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数列放缩


数列放缩 知识回顾 一、 a n ? sn ? sn?1
1 . 已 知 数 列 {a n } 的 前 n 项 和 为 s n , 且 s5 ? 25 ,s8 ? 64 , 数 列 {b n } 满 足

b1 b 2 bn ? 2 ? ......? n ? a n ?( 1 n ? n ?) 2 2 2
(Ⅰ)求数列 {a n } 的通项公式 (Ⅱ)求数列 {b n } 的前 n 项和 Tn

二、 b n ?

1 1 1 1 ? ( ) a n a n ?1 d a n a n -1

例 4 在公差不为 0 的等差数列{an}中,a1,a4,a8 成等比数列. (1)已知数列{an}的前 10 项和为 45,求数列{an}的通项公式; 1 1 1 (2)若 bn= ,且数列{bn}的前 n 项和为 Tn,若 Tn= - ,求数列{an}的公差. 9 n+9 anan+1

三、新课讲解

1.[2014· 新课标全国卷Ⅱ] 已知数列{an}满足 a1=1,an+1=3an+1. 1? ? (1)证明?an+2?是等比数列,并求{an}的通项公式; ? ? 1 1 1 3 (2)证明 + +?+ < . a1 a2 an 2

2、求和后放缩 例 1.正数数列 ?an ? 的前 n 项的和 Sn ,满足 2 S n ? a n ? 1 ,试求: (1)数列 ?an ? 的通项公式; (2)设 bn ?

1 1 ,数列 ?bn ? 的前 n 项的和为 Bn ,求证: Bn ? 2 a n a n ?1

3、先放缩再求和 1.放缩后成等差数列,再求和
2 例 2.已知各项均为正数的数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,且 an ? an ? 2Sn .

(1) 求证: Sn ?

an 2 ? an ?12 ; 4 ? S1 ? S2 ? ??? ? Sn ? Sn ?1 ? 1 2

(2) 求证:

Sn 2

4、放缩后成等比数列,再求和 例 3. (1)设 a,n∈N*,a≥2,证明: a
2n

? (?a) n ? (a ? 1) ? a n ;
2

a 1 (2) 等比数列{an}中, 前 n 项的和为 An, 且 A7, A9, A8 成等差数列. 设 bn ? n , a1 ? ? , 2 1 ? an
数列{bn}前 n 项的和为 Bn,证明:Bn< .

1 3

5、 .放缩后为裂项相消,再求和 例 5.在 m(m≥2)个不同数的排列 P1P2?Pn 中,若 1≤i<j≤m 时 Pi>Pj(即前面某数大于 后面某数) , 则称 Pi 与 Pj 构成一个逆序. 一个排列的全部逆序的总数称为该排列的逆序数. 记 排列 (n ? 1)n(n ? 1) ?321的逆序数为 an,如排列 21 的逆序数 a1 ? 1 ,排列 321 的逆序数

a3 ? 6 .
(1)求 a4、a5,并写出 an 的表达式; (2)令 bn ?

an a ? n?1 ,证明 2n ? b1 ? b2 ? ?bn ? 2n ? 3 ,n=1,2,?. an?1 an

6、已知数列{a n }满足:a 1 =1 且 2an ? 3an?1 ? (1) 求数列{a n }的通项公式;

1 2 n?2

(n ? 2) .

1 1 m2 ? 1 m (2) 设 m ? N ? ,m ? n ? 2,证明(a n + n ) (m-n+1) ? 2 m

7、设数列{ an }满足 a1 ? 3, an?1 ? 2an ? n ? 1 (1) 求{ an }的通项公式;

若 c1 ? 1, bn ? cn?1 ? cn ?

1 1 1 1 求证:数列{ bn ? d n }的前 n 项和 sn ? , dn ? ? 3 an ? n cn cn?1

8、已知正项数列{ an }满足 a1 ? 1, an?1 ? (1) 判断数列{ an }的单调性; (2) 求证:

an ?

1 ? an , ( n ? N ? ) 2 (n ? 1)

1 1 1 1 1 ? ? ? ? 2 n ?1 n ? 2 an an?1 (n ? 1)

9、 已知数列{an}的前 n 项和 Sn 满足:Sn=2an +(-1)n,n≥1. (Ⅰ)写出求数列{an}的前 3 项 a1,a2,a3; (Ⅱ)求数列{an}的通项公式; (Ⅲ)证明:对任意的整数 m>4,有

1 1 1 7 ? ??? ? . a4 a5 am 8

17.(宜宾一中) (本小题满分 12 分) 已知在△ABC 中,角 A、B、C 的对边分别是 a、b、c,且 2sin A+3cos(B+C)=0. (1)求角 A 的大小; (2)若△ABC 的面积 S= 5 3 , a ? 21 ,求 sinB+sinC 的值.
2

.16、 (南山中学) (本小题满分 12 分) 设函数 f(x)= ? ,其中向量 =(2cosx, =(cosx,2sinx) .

cosx) ,

(1)求函数 f(x)的最小正周期和在[0,π ]上的单调递增区间; 2 2 2 (2)在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 a +b ﹣c ≥ab,求 f(C)的取值 范围.

