叶说, 这个问题嘛, “ 你应该去问我老爸, 我咋知道为什么他帮我起的名字角罗密欧啊! ” 显然,罗密欧智商比我高的多,没有直面这个问题,而是回了句问非所答的话,维护了当时的浪漫 的气氛,赢得了美人归。后来我又想了一下,对于罗密欧为什么叫罗密欧这个问题,不应该叫朱丽 叶去问罗密欧老爸,而是去直接问莎士比亚才对。想想。莎士比亚才是创造罗密欧这个角色的人。 更深入地说。罗密欧与朱丽叶的悲剧结局正出于此人之手,而并非欧洲贵族的封建思想。 还是说重点吧,这个故事告诉我们什么呢?那就是很多问题其实没有必要去问的,即使问到原 因了也没有什么意义。记得我高中的时候去请教一个数学高手一道数学难题,刨根问底地问,结果 他被我问倒了,冷冷回了句, “题目就是这样考的,如果你硬要问问什么是这样考得话,我也回答不 上,我就知道题目就考这些,所以我就会做了,而你问那么多有什么用,到头来还不是一样做不出 来。 ”我当时觉得他是说气话,然后转头就走。后来斟酌了一下,才知道他说的是真理啊。我们往往 认为要弄懂整条题目,就必须要从头到尾的将所有为什么解决掉,就所有的问题回答清楚,殊不知, 在处理这些所谓重要的问题的时候,题目的重点部分已经被我们冷冷地忽略掉了。简单地说,我们 问了很多对解题毫无意义的问题!就像问罗密欧为什么是罗密欧一样!因此,将题目的要旨把握住 了,你就真正理解这道题了。那什么是题目的要旨?那就是考试会考哪一些,会怎样考,如何理解 出题者得意图和每个条件的关系。这些东西才是最重要的,也是我们经常忘记去关心的。我语文不 好,尤其是作文,所以啰啰嗦嗦一大段才把一个问题说清楚,悲哉!那又难怪,当年我的中考作文 和小升初的作业可是一摸一样的哦,呵呵。 最后总结一句:总规律,轻原因。



也是我自己定义的

泛等差数列通项的求法
数列的解答题主要以求数列的通项为主,以下是数列通项的求解方法大全

1.为什么要定义泛等差数列和泛等比数列?
在数列的专题复习的时候,我们会遇到很多没有无法命名的但是很常见的数列, 比如 以下数列

an ? an?1 ? 2n
an ? an?1 ? 1 n(n ? 1) 1 n ? n ?1 1 (2n ? 1)(2n ? 1)





an ? an ?1 ?



an ? an ?1 ?



an ? an?1 ? 2n

⑤ ⑥

an ? an?1 ? n ? 2n

在没有定义泛等差数列之前,我们无法将这一类数列归纳起来,尽管它们有着相同的规律(都是可 以通过累加法可以求解的) 。但是现在不一样了,自从我们命名了泛等差数列,就可以将这些数列归 纳总结规律了 在讲解泛等差和等比数列之前,我们现提出一个重要的解题大原则, 那就是:

高考只考等比数列和等差数列
这个貌似很无聊的原则会贯穿整个数列通项的求解

2.泛等差数列通项公式的求法
泛等差数列的通项求解很容易,因为 an ? an?1 ? g (n) 中 an 和 an ?1 的系数相同,所以可以将

an ? an?1 ? g (n) 化成 an ? an?1 ? g (n) ,
?an ? an ?1 ? g (n) ?a ? a ? g (n ? 1) ? n ?1 n ? 2 ? 那么 ?an ? 2 ? an ?3 ? g (n ? 2) , ? ..... ? ?a2 ? a1 ? g (1) ?
只需要将左右两边累加就可以得到, an ? a1 ? g (n) ? g (n ?1) ? ... ? g (1) 在变形就可以得到 an 的通项公式了 an ? g (n) ? g (n ?1) ? ... ? g (1) ? a1

注意事项:
泛等差数列通项求解的关键在于 g (n) ? g (n ? 1) ? ... ? g (1) 的就和, 不是不会做, 而是十分容易出错 例 1 已知数列 ?an ? 满足以下关系式: an ? an?1 ? 2(n ?1) , a1 ? 2 ,求数列 ?an ? 的通项 解:公式变形可得到以下式子

an ? an ?1 = 2n an ?1 ? an?2 = 2(n ?1)
an?2 ? an?3 = 2(n ? 2)
……

① ② ③

a2 ? a1 = 2 ? 2
易错的两步 1.补充项数



an ? an ?1 = 2n , n 与 an 的项数字相同, an ?1 ? an?2 = 2(n ?1) , (n ? 1) 与 an ?1 的项数字相同
③式 an?2 ? an ?3 = ④ a2 ? a1 = 2 累加后判断项数 纵向观察数出项数 应该填写 2 ? (n ? 2) 应该填 2 ? 2

∵④式中 a2 ? a1 的是第 1 条式子,1 与 a1 的项数相同, ∴③式中 an?2 ? an?3 是第 n-3 条式子,因为项数与 an ?3 的相同 ∴①式中 an ? an?1 是第 n-1 条式,项数与 an ?1 的相同,所以有 n-1 条式子,也就是有 n-1 项

