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公开课--正弦、余弦函数的定义教学设计


1.4.1《任意角的正弦函数、余弦函数的定义》教学设计
任课老师:李保英 教材:北师大版高一数学必修四第一章第四节第一小节 一、教学目标 1.知识与技能目标 (1)了解任意角的正弦函数、余弦函数定义产生的背景和应用; (2)掌握任意角的正弦函数与余弦函数的定义,正确理解三角函 数是以实数为自变量的函数,并能应用. 2.过程与方法目标 (1) 通过参与知识的“发现”与“形成”的过程, 培养合理猜测的能力, 体会函数模型思想,数形结合思想. (2)培养观察、分析、探索、归纳、类比及解决问题的能力. 3.情感、态度、价值观目标 在学习中感悟数学概念的合理性、严谨性、科学性.感悟数学的本 质,培养追求真理的精神.通过本节的学习,使同学们对正弦函数与余 弦函数有了一个全新的认识,通过对定义的应用,提高学生分析、解决 问题的能力. 二、教学重难点 教学重点: 任意角的正弦函数与余弦函数的定义(包括定义域和函数值在各象 限的符号)及其应用。 教学难点: 1.任意角的正弦函数与余弦函数的定义及其构建过程的理解. 2.特殊角的正弦、余弦函数的计算。 三、教学方法与教学手段 问题讨论与类比、合作探究、讲练结合及多媒体课件演示的方法

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四、教学过程
教学内容
(一) 回顾旧知, 问题引入 (2 分钟)

教师活动
问 1:初中我们学过锐角三角形的正弦与 余弦函数, 同学们还记得它是怎样表示的 吗?你还记得 30°45°、 60°的正弦、 余 弦值是多少吗?

学生活动
学生回答: sin?=对边/斜边,cos?=邻边/斜 边;sin30°=cos60°=1/2; cos30°=sin60°= sin45°=cos45°=

设计 意图
温 故 而 知新

问 2:我们在前面已学过的任意角,那么 任意角的正弦、 余弦函数又该如何定义和 求解呢? (提示:把角引用到直角坐标系中探究) 【师】?为任意角(包括正角、负角和零 角) ,前一节我们已学过,显然利用初中 正弦函数与余弦函数的定义已经不能满 足需求,因此,我们必须重新定义正弦、 余弦函数. 今天, 我们将在直角坐标系中, 对此作深入探讨 [课堂探究] 如图,在直角坐标系中,我们 作出一个以原点为圆心,以单位长度为半 径的圆,该圆称为单位圆.设锐角为α , 始边与 x 轴正半轴重合,终边与单位圆交 于点 P(u,v)。

学生思考 跟着教师思维走进新课堂

(二) 新知探究 ----— 正弦、 余弦 函数的准 确定义及 性 质 ( 20 分钟)

讨论:在单位圆中,任意角的 sin α 与 cos α 函 数值 又是 什 么? (构建三角形, 可直接用锐 角三角形的正弦、余弦公式求 解) 得出结果:
sin ? ? MP ? v, OP OM cos ? ? ?u OP

启 发 学 生 学 会 在 坐 标 轴 上 构 建 三 角 形,利用 学 过 的 三 角 函 数 套 入 公式 (已 知 |op|=1) , 得 出 任 意 角 的 正弦、余 弦 函 数 定义

问 3:任意角有不同的象限角,那么,其 他象限角的正弦、 余弦函数是否也得到这 样的结果?

继续构建三角形, 用学过的知识 进一步求证

培 养 学 生 独 立 思考、多 角 度 考 虑 问 题 的能力

得出任意角的正弦 问 4: 大家得出其他象限里任意角的正弦、 【学生归纳】 函数、余弦函数定义: 余弦是否与第一象限一致呢? 点 P 的纵坐标 V 定义为角? (提示:讨论的前提条件都是在单位圆 的正弦函数,记作 v=sin?;点 P 内) 的横坐标 u 定义为角?的余弦函 数,记作 u=cos?。 问 5:由图可知,对于给定的角?,点 P 的横、纵坐标都是唯一确定的,那么,正 弦、余弦函数又是一个什么量呢? 学生思考,可能得出结论: 正弦、 余弦函数都是以角为自变 量, 以单位圆上点的坐标为函数 值的函数。

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问 6:如果我们用 x 表示自变量(即 x 表 示任意角大小) ,用 y 表示函数值,则得 到任意角的正弦函数又如何表达呢? 问 7:我们学过函数的定义域和值域,那 么在上述定义中,任意角的正、余弦函数 的定义域与值域分别是什么呢?

