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陕西西安高新一中2015届高三模拟二数学(文科)试题


陕西西安高新一中 2015 届高三模拟二数学(文科)试题
一、选择题:(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项 中,只有一项是符合题目要求的) 1 ? 3i 1.i 是虚数单位,复数 = ( ) 1? i A.2-i B.2+I C. -1 -2i D. -1 + 2 i 2.已知集合 M ? ? x log 2 ( x ? 1) ?

2? , N ? ? x a ? x ? 6? ,且 M N ? ? 2, b? ,则 a ? b ? A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 3.下面四个条件中,使 a ? b 成立的充分不必要条件是( ) 2 2 A. a ? b ? 1 B. a ? b ? 1 C. a ? b D. a 3 ? b3 4.有一段演绎推理是这样的: “直线平行于平面,则平行于平面内所有直线:已知直线 b ∥ 平面? ,直线 a ? 平面? ,直线 b∥平面α ,则 b∥a”的结论显然是错误的, 这是因为 A.大前提错误 B.小前提错误 C.推理形式错误 D.非以上错误 2 2 2 5 . 已 知 圆 ( x ? a) ? ( y ? b) ? r 的 圆 心 为 抛 物 线 y 2 ? 4 x 的 焦 点 , 且 与 直 线 3x ? 4y ? 2 ? 相切 0 ,则该圆的方程为 64 64 A. ( x ?1)2 ? y 2 ? B. x2 ? ( y ?1)2 ? 25 25 2 2 2 2 C. ( x ? 1) ? y ? 1 D. x ? ( y ? 1) ? 1 a ?a 1 6.已知等比数列{ am }中,各项都是正数,且 a1 , a3 , 2a2 成等差数列,则 9 10 ? a7 ? a8 2 B. 1 ? 2 C. 3 ? 2 2 D. 3 ? 2 2 ? x ? ? 7.将 y ? 2 cos( ? ) 图像按向量 a ? (? ,?2) 平移,则平移后所得函数的周期及图象的 3 6 4 一个对称中心分别为( )
?? ? A. 3? , ? ,?2 ? ?4 ? ? 3? ? B. 6? , ? ,2 ? ? 4 ? ? 3? ? C. 6? , ? ,?2 ? ? 4 ? ?? ? D. 3? , ? ,2 ? ?4 ?

A. 1 ? 2

8.若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示,其顶点都在一个球面上,则 该球的 表面积为 16 19 A. ? B. ? 3 3 19 4 C. ? D. ? 12 3 ?? ? ? ? 7 ?? 6 ?? 9.已知 D 是 ? ABC 所在平面内一点, AD ? AB ? AC , 则( ) 13 13 ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? 7 ?? 6 ?? 13 ?? 13 ?? A. BD ? BC B. BD ? BC C. BD ? BC D. BD ? BC 13 13 7 6
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x ? ?1 ? x ? 1 ? a , 10.已知 a ? 1 ,若函数 f ? x ? ? ? ,则 f ? ? f ? x ?? ? ? a ? 0 的根的个数 f x ? 2 ? a ? 1,1 ? x ? 3 ? ? ? ? 最多有( ) A.1 个 B.2 个 C. 3 个 D. 4 个 二、填空题: (每小题 5 分,共 25 分) 11. 课题组进行城市空气质量调查,按地域把 24 个城市分成甲、乙、丙三组,对应的 城市的个数分别为 4 、 12 、 8 .若用分层抽样的方法抽取 6 个城市,则乙组中应抽取的 城市数为 .