所以累加可以得到

an ? 2 ? 2 ? ? 3... ? 2 ? n ? a1 2 ???? ??? ? ?
一共有n-1项,因为有n-1条式子

所以

? 末项 ? (2 ? n) an ? 2 ? ? (n ? 1) +2 ? 2 项数 ? n2 ? n

首项

注释: 为什么计算泛等差数列的时候容易出错,原因在于项数数错和 an ?1 ? an?2 = 2(n ? 1) 中 2(n ? 1) 写错,所以导致累加的时候出错,如果用这种方法来数的话就会极大地避免这种错误 类似地⑧ ②式 an ? an ?1 ?

1 可以用 n(n ? 1) 1 n ? n ?1

an ? an ?1 ?

1 1 1 累加求解 ? ? n(n ? 1) n n ? 1

③式 an ? an ?1 ?

可以用 an?1 ?

( n ? n ? 1) ? n ? n ? 1 累加求解 ( n ? n ? 1)( n ? n ? 1)

④ an ? an ?1 ?

1 1 1 1 1 可以用 an ? an ?1 ? ? ?( ? ) 累加求解 (2n ? 1)(2n ? 1) (2n ? 1)(2n ? 1) 2 2n ? 1 2n ? 1

⑤ an ? an?1 ? 2n 可以用

an ? an?1 ? 2n

等比数列前 n 项和求和公式

?

裂 项 相 加 抵 消

⑥ an ? an?1 ? n ? 2n 可以用 用裂项相加法化简

an ? an?1 ? n ? 2n 错位相减法

Sn ?
?

1 1 1 1 1 ? ? ? ? ... ? 1? 3 2 ? 4 3 ? 5 4 ? 6 n(n ? 2)

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ( ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ... ? ? ? ? ? ) 2 1 3 2 4 3 5 4 6 5 7 n ? 2 n n ?1 n ? 1 n n ? 2 1 1 1 1 先观察前两项,也就是 ? ? ? 没有可以抵消的 1 3 2 4 ? ? 1 1 1 1 1 1 观察前三项, ? ? ? ? ? ,花括号的可以互相抵消 1 3 2 4 3 5 ? ?? ? 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 观察前四项 ? ? ? ? ? ? ? 花括号的可以互相抵消 和 也可以由后面的项来抵消 5 6 1 3 2 4 3 5 4 6 1 1 所以只剩下两项 ? 1 2
……

1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ? 和 都可以和前面的项抵消,因为它 n ? 2 n n ?1 n ? 1 n n ? 2 n ? 2 n ? 1 1 1 1 1 1 ? 们都比 要小, 与 ? 相抵消,所以只剩下 ? n n n n ?1 n ? 2
再看最后三项 ? 也就是 Sn ?

1 ?1 1 1 1 ? 3 1 1 ?? ? ? ? ? ?? ? 2 ? 1 2 n ? 1 n ? 2 ? 4 2(n ? 1) 2(n ? 2)

泛等比数列通项的求法
泛等比数列是高考中最常考的数列,变形之多,计算之复杂,令众多的高三考生咬牙彻齿却又只能 望而生畏。泛等比数列的通用方法是待定系数法,设好关系式是求解通项的关键,不同的数列设法 不同,我们来看看比较常见的几种形式吧。 先看经典形式 形式 1: an ? pan?1 ? q,( p, q为常数) 例 1: an ? 2an?1 ? 3, a1 ? 1 分析: an 和 an ?1 的系数分别是 1 和 2,系数不一样,所以不为泛等差数列,如果用累加法显然是行 不通的(因为 an ? 2an?1 ? 3 累加左边两两抵消不了),根据解题大原则(即高考只考等比数列和等差 数列) an ? 2an?1 ? 3 一定可以化成 an ? C ? 2(an?1 ? C) (C为常数) 的形式,而化简出来的形式就 , 是等比数列了! 解:设 an ? C ? 2(an?1 ? C)C是常数 化简可得 an ? 2an?1 ? C

∵ an ? 2an?1 ? 3
用待定系数法得 C =3

∴ an ? 2an?1 ? 3 可以化简成 an ? 3 ? 2(an?1 ? 3)
令 bn ? an ? 3 ①,

∴ bn ? 2bn?1
即 ?bn ? 是以 b1 ? a1 ? 3 ? 4 为首项, q ?

bn ? 2 的等比数列 bn ?1

bn ? b1 ? qn?1 ? 4 ? 2n?1 ? 2n?1
由①得, an ? bn ? 3 = 2
n?1

? 3, n ? N *

● 注释,有两点值得注意的是

1. 化简变形原理,在 an ? 2an?1 ? 3 中,将 3 分成两个数,一个放式子左边,一个放在式子右边,
即将

an ? 2an?1 ? 3 ?