学生思考并作回答:正弦为 y=sinx;余弦为 y?cosx; (是一个 y 关于 x 为自变量的函数) 结合单位圆图形分析得出: x 表示任意角的大小, 所以定义 域为:全体实数 R; 而在单位圆中显然 y∈[1,1],故 值域为:[1,1] 学生自由探讨 培 养 学 生 学 会 从 特 殊 现 象 里 找 出 普 遍现象。 算出:op= 利用相似三角形性质得出:

问 8:在单位圆里,任意角的正、余弦函 数定义域是如此,那如果终边上一点 P (u,v)不在单位圆上时(即在圆外),它 的三角函数定义域及值域还成立吗? (二) 新知探究 ----— 正弦、 余弦 函数的准 确定义 (15 分钟) 引导学生根据所学相似三角形性质得 出结论:三角函数的值与点 P(x,y)在终边 上的与位置无关,所以定义域成立。

sin ? =y/ cos? =x/
发现: 三角函数的值与点 P(x,y) 在终边上的与位置无关, 只与坐 标比值、角度有关。 问 9:对于任意角α (正角、负角)的三 角函数定义都成立,那么对于零角,它是 否还成立呢? 学生动手,简单证明 (结论依然成立)

得出结论: 正余弦函数是以角度 学生齐读正弦、余弦函数的 让 学 生 通 过 读 为自变量,以单位圆上点的坐标或坐 定义,进一步理解函数的定义。 书 加 深 标的比值为函数值的函数。 又因为角 对 定 义 的集合与实数集之间可以建立一一 的理解 对应关系, 故它们也可以看成以实数 为自变量的函数. 当角?的终边分别在第一、第二、 学生思考,填写课本 15 页表格 体 现 出 坐 标 轴 第三、第四象限时,角?弦函数值、
(三) 问题探究 ----讨论函 数在每一 象限上的 取值(8 分 钟)

余弦函数值的有正负之分吗? (完成课本 P15 页表格) 引导学生根据坐标轴取值进行讨论
得出结论:有符号之分 (采用记忆法: “一正正,二正 负,三负负,四负正”. ) 课堂练习—巩固提升 1.判断下列各式的符号: (1)sin105°.cos230°;
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与 函 数 的关系 加 强 学 生 对 函 数 性 质 的记忆 学生思考练习

(2)cos3.tan(-2/3 π ); 例 2--在直角坐标系的单位圆中,????/4, 学生自主学习 (1)画出角?; ( 2 )求出角 ?的终边与单位圆的交点坐 标; 分析:把弧度制化为角度制,再按顺时针 画角度。利用三角形正弦、余弦函数的定 义求出坐标。 学生思考并计算 学 以 致 用,巩固 新知

(四) 、 新知应用 变式训练 1—正余函数的应用 3 (12 分钟) 1.已知角α 终边上一点 P ( ? , 2), 求 2 角α 的正弦函数值、余弦函数值 教师演示计算过程与结果

通 过 变 式 提 升 学 生 多 角 度 思 考、解决 问 题 能 力

变式训练 2--2.已知角α 的终边过点 P(12,a)且 tan α =5/12,求 sina +cos a 的值; 教师小结 --- 利用三角函数的定义求值的 策略 (五) 问 10: 我们知道, 在直角坐标系的单位圆 拓 展 延 伸 中,有各种特殊角,请问你能求出各种特 (5 分钟) 殊角的正弦、余弦函数吗?同时,你会发 现这些特殊角的函数值会有什么规律? 学生学习 学生填写课本 16 页的表格,观 察各种特殊角的坐标, 引出周期 函数的探究与学习。

抛问题, 让 学 生 学 会 发 现 与 归 纳问题

(六) 这节课你学到了什么? 提示: 课 堂 小 结 ① 正弦、余弦函数定义与初中时的定义 (3 分钟) 有何异同? ② 正弦函数与余弦函数是如何定义的? 在应用时应注意什么? ③你能准确判断三角函数值在各象限内 的符号吗?

学生总结

培 养 学 生 良 好 的 学 习 习惯

五、教学反思

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