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5与圆有关的比例线段


1 [普通高中课程数学选修4-1] 第二讲 直线与圆的位置关系

2 [普通高中课程数学选修4-1] 第二讲 直线与圆的位置关系

探究1:AB是直径,CD⊥AB交点P.线段 PA,PB,PC,PD之间有何关系?

PA· PB=PC· PD
1.相交弦定理 圆内的两条相交弦,被交点分成 的两条线段长的积相等


D A A P O B C D D

P

B O

P

B

A

O
C

C

3 [普通高中课程数学选修4-1] 第二讲 直线与圆的位置关系

探究2:把两条相交弦的交点P从圆内 运动到圆上.再到圆外, PB=PC· PD 是否还能成立? 结论 PA·
D C P A(C.P) A B P A B C D

4 [普通高中课程数学选修4-1] 第二讲 直线与圆的位置关系

2.割线定理 从圆外一点引圆的两条割 线,这一点到每条割线与圆的交点的两 条线段长的积相等. PA· PB=PC· PD D
D
C C O O P P A B A(B)

探究3:使割线PB绕P点运动到切线的 位置,是否还能成立?

5 [普通高中课程数学选修4-1] 第二讲 直线与圆的位置关系

连接AC,AD易证△PAC∽△PDA 故PA· PB=PC· PD仍成立

D

因为A,B重合,
上式可变形为
P

C O

PA? =PC· PD 3.切割线定理 从圆外一点引圆的切 线和割线,切线长是这点到割线与圆 交点的两条线段长的比例中项.

A(B)

6 [普通高中课程数学选修4-1] 第二讲 直线与圆的位置关系

探究4:使割线PD绕P点运动到切线的 位置,可以得出什么结论 ? C(D) D
C O P A(B) P A(B) O

PA? =PC· PD

易证Rt△OAP≌Rt△OCP.

PA=PC

4.切线长定理 从圆外一点引圆的两 条切线,它们的切线长相等,圆心和 这一点的连线平分两条切线的夹角.

7 [普通高中课程数学选修4-1] 第二讲 直线与圆的位置关系

思考:1.由切割线定理能证明切线长定 理吗? 如图由P向圆任作一条割线EF试试.
C(D) F

O P E

A(B)

8 [普通高中课程数学选修4-1] 第二讲 直线与圆的位置关系

例1.圆内的两条弦AB,CD交于圆内一 1 点P,已知PA=PB=4.PC= PD,求CD的 4 4 1 长 . 解:设CD=x,则PD= 5 x ,PC= 5 x A 由相交弦定理,得
PA?PB=PC?PD

D
4 x 5

∴4×4= ? 求得 x=10, ∴CD=10

1 x 5

P

C
B

9 [普通高中课程数学选修4-1] 第二讲 直线与圆的位置关系

例2.E是圆内的两条弦AB,CD的交点,直线 EF//CB,交AD的延长线于F,FG切圆于G. C 求证:(1)△DFE∽△EFA; (2)EF=FG 3 △DFE∽△EFA EF FD O ? E B FA EF

EF?=FA?FD 又GF?=FA?FD GF? = EF? EF=FG

1

2

A G

D
F

10 [普通高中课程数学选修4-1] 第二讲 直线与圆的位置关系

例3.如图,两圆相交于A,B两点,P是 两圆公共弦AB上的任一点,从P引两 圆的切线PC,PD. C 求证:PC=PD P
解析:PC?=PA?PB 又PD?=PA?PB PC? = PD? PC=PD
B
A

D

11 [普通高中课程数学选修4-1] 第二讲 直线与圆的位置关系

例4.如图,AB是⊙O的直径,过A,B引 两条弦AD和BE,相交于点C, 求证:AC?AD+BC?BE=AB?. D E 分析:A,F,C.E四点共圆 C BC?BE=BF?BA. A F O F,B,D,C四点共圆 AC?AD=AF?AB. AC?AD+BC?BE=AF?AB+BF?BA =AB(AF+BF)=AB?

B

17 [普通高中课程数学选修4-1] 第二讲 直线与圆的位置关系

习题2.5
5.如图, ⊙O与⊙O?相交与点A,B.PQ是⊙O的 切线,求证:PN?=NM?NQ
A

O?

O

B M

N
Q

P

18 [普通高中课程数学选修4-1] 第二讲 直线与圆的位置关系

习题2.5

6.如图,PA是⊙O的切线, M是PA的中点, 求证:∠MPB=∠MCP A 思路: ∵MA?=MB?MC=PM? M
B

MB PM ? PM MC

O

P

∴△MBP∽△PMC

C

∴∠MPB=∠MCP

19 [普通高中课程数学选修4-1] 第二讲 直线与圆的位置关系

习题2.5

7.如图, AD,BE,CF分别是△ABC三边的高,H 是垂心,AD延长线交△ABC外接圆于点G,
求证:DH=DG
F H
2 1

A
3

E

C

D
B G

20 [普通高中课程数学选修4-1] 第二讲 直线与圆的位置关系

习题2.5

8.如图,⊙O直径AB的延长线与弦CD的延长线

交于点P,AE=AC.
E A O
1

⌒ ⌒

求证:PF?PO=PA?PB 思路: △POC∽△PDF
B
2

F

PO PC ? P PD PF

C

D

PF?PO=PD?PC
又PD?PC=PB?PA PF?PO=PB?PA

24 [普通高中课程数学选修4-1] 第二讲 直线与圆的位置关系

习题2.4

1.如图,经过圆上的点T的切线和弦 AB的延长线相交于点C。 求证:∠ATC=∠TBC 2.如图,⊙O和⊙O′都经过A,B两点, AC是⊙O′的切线,交⊙O于点C,AD 是⊙O的切线,交⊙O′于点D,求证: AB? =BC· BD
A T O B C C B O′ D

A


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