an ? 2an?1 ? 6 ? 3

? an +3 ? 2an?1 ? 6

? an +3 ? (an?1 ? 3) 2

这个就是我们解决泛等比数列 an ? Can?1 ? g (n) 的思路,将 g (n) 拆分成两部分,一部分放在左边, 一部分放在右边,得出形如 an ? ?? C (an?1 ? ?) 的形式,可以看出, an ? ?? C (an?1 ? ?) 就是一个等

比数列,只要简单地令 bn ? an ?? ,即有 bn ? Cbn?1 ,可将 bn 求解出来,注意,C 就是等比数列等 bn 的公比。

2. 我们要求解通项,但是很遗憾地 an 不能直接求解,所以要先求解 bn ,再利用 an ? bn ? 3 ,就可
以将 an 求解出来,这是间接求解的方法。

提问:根据上面例 1 的注释,泛等比数列都可以变成 an ? ?? C (an?1 ? ?) 进行求解,但是空框里面应 该怎样填写呢,也就是怎样去设的问题,看形式 2 吧 形式 2: an ? pan?1 ? qn,( p, q为常数)

例 2: 已知数列 ?an ? 满足以下关系式: an ? 2an?1 ? 3n , a1 ? 1 ,求数列 ?an ? 的通项 观察式子,∵ g (n) ? 3n ,∴要将 3n 分拆成两部分,再利用待定系数法求解 解法 1: 解:对比例 1,类似地,我们设 an ? Cn ? 2(an?1 ? Cn) C是常数 有 an ? 2an?1 ? Cn

∵ an ? 2an?1 ? 3n ∴ C ? 3 , an ? 3n ? 2(an?1 ? 3n)
令 bn ? an ? 3n ①,

∴ bn ? 2bn?1
即 ?bn ? 是以 b1 ? 5 为首项, q ?

bn ? 2 的等比数列 bn ?1

bn ? b1 ? qn?1 ? 5 ? 2n?1
由①得, an ? bn ? 3n = 5 ? 2
n?1

? 3n, n ? N *



我们不妨检验一下: an ? 5 ? 2n?1 ? 3n 得, a1 ? 2 , a2 ? 4 但是我们根据 an ? 2an?1 ? 3n , a2 ? 2a1 ? 3n ? 2 ? 2 ? 3 ? 2 ? 10 ,与上面式不符

∴②式得出的通项公式是错误的!

为什么是错的? 明明思路对,方法对,正确的方法和思路却得出一个错误的结果? 错就错在致命的一步: 我们在令 bn ? an ? 3n 时

an ? 3n ? 2(an?1 ? 3n) 不能化成 bn ? 2bn?1 !为什么?
∵根据 bn ? an ? 3n ,

bn?1应该化成bn?1 ? an?1 ? 3(n ?1),而不是bn?1 ? an?1 ? 3n !
∴ an ? 3n ? 2(an?1 ? 3n) 不能化成 bn ? 2bn?1
于是我们找到问题的症结,待定系数式子的设法有问题 不能设成 an ? Cn ? 2(an?1 ? Cn) 而应该设成 an ? Cn ? 2?an?1 ? C(n ?1)? ? 我们再分析一下, 要将 g (n) ? 3n 分拆成两部分, 放左边是关于 n 的函数式子, 放右边是关于 n ? 1 的 函数式子,用数学式子表示就是将泛等比数列 an ? Can?1 ? g (n) ⑨ 化简成 an ? f (n) ? C ?an?1 ? f (n ?1)? ,我们继续去求解这道题吧

例 2: 已知数列 ?an ? 满足以下关系式: an ? 2an?1 ? 3n , a1 ? 1 ,求数列 ?an ? 的通项 解法 2: 解:设 an ? Cn ? 2 ??an?1 ? C(n ?1)? 化简得: an ? 2an?1 ? Cn ? 2C

∵ an ? 2an?1 ? 3n

?C ? 3 ∴有 ? ??2C ? 0
可解得 ?

?

?C ? 3 ?C ? 0

?

别崩溃了,继续分析吧,肯定又是设法上出现问题了 少年啊,向着夕阳奔跑吧…………



注意这里的 C 指的是 an ?1 前面的系数,而我们设 an

? Cn ? 2(an?1 ? Cn) 中的 C 是一个常数,两者虽然字母一

样,但是完全没有关系的

先看看正确的解法 例 2: 已知数列 ?an ? 满足以下关系式: an ? 2an?1 ? 3n , a1 ? 1 ,求数列 ?an ? 的通项 解法 3: 解:设 an ? Cn ? D ? 2[an?1 ? C(n ?1) ? D] 化简后有: an ? 2an?1 ? Cn ? 2C ? D

C, D是常数

∵ an ? 2an?1 ? 3n ,
得?

