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2007年番禺区高二数学学业水平测试模拟题13象贤中学


2007 年番禺区高二数学学业水平测试模拟题(十三)
命题人:象贤中学 陈文彬 审题人:黄国和
一.选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。在给出的四个选项中,只有一项市 符合题目要求的。 1、设全集 I={a,b,c,d,e},集合 M={a,c,d},N={b,d,e}那么 CI(M∪N)是 A. ? B.{d} C.{a,c} D.{b,e}

?2 x ? 2、 f ( x) ? ? ?3 x ?
A 1

x ?1 x ?1
B.2

,则 f ( f (0)) ? ( )

C.3 )

D.4

3.边长为 5, 7,8 的三角形的最大角与最小角的和是( A. 90
0

B. 120

0

C. 135

0

D. 150

0

4.向量 a ? (2,3) , b ? (?1, 2) ,若 ma ? b 与 a ? 2b 平行,则 m 等于 A. ?2 B. 2 C.

?

?

? ?

?

?

1 2

D. ?

1 2


5.函数 y ? cos2 x ? 3 cos x ? 2 