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高中数学北师大版选修1-1课件:第3章 §2 2.1 2.2 导数的概念 导数的几何意义


§2 导数的概念及其几何意义 2.1 导数的概念 2.2 导数的几何意义 一、导数的概念 设函数y=f(x),当自变量x从x0 变到x1 时: (1)平均变化率: ?y ? ____________ x1 ? x 0 ?x ? _________________. (2)瞬时变化率:Δ x趋于0时, ?y 趋于一个_________. 固定的值 ?x ?x f ? x1

? ? f ? x 0 ? f ? x 0 ? ?x ? ? f ? x 0 ? (3)导数:函数y=f(x)在x0点的___________. 瞬时变化率 lim lim 记作 f ?(x ) ? ________________ x ?x ? x ?0 x1 ? x 0 ?x ? _____________________. 0 1 0 f ? x1 ? ? f ? x 0 ? f ? x 0 ? ?x ? ? f ? x 0 ? 思考 : 函数在某点的瞬时变化率与函数在该点的导数有什么 关系? 提示:函数在某点的导数即为函数在该点的瞬时变化率,就 是在该点基础上的函数值的改变量与自变量的改变量比值的 极限,它是一个数值. 二、导数的几何意义 1.割线的定义:过A(x0,f(x0))和B(x0+Δ x,f(x0+Δ x))两点的 ?y 直线是曲线y=f(x)在A点处的一条割线,其斜率为____. ?x 2.切线的定义:当Δ x趋于零时,点B将沿着曲线y=f(x)趋于 点A,割线AB将绕点A转动最后趋于_____ 直线l ,直线l和曲线y=f(x) 在点A处_____ 相切 ,称直线l为曲线y=f(x)在点A处的切线. 3.几何意义:函数y=f(x)在x0处的导数,是曲线y=f(x)在点 (x0,f(x0))处的切线的_____. 斜率 判断:(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)若函数f(x)在x0处可导,则必存在切线;若函数f(x)在x0 处不可导,则一定不存在切线.( ) ) (2)可以利用导数求过圆上某点的切线方程.( (3)直线与曲线相切则直线与已知曲线只有一个公共点. ( ) 提示:(1)错误.若函数f(x)在x0处不可导,也可能存在切 线,即切线垂直于x轴. (2)错误.只有曲线方程可表示成函数解析式时才能利用导 数求切线方程. (3)错误.这条切线可能与已知曲线还有其他交点或切点. 答案:(1)× (2)× (3)× 【知识点拨】 1.对导数定义的理解 (1)定义中强调当x1趋于x0,即Δx趋于0时,如果平均变化 率趋于一个固定的值,那么这个值称为当x1趋于x0时,平均 变化率的极限,即 lim ?y 存在并且唯一确定,此时我们说 ?x ?0 ?x f(x)在x=x0处可导;若当Δx趋于0时,平均变化率不趋于一 个固定的值(即该值不唯一确定或不存在),则此时我们说 ?y 不存在,那么f(x)在x=x0处不可导. ?x ?0 ?x lim ( 2 )Δx是自变量 x 在 x0处的改变量,Δx≠0 ,而Δy是函数 值的改变量,可以是零. ( 3 )函数 y=f(x) 在 x0 处的导数刻画的是函数自变量 x 在 x0 附 近区域的变化取值,当x趋于x0时相应函数值的变化情况. 2.关于切线的理解 (1)与曲线只有一个公共点,直线不一定是曲线的切线. (2) 曲线的切线是由割线绕一点转动,当一点无限接近另一 点时割线趋于的直线. (3) 切线只是一个局部概念,是该点处的割线的极限情况, 在其他

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