?C ? 3 ?C ? 3 ?? ??2C ? D ? 0 ? D ? 6

∴ an ? 2n ? 6 ? 2[an?1 ? 2(n ?1) ? 6]

令bn ? an ? 3n ? 6,
∴ bn ? 2bn?1
即 ?bn ? 是以 b1 ? 10 为首项, q ?

bn ? 2 的等比数列 bn ?1

∴ bn ? 10 ? 2n?1 ? 5 ? 2n ∴ an ? bn ? 3n ? 6 ? 5 ? 2n ? 3n ? 6
分析 对比一下解法 2 和解法 3, 当我们设成 an ? Cn ? 2 ??an?1 ? C(n ?1)? 时不能求解 设成 an ? Cn ? D ? 2[an?1 ? C (n ? 1) ? D] 就可以求解了 两式不同之处在 an?1 ? C(n ?1) ? D 中的 D 项, 为什么加 D 就能解,不加 D 就不能解? 因为 g (n) ? 3n , 3n 关于以 n 的一次项,在设数的时候就要加上一个常数项⑩! (别问我为什么,记 住就行,我可不是罗密欧) (终于完了)



也就是说,如果我们遇上泛等比数列 an ? 2an?1 ? n2 的时候我们应该怎样设待定系数式?
2 2

应该设成 an ? Cn ? Dn ? E ? 2 ?an?1 ? C ? n ? 1? ? D ? n ? 1? ? E ?

?

?

因为 g (n) ? n 时候,左右式子设中要加有二次项,一次项和常数项!
2

小结 在化简 an ? 2an?1 ? 3 ,设成 an ? C ? 2(an?1 ? C) (C为常数) 即可,因为 3 是一个常数 所以设成 an ? C 即可,而 an ? 2an?1 ? 3n ,就要设成 an ? Cn ? D ,因为 3n 是一个一次项, 而 an ? 2an?1 ? n2 则要设成 an ? Cn2 ? Dn ? E ,有二次项,一次项和常数项

形式 3: an ? pan?1 ? qn ,( p, q为常数) 例 3.已知数列 ?an ? 满足以下关系式: an ? 2an?1 ? 3n , a1 ? 1 ,求数列 ?an ? 的通项 分析:之前的两道例题是 g (n) ? 1 , g (n) ? n ,这里 g (n) ? 3n ,只要将 3 分拆即可,用待定系数
n

法即可 解:设 an ? C ? 3n ? 2[an?1 ? C ? 3n?1 ]

C是常数
2 3
n

化简得 an ? 2an?1 ? 2 ? C3n?1 ? C ? 3n ? 2an ?1 ? ( C ? C ) ? 3 ? 2an ?1 ? C ? 3

1 3

n

∵ an ? 2an?1 ? 3n
1 ∴ ? C ? 1 , C ? ?3 3
即 an ? 3? 3n ? 2[an?1 ? 3? 3n?1 ]

令bn ? an ? 3? 3n , 且易知b1 ? ?8 显然bn是等比数列,bn ? ?8 ? 2n?1 ? (?4) ? 2n an ? (?4) ? 2n ? 3n?1, n ? N *

例 3 另类的方法: 例 3:已知数列 ?an ? 满足以下关系式: an ? 2an?1 ? 3n , a1 ? 1 ,求数列 ?an ? 的通项 解:两边同时除以 3 ,
n

an a? ? 2 nn 1 ? 1 11 n 3 3 an ?1 an ?1 an 2 an ?1 an 2 an ?1 巧妙地变化 n ? ? n ?1 ? 1 ? 为什么要将 2 n 化成 ? n ?1 ,这是因为那就可以将 n 和 n ?1 构 3 3 3 3 3 3 3 3 an 1 造成 bn 和 bn ?1 了 令 bn ? n ,容易得到 b1 ? 3 3 an 2 an ?1 2 ? ? n ?1 ? 1 可以化简成 bn ? bn ?1 ? 1 ? 这不就是例 1 的关系式吗?是不是很亲切呢,呵呵 n 3 3 3 3
得到 我们通过待定系数法即可求出 bn 的关系式 设 bn ? C ?

2 (bn ?1 ? C ) 3 2 (bn ?1 ? 3) 3

用待定系数法可以求出 C ? ?3 , bn ? 3 ? 设 xn ? bn ? 3

∴ xn ?

2 xn ?1 3

8 2 ∴ xn 是以 x1 ? ? 为首项, q ? 的等比数列 3 3 8 2 n ?1 2 n xn ? ? ? ( ) ? (?4) ? ( ) 3 3 3 2 bn ? xn ? 3 ? (?4) ? ( ) n ? 3 3 n an ? 3 ? bn ? (?4) ? 2n ? 3n?1, n ? N *
备注:用除法的常见题型有12

? ?(n ? 1)an ? 2nan ?1 ? n 2 ? n ? a 2an ?1 ? 1 ? bn ? 2bn ?1 ? 1 ① ?或(n ? 1)an ? 2nan ?1 ? n(n ? 1) ? n ? n n ?1 ? 2nan ?1 ?或an ? ?n n ?1 ?


an 2a 1 ? n?1 ? ? nan ? 2(n ? 1)an ?1 ? 1 ? bn ? 2bn ?1 ? 1 n ?1 n n(n ? 1)
n

③ (n ? 1)an ? 2nan ?1 ? n(n ? 1) ? 3 ?

an a 2 2 ? ? n?1 n?1 ? 1 ? bn ? bn ?1 ? 1 (这个复杂) n n3 3 3 ? (n ? 1) 3

11

如果 an

? 2an?1 ? 3n ?1 呢?那就只能用待定系数法了,除法不适用,只要将 3n 和 ?1 分拆成两部分即可,即关
n

系式设成 3
12

an ? C ? 3n ? D ? 2[an?1 ? C ? 3n?1 ? D]

不要盲目去死记,只要捉住规律和方向就好,将关系式子化简成我们常见的泛等比数列关系式即可

形式 4: an ?