18. (冲刺卷) (本题小满分 12 分) 如图,平面四边形 ,求: (Ⅰ) (Ⅱ) ; 的面积 . 中, , , , ,

17. (本小题满分 1 2 分) 在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 (I)求

cos B ? 2 cos A cos C ? 2a ? b c

a 的值; b

(Ⅱ)若角 A 是钝角,且 c=3,求 b 的取值范围.

17. (本小题满分 12 分) 已知锐 .角 . ?ABC 中 内 角 A 、 B 、 C 所 对 边 的 边 长 分 别 为 a 、 b 、 c , 满 足
2 a 2 ? b 2 ? 6ab cos C ,且 sin C ? 2 3 sin A sin B .

(Ⅰ)求角 C 的值; (Ⅱ)设函数 f ( x) ? sin(?x ? 距离为 ? ,求 f ( A) 的取值范围.

?
6

) ? cos ?x (? ? 0) , 且f ( x) 图象上相邻两最高点间的

15. (本小题满分 13 分)已知函数 f ( x) ? cos( 2 x ? (1)求函数 f ( x) 的最小正周期及其单调减区间; (2)求函数 f ( x) 在 ??

?
6

)sin2x -

1 4

( x ? R)

? ? ? ,0? 上的最大值和最小值. ? 4 ?

17 . (本小题满分 12 分)
1 已知函数 f ? x ? ? 3 sin x cos x ? cos2 x ? ,( x ? R) . 2

(Ⅰ)求函数 f ? x ? 的最大值和最小正周期; ( Ⅱ ) 设 △ ABC 的 内 角 A, B, C 的 对 边 分 别 为 a , b, c 且 c ? 3, f ? C ? ? 0 , 若

sin ? A ? C? ?

2 s iA n a , b 的值. ,求

? 2cos (2ax ? 17.已知 f(x)

?
3

) - 2cos 2ax ? 1( ? >0)的最小正周期为 ?

(Ⅰ)求函数 f(x) 图像的对称中心; (Ⅱ)在△ABC 中,内角 A、 B 、C 的对边长分别为 a、b、c,若△ABC 为锐角三角形 且 f(A) =0,求

b 的取值范围。 a

18.(江西) (本小题满分 12 分)已知向量:

m ? ( 3 sin ?x, cos ?x), n ? (cos ?x,? cos ?x)(? ? 0),函数f ( x) ? m ? n 的 最小 正周 期


?
2



(I)求ω 的值; (II)设△ABC 的三边 a , b, c 满足: b 2 ? ac ,且边 b 所对的角为 x,若关于 x 的方程 f (x)=k 有两个不同的实数解,求实数 k 的取值范围.

16. (眉山) (本小题满分 12 分)已知函数

( x ? R ).

(1) 求函数 (2) 内角 求 B 和 C.

的单调递增区间; 的对边长分别为 ,若 且

(acos B,bsin A) (3,4) 17.已知 m ? 与n ? 共线
(1)求 cos B ;

?

?

(2)若

的面积 S=10.且 a=5,求

的周长。

18. (绵阳入学)已知 ?ABC 的角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c ,其面积 S ? 4 3 ,

?B ? 600 ,且 a 2 ? c 2 ? 2b 2 ;等差数列
项和为 Tn ,且 Tn ? 2bn ? 3 ? 0 , n ? N ? . (1)求数列 ?an ? 、 ?bn ? 的通项公式; (2)设 c n ? ?

中,且 a1 ? a ,公差 d ? b .数列 ?bn ?的前 n

?a n n为奇数 , 求数列 ?c n ? 的前 2n ? 1 项和 P2 n ?1 . ?bn n为偶数

.17 . ( 本 小 题 满 分 12 分 ) 在 ?ABC 中 , 角 A, B, C 的 对 边 分 别 为 a, b, c , 且

A? B cB o? s 2 (Ⅰ)求 cos A 的值; 2 c o2s

A si ?n B(

3 B) ?s ?i n. 5
??? ?

(Ⅱ)若 a ? 4 2 , b ? 5 ,求向量 BA 在 BC 方向上的投影.

??? ?

15、 (资阳市2014届高三上学期第一次诊断性考试) 中,若 (A) (C) ,则 (B) (D)

8、 (德阳中学 2014 届高三“零诊”考试)

已知函数



且函数

的最小正周期为

(1)求

的值和函数

的单调增区间;(2)在

中,

角 A、B、C 所对的边分别是 、 、 ,又 求边长 的值.





的面积等于 ,

11、 (泸州市 2014 届高三第一次教学质量诊断) 在△ ABC 中,角 、 . (Ⅰ)求角 C 的大小; (Ⅱ)若 ,且 ,求 的值. 、 的对边分别为 、 、 ,设 S 为△ ABC 的面积,满足


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