12. 如果执行右面的框图,那么输出的 S 等于_____________. ?x ? y ? 3 ? 13. 设变量 x, y 满足约束条件: ? x ? y ? ?1 , ?2 x ? y ? 3 ? 2 2 则目标函数 z ? x ? y 的最小值为 . sin | x | 14. 若对于函数 f ( x) ? ? b ,现给出四个命题: x ①b=0 时, f ( x) 为奇函数; ②y= f ( x) 的图像关于 (0, b) 对称; ③ b ? ?1 时,方程 f ( x) ? 0 有且只有一个实数根; ④ b ? ?1 时,不等式 f ( x) ? 0 的解集为空集. 其中正确的命题是 . (写出所有正确命题的编 号) 15.选做题: (请考生在下列 A,B,C 题中任选一题作答,若三题都做,则按所做的第一题 计分) (A)(不等式选讲)已知函数 f ( x) ? | x ?1| ? | x ? a | ?2, a ? R 的定义域为 R,则实数 a 的 取值范 围是 . ? ? x ? 3 ? cos ? , (? (B)(极坐标与参数方程选讲)直角坐标系 xOy 中,圆 C 的参数方程是 ? ? ? y ? 1 ? sin ? , 为参数) ,以原点为极点, x 轴的正半轴为极轴建立坐标系,则圆心 C 的极坐标是 。 (C)(几何证明选讲)如图,过点 P 作圆 O 的割线 PAB 与切线 PE , E 为切点,连接 AE, BE , ?APE 的平分线与 AE, BE 分别交于点 C , D ,若 ?AEB ? 300 ,则 ?PCE ? .

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三、 解答题: (本大题共 6 小题, 共 75 分, 解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤. ) 16. (本题满分 12 分)
1 2 3 x ? x, 数列{an }的前n项和为Sn , 点 ? n, Sn ? 2 2 * ( n ? N )均在函数 y ? f ( x) 的图象上. (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式 a n ;

已知函数 f ( x) ?

(Ⅱ)令 cn ?

1 an an ?1 ? , 证明: c1 ? c2 ? ? ? cn ? 2n ? 2. an ?1 an

17. (本题满分 12 分) 甲、乙两名考生在填报志愿时都选中了 A 、 B 、 C 、 D 四所需要面试的院校,这四 所院校的面试安排在同一时间 .因此甲、乙 都只能在这四所院校中选择一所做志愿, 假 设每位同学选择各个院校是等可能的,试 求: (Ⅰ)甲、乙选择同一所院校的概率; (Ⅱ)院校 A 、 B 至少有一所被选择的概率.

18. (本题满分 12 分) 如图,港口 A 北偏东 30°方向的 C 处有一检查站,港口正东方向的 B 处有一轮船, 距离检查站 31 海里,该轮船从 B 处沿正西方向航行 20 海里后到达 D 处观测站,已知观 测站与检查站距离 21 海里,问此时轮船离港口 A 还有多远?

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19. (本题满分 12 分) 在边长为 5 的菱形 ABCD 中, AC ? 8 . 现沿对角线 BD 把△ ABD 折起,折起后使 9 ?ADC 的余弦值为 . 25 (Ⅰ)求证:平面 ABD ⊥平面 CBD ; (Ⅱ)若 M 是 AB 的中点,求三棱锥 A ? MCD 的体积.

20.(本题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? ax ? ln x ? 1 (a ? R) . (I)讨论函数 f ( x) 在定义域内的极值点的个数; (Ⅱ )若函数 f ( x) 在 x ? 1 处取得极值,对任意的 x ? (0,??), f ( x) ? bx ? 2 恒成立,求 实数 b 的取值范围.

21. (本题满分 14 分) 已知中心在原点,焦点在坐标轴上的椭圆 E 的方程为 率为 B. (Ⅰ)求椭圆 E 的方程; xx y y x2 y 2 (Ⅱ)若在椭圆 E 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 上的点 ( x0 , y0 ) 处的切线方程是 02 ? 02 ? 1 .求 a b a b 证:直线 AB 恒过定点 C,并求出定点 C 的坐标; 4 (Ⅲ)求证: | AC | ? | BC |? | AC | ? | BC | (点 C 为直线 AB 恒过的定点). 3
x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0), 它的离心 a 2 b2

1 ,一个焦点是 (?1,0) ,过直线 x ? 4 上一点引椭圆 E 的两条切线,切点分别是 A、 2

2015 届高三数学(文科)参考答案
1—10 ADAAC CCBBC
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11、3 ;

12、2;

13、5 ;

14、①②④ ;

15、 (A) ?? ?,?3? ? ?1,???