Aan?1 ,( A, C, D为常数) 13 Can?1 ? D an?1 , , a1 ? 1 ,求数列 ?an ? 的通项 2an?1 ? 2

例 4.已知数列 ?an ? 满足以下关系式: an ?

分析:此题不是传统的泛等差数列,an ? Can?1 ? g (n) ,但是左边的是 an 的式子,右边的是纯 an ?1 的函数式,和 an ? Can?1 ? g (n) 特点相类似,而右边的分子和分母都是关于 an ?1 的一次函数式,如 果两边取倒数,可以得到我们常见的关系式。 解:两边取倒数可得到

1 2an?1 ? 2 2an?1 2 2 2 ? ? ? ? 2? ? ?2 an an?1 an?1 an?1 an?1 an?1
设 bn ?



1 ,可将①式化简成 bn ? 2bn?1 ? 2 an



显然②式就是泛等比数列,容易得到 b1 ? 1 设 bn ? C ? 2(bn?1 ? C ) 用待定系数法解得 C ? 2

令xn ? bn ? 2
∴ xn 是以 x1 ? b1 ? 2 ? ?1 , q ? 2 的等比数列

xn ? ?1? 2n?1
bn ? xn ? 2 ? ?1? 2n?1 ? 2
an ? 1 1 ? , n ? N* bn ?1? 2n?1 ? 2

13

如果你遇到 an

?

Aan?1 Aan?1 ? B 的加强版 an ? ,那你就麻烦了,因为这不是仅仅倒数就可以将通项求 Can?1 ? D Can?1 ? D

解出来,需要转化很多步,但是庆幸的是,这种形式高考是不会考的(因为太复杂了) ,所以在复习的时候这种形式 可以简单地忽略掉

如何处理三项的关系 形式 5: an ? Aan?1 ? Ban?2 ( A, B为常数) 例 5.已知数列 ?an ? 满足以下关系式: an ? an?1 ? 2an?2 , a1 ? 1 , a2 ? 3 ,求数列 ?an ? 的通项 分析: 泛等比数列 an ? Can?1 ? g (n) 展示的是 an 和 an ?1 的关系式, 而题目的条件 an ? an?1 ? 2an?2 则 是展示 an , an ?1 和 an?2 三项的关系式子, an ?1 作为中间项。有没有办法将 an ? an?1 ? 2an?2 和

an ? Can?1 ? g (n) 联系起来呢?能不能这样想,如果将 an ?1 拆分成两项,一项放左边,一项放右边,
然后得到式子 an ? Can?1 ? ? A ? C ? an?1 ? Ban?2 ,① 然后我们设 bn ? an ? Can?1 , 如果①式就能化简成 bn ? ? A ? C ? bn?1 14就是我们所熟悉饭等比数列了。 解: an ? an?1 ? 2an?2 可以化简得

an ? Can?1 ? ?1? C ? an?1 ? 2an?2

?

将 an ?1 分拆成两部分,一部分放左边,一部分放右边

设 an ? Can?1 ? ?1 ? C ? (an?1 ? Can?2 ) (注释:因为必然满足泛等比数列,所以公比为 ?1 ? C ? ,而左右两边的式子形式要保持一致,左边 是 an ? Can?1 ,所以右边必然是 (an?1 ? Can?2 ) ) ,化简得到 an ? an?1 ? ?1 ? C ? ? Can?2 由待定系数法可以得到, ?1 ? C ? ? C ? 2 ,可以解得 ?

?C1 ? ?2 ?C 2 ? 1

1.当 C1 ? ?2 时, an ? an?1 ? 2an?2 可以化简得 an ? 2an?1 ? ?(an?1 ? 2an?2 ) ② 令 bn ?an ? 2an?1 , b2 ?a2 ? 2a1 ? 1 , ② 式 可 以 化 简 为 bn ? ?bn?1 , 此 处 省 略 很 多 字 ) 求 得 ( ,

an ? 2an ?1 ? ? ?1?

n ? 2 15

,泛等比数列的求解 ③令 bn ?an ? 2an?1 , b2 ?a2 ? 2a1 ? 7 ,

2..同理当 C1 ? 1 时,可以化简得 an ? an?1 ? 2(an?1 ? an?2 )

③式可以化简为 bn ? 2bn?1 , (此处继续省略很多字) an ? 2an?1 ? 7 ? 2n?2 ,泛等比数列的求解 , 如果你对数列的三项关系式子感兴趣的话,可以看一下题注中的三项关系加强版的16

14

根据大原则,①式一定可以化简成 bn

? ? A ? C ? bn?1 关系式,要不然就与考点挂不上边了
? an ?1 ? ? ?1?
n?2

15

考虑到题目的难度,考试中这种式子一般不会出现,以 an

泛等差数列的形式出现居多,用累

加法即可将数列通项求解, 所以我没有算下去, 有兴趣可以算一下数列 项
16

?an ? 2an ? an?1 ? an?2 , a1 ? 1, a2 ? 2, 通
,设

如果遇到 an

? an?1 ? 2an?2 ? 1呢,我们就需要对中间项 an ?1 和 1 同时进行拆项, an ?1 可以拆成两项,而 1 则

可以拆成两系数相加,具体如下,化简可得 an

? Can?1 ? ?1 ? C ? an?1 ? 2an?2 ?1

形式 6: (an )k ? an?1 , (k为常数) (这种类型不太常见) 例 6.已知数列 ?an ? 满足以下关系式: (an )2 ? an?1 , a1 ? 2, an ? 0 ,求数列 ?an ? 的通项 分析:初看这道题目,根本无从下手!因为 an 的指数为 k,我们无法将 (an )k 化简成我们常见的泛等 比数列,如果我们找到一个工具或者运算法则,可以将 (an )k 化成一次的话,这个问题就很好地解决 了,于是我们想到了对数公式 lg a k ? k lg a (不要乱问为什么) ,那么我们就可以将指数为 k 的问题 解决了 解:∵ (an )2 ? an?1 , a1 ? 2, an ? 0 两边取对数,有

lg(an )2 ? lg an?1 , ( an ? 0 是有用的,因为 an?1 ? 0 才能使 lg an?1 有意义)
根据对数性质,有

2lg an ? lg an?1 ,①
令 bn ? lg an ,①可以化简为 2bn ? bn?1

b1 ? lg 2 ,
∴ ?bn ? 是以 b1 ? lg 2 为首项, q ?
1 ∴ lg an ? bn ? lg 2 ? ( ) n ?1 2
化简可得 an ? 10
1 lg 2?( )n?1 2

bn 1 ? 的等比数列 bn ?1 2

?2

1 ( )n?1 2

, n ? N*

an ? Can?1 ? D ? ?1? C ? (an?1 ? Can?2 ? D) ,用待定系数法即可将 C 和 D 进行求解

正确处理 an 与 Sn 的关系
前言:高考的数列大题中经常会出现诸如 an ?1 ?

n?2 S n 这种关于 an 与 Sn 的关系式,解决这类问题 n

的关键在于将 an 转化成 Sn ,或者将 Sn 转化成 an ,等式两边统一形式 3. 有人会问,处理 an 与 Sn 的关系式不是很简单的吗,直接应用公式 an ? Sn ? Sn?1 就可以解决一 切问题了,那需要一个列出专题来讲吗?当然有必要了,在下面的例题讲解中,你会发现,对 于不同的题型,将 an 转化成 Sn ,和将 Sn 转化成 an ,两种方法尽管都能算出结果,但是它们的 运算量会相差很大的,好的方法只需要花几分钟就能顺利解答,不好的方法却要让你花上半小 时还算不出来。所以在做试题(尤其是广东卷这种令人捉摸不定的试题)的时候,学会分析题 目选择一种好的方法比你做上 n 道题目的效果还要好。

传统题型,已知 Sn ,求 an 例 1:已知数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn ? n2 ? n ,求 an 的通项公式 分析,这道题目很简单,因为很传统。直接利用 an ? ?

? S1 ? ? Sn ? Sn ?1 ?

? n ? 1? ①就可以求解,但是要注 ? n ? 2?

意的是①式的条件是 an ? Sn ? Sn?1 ,也就是只能计算 a2 以上的通项的,要分情况讨论 解: 当 n ? 1 时, a1 ? S1 ? 2 当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn?1 ? n2 ? n ? (n ?1)2 ? (n ?1) ? 2n , 当 n ? 1 时,代入 an ? 2n 符合情况 所以 an ? 2n, n ? N 17

17

如果 Sn

?3 ? n2 ? n ? 1 , a1 ? S1 ? 3 ,就不符合 an ? 2n 的关系式了,∴要写成 an ? ? ? 2n

n ?1 n?2

例 2 已知数列 {a n } 满足 a n ? ? a n ?1 ? 1(a n ? ?1, n ? 2) 且 a1 ? ?1 ,求数列 {a n } 的通项公式18
2

先看解法
2 解:两边取平方,得到 an 2 ? an?1 ? 1 2 于是有 an 2 ? an?1 ? 1 ①(这显然是等差数列的关系)

设 bn ? an 2 ,①式可以化简成 bn ? bn?1 ? 1

∴ ?bn ? 是以 b1 ? 1 为首项, d ? 1 的等差数列

bn ? b1 ? (n ?1) ? d ? n
∴ an2 ? n ? an = ? n (∵ an ? ?1 )
综述: 1.显然根据 a n ? ? a n ?1 ? 1 直接求出 an 的通项是无法求解的, 但是我们这样想, 不求 an 通项而去求
2

an 2 的通项,实质是为了求 an 的通项,.这种解法的思想和求 an ?1 ? 2(an?1 ?1) 是一样的,我们先令
bn ? an ?1 ,不直接求 an 通项而先求出 bn 通项,再反过来求 an 通项。
2.这种思想是正确理解 an 与 Sn 的关系的关键之处,因为很多题目直接求 an 很难,但是求 Sn 却很容 易,这时先求 Sn 再反过来求 an 是最明智之选。简单一句就是,求出 Sn 就能求出 an ,求出 an 就能求 出 Sn 。