; (B) (2, ) ; (C) 75 ? 6 1 3 16、解: (1)? 点 (n, sn ) 在 f ( x) 的图像上,? S n ? n 2 ? n 2 2 当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn?1 ? n ? 1 ; n ? 1 也适合上式, ? an ? n ? 1(n ? N ? ) ?????6 分 a a n ?1 n ? 2 1 1 (2)由(1) 得 cn ? n ? n?1 ? ?????9 分 ? ? 2? ? an?1 an n ? 2 n ?1 n ?1 n ? 2 1 1 1 1 1 1 ? c1 ? c2 ? ? ? cn ? 2n ? ( ? ) ? ( ? ) ? ? ( ? ) 2 3 3 4 n ?1 n ? 2 1 1 1 ?????12 分 ? 2n ? ? ? 2n ? 2 n?2 2 17.解: (1)甲,乙选择院校的所有可能为:AA, AB,AC,AD,BA,BB,BC,BD,CA,CB,CC,CD,DA,DB,DC,DD.共 16 种可能,????4 分 甲乙选择同一所院校的可能为:AA,BB,CC,DD.共 4 种可能。 4 1 甲乙选择同一所院校的概率为: ? ?????8 分 16 4 12 3 院校 A 、 B 至少有一所被选择的概率为: ? ?????12 分 16 4 18.(本题满分 12 分) BD2+CD2-BC2 1 解:在△BDC 中,由余弦定理知 cos∠CDB= =- ,???3 分 2BD·CD 7 4 3 .?????5 分 7 π? π π 5 3 ? ∴sin∠ACD=sin?∠CDB- ?=sin∠CDBcos -cos∠CDBsin = ,??9 分 3? 3 3 14 ? sin∠CDB=

?

∴轮船距港口 A 还有 15 海里.?????12 分

19.

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.

20.解

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? g ( x) min ? g (e 2 ) ? 1 ? ?b ? 1 ?

1 e2

1 .???13分 e2

2 2 21. ( I ) 设 椭 圆 方 程 为 x2 ? y2 ? 1? a ? b ? 0? 的 焦 点 是 ? ?1, 0? , 故 c ? 1 , 又 c ? 1 , 所 以

a 2 2 2 x y a ? 2, b ? a 2 ? c 2 ? 3 ,所以所求的椭圆 ? 方程为 ? ? 1 . ?????????4 分 4 3 (II)设切点坐标为 A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? ,直线 l 上一点 M 的坐标 ? 4, t ? ,则切线方程分别为

a

b

x1 x y1 y xx y y t t ? ? 1 , 2 ? 2 ? 1 ,又两切线均过点 M,即 x1 ? y1 ? 1, x2 ? y2 ? 1 ,即点 A,B 的 4 3 4 3 3 3 t 坐标都适合方程 x ? t y ? 1 ,故直线 AB 的方程是 x ? t y ? 1 ,显然直线 x ? y ? 1 恒过点 3 3 3 (1,0) ,故直线 AB 恒过定点 C ?1, 0 ? .?????????????9 分

(III)将直线 AB 的方程 x ? ? t y ? 1 ,代入椭圆方程,得
3
?t ? ? t ? 3 ? ? y ? 1? ? 4 y 2 ? 12 ? 0 ,即 ? ? 4 ? y 2 ? 2ty ? 9 ? 0 , ? 3 ? ?3 ? 所以 y1 ? y2 ? 2 6t , y1 y2 ? 2?27 ,不妨设 y1 ? 0, y2 ? 0 , t ? 12 t ? 12
2
2

AC ?

? x1 ? 1?
AC

2

2 ? t2 ? t 2 ? 9 ,同理 BC ? ? t ? 9 y ,????12 分 ? y12 ? ? ? 1? y12 ? y1 2 3 3 ?9 ?

所以 1 ? 1 ?
BC

?1 1 ? y ?y 3 3 ?? ? ? ? ? 2 1 ?? ? 2 2 2 y y y y t ?9 ? 1 t ?9 t ?9 2 ? 1 2 3
2

? y2 ? y1 ?
y1 y2

2

108 ? 6t ? ? 2 ? ? 2 3 1 144t 2 ? 9 ?144 4 , ? t ? 12 ? t ? 12 ?? ? ? ? ? ?27 9 3 t2 ? 9 t2 ? 9 t 2 ? 12 即 AC ? BC ? 4 AC ? BC ,???????????14 分 3

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