对比将 an 转化成 Sn ,和将 Sn 转化成 an 两种方法的效率 例 3:已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,已知 a1 ? 1 , an?1 ? Sn ? 3n , n ? N ,求 an 的通项公式 解法一( Sn 转化成 an , Sn ? Sn?1 ? an ) :

? an ?1 ? S n ? 3n ? 用? 相减 n ?1 ? an ? S n ?1 ? 3 ?
2 an ?1 ? an ? an ? 3n ? 3n ?1 ? an ?1 ? 2an ? ? 3n 3 2 n (显然,这个是泛等比数列, g (n) ? ? 3 ) 3
18

这道题尽管和 Sn 没关系,但是我也刻意将它放在这里了,先声明,我并没有忽悠你的意思,只是这道题体现了一

个做题的思想,对我们理解 an 与 Sn 的关系很有帮助

两边同时除以 3

n?1

,化简得

an ?1 2 an 2 ? ? ? 3n ?1 3 3n 9 an 1 令 bn ? n ,容易得到 b1 ? 3 3 an ?1 2 an 2 2 2 ? ? n ? 可以化简成 bn ? bn ?1 ? n ?1 3 3 3 9 3 9
我们通过待定系数法即可求出 bn 的关系式 设 bn ? C ?

2 (bn ?1 ? C ) 3 2 2 2 2 , bn ? ? (bn ?1 ? ) 3 3 3 3

用待定系数法可以求出 C ? ? 设 xn ? bn ?

2 3

∴ xn ?

2 xn ?1 3

1 2 ∴ xn 是以 x1 ? ? 为首项, q ? 的等比数列 3 3 1 2 1 2 xn ? ? ? ( ) n ?1 ? ? ? ( ) n 3 3 2 3 2 1 2 2 bn ? xn ? ? ? ? ( ) n ? 3 2 3 3

2? ?1 2 an ? 3n ? bn ? 3n ? ? ? ( )n ? ? ? ?2n ?1 ? 2 ? 3n ?1 , n ? N * 3? ?2 3
解法二( an 转化成 Sn , an ? Sn ? Sn?1 ) 例 3:已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,已知 a1 ? 1 , an?1 ? Sn ? 3n , n ? N ,求 an 的通项公式 解:∵ an?1 ? Sn?1 ? Sn

∴ an?1 ? Sn ? 3n 可以化简为 Sn?1 ? Sn ? Sn ? 3n ,即 Sn?1 ? 2Sn ? 3n (泛等比数列)
此处省略很多字,可求出 Sn ? (?4) ? 2n ? 3n?1 当 n ? 1 时, a1 ? S1 ? 1 当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn?1 ? ?2 所以 an ? 2n, n ? N
n?1

? 2 ? 3n?1 19,当 n ? 1 时,代入 an ? ?2n?1 ? 2 ? 3n?1 20符合情况,

19 20

n ? 2 时,可以根据 an?1 ? Sn ? 3n 得出 an ? Sn?1 ? 3n ,可以得到 an ? ?2n?1 ? 2 ? 3n?1
所以 Sn 转化成 an 和 an 转化成 Sn 去化简一样,但是从效率来讲的话,解法二简便点,但是不明显

如果遇到下面类型的关系式,就只能先求出 Sn 了 例 4:已知点 (1, ) 是函数 f ( x) ? a x (a ? 0, 且a ? 1) 的图像上一点。等比数列 ?an ? 的前 n 项 和为 f (n) ? c 数列 ?bn ? (bn ? 0) 的首项为 c,且前 n 项和 s n 满足 S n ? S n?1 ? 求数列 ?an ? 和 ?bn ? 的通项公式; 分析:这道题目是 09 年广东高考题,我们组个条件分析一下 已知点 (1, ) 是函数 f ( x) ? a x (a ? 0, 且a ? 1) 的图像上一点,可以根据这个条件求出 a 的值, 再根据 ?an ? 的前 n 项和为 f (n) ? c 和等比数列将 an 求解出来 解:∵ 点 (1, ) 是函数 f ( x) ? a x (a ? 0, 且a ? 1) 的图像上一点,

1 3

S n ? S n?1 (n ? 2) ,

1 3

1 3

1 ?1? ∴ f (1) ? a ? , 即 f ( x) ? ? ? 3 ? 3?

x

?1? 设等比数列 ?an ? 的前 n 项和为 An ,依题意,得 An = f (n) ? c = ? ? ? c , ? 3? 1 所以,当 n=1 时, a1 ? ? c , 3

n

2?1? ?1? ?1? 当 n≥2 时, an ? An ? An?1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? , 3 ? 3? ? 3? ? 3? 1?1 1 2?1? 由数列 ?an ? 为等比数列,可知 a1 ? ? c = ? ? ? ,解得 c=1, 3 3 ? 3?
2?1? 所以数列 ?an ? 的通项公式为 an ? ? ? ? 3? 3? 数列 ?bn ? (bn ? 0) 的首项为 b1 ? c ? 1 ,
n ?1

n

n ?1

n ?1

?1? ? ?2 ? ? ? 3?

n

n? N* 。

接下来我们分析一下 bn 的求法

bn 的前 n 项和 s n 满足 Sn ? Sn?1 ? Sn ? Sn?1
如果我们下意识地用 an ? Sn ? Sn?1 进行化简可以得到什么呢?

Sn ? Sn?1 ? Sn ? Sn?1
∴ an ? Sn ? Sn?1


很明显化简不出来,怎么办?再弄一条

an?1 ? Sn?1 ? Sn?2
①-②得到, an ? an?1 ?



Sn ? Sn ? 2

(于是,没有下文了……做不下去了吧)

bn 通 项 的 求 法 : S n ? S n?1 ? S n ? S n?1 (n ? 2)

与 关 系 式 an?1 ? Sn ? 3n 不 一 样 ,

an?1 ? Sn ? 3n 是通项 an 和 Sn 的关系式,而 S n ? S n?1 ? S n ? S n?1 (n ? 2) 是纯 Sn 的关系式,所
以我们可以直接将 Sn 的通项式求解出来,再根据 an ? Sn ? Sn?1 求出 an 的表达式

解法如下:
数列 ?bn ? (bn ? 0) 的首项为 b1 ? c ? 1 , 前 n 项和 s n 满足 S n ? S n?1 ? 整理,得 ( S n ?

S n ? S n?1 (n ? 2) 。

S n?1 )( S n ? S n?1 ? 1) ? 0 S n?1 ? 0 , S n ? S n?1 ? 1 ? 0

由 bn ? 0 可知 S n ? 0 ,所以 S n ? 所以

S n ? S n?1 ? 1 ,21

又 S1 ? b1 ? 1 ,即 S1 ? 1

∴数列 { S n } 是首项为 1,公差为 1 的等差数列, S n ? 1 ? (n ? 1) ? 1 ? n ∴ Sn ? n2 当 n≥2 时, bn ? S n ? S n?1 ? n 2 ? ?n ? 1? ? 2n ? 1,
2

又当 n=1 时,2n-1=1= b1 ,符合以上公式, 所以,数列 ?bn ? 的通项公式为 bn ? 2n ? 1( n ? N )。
*

评析:
永远要记住:求 Sn 和求 an 是一样的! 不要以为 Sn ? Sn?1 ? an 是一条万金油公式,将 Sn 化成 an 有时不是明智之举

21

Sn 直接求无法求出来,可以先求出 S n

的通项公式,平方后就能求出 Sn 的通项公式

n 例 5: 已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn , 已知 a1 ? 1 , 2 ? 6 , n ? 4Sn?1 ? 4Sn?2 ? 2n (n ? 3) , ? N , a S
求 an 的通项公式 分析: Sn ? 4Sn?1 ? 4Sn?2 ? 2n 是纯 Sn 的关系式,显然先求出 Sn 的通项再求出 an 通项即可, 这道题是三项之间的关系,可以将中间项 Sn ?1 分拆化简得 Sn ? CSn?1 ? (4 ? C)Sn?1 ? 4Sn?2 ? 2n ① 显然,可以讲①式设成 Sn ? CSn?1 ? (4 ? C)(Sn?1 ? CSn?2 ) ? 2n ,设 bn ? Sn ? CSn?1 ,成泛等比数列 解:设 Sn ? CSn?1 ? (4 ? C)(Sn?1 ? CSn?2 ) ? 2n , ∵ Sn ? 4Sn?1 ? 4Sn?2 ? 2n

∴有待定系数法可以得到
(4 ? C )C ? ?4

∴可解得 C ? ?2 ∴将 C ? ?2 代入 Sn ? CSn?1 ? (4 ? C)Sn?1 ? 4Sn?2 ? 2n 中化简可得

Sn ? 2Sn?1 ? 2(Sn?1 ? 2Sn?2 ) ? 2n
设 bn ? Sn ? 2Sn?1 ②

②式可化简成 bn ? 2bn?1 ? 2n ③(泛等比数列)

∴ b2 ? S2 ? 2S1 ? 5 ( b1 无法求出,因为②式的前提条件是 n ? 2 )
两边同时除以 2 ③式可以化成
n

bn bn ?1 ? ?1 2 n 2 n ?1 b b 5 设 xn ? n , x2 ? 2 ? n 2 2 2 4
④式可以化简成 xn ? xn?1 ? 1 (泛等差数列) 用累加法 xn ? xn?1 ? 1

? xn ? xn ?1 ? 1 ?x ? x ? 1 ? n ?1 n ? 2 ? ?...... ? x3 ? x2 ? 1 ?
左右两边相加得到: xn ? x2 ? n ? 2 ? 以下省略很多字,答案略 一共有 n-2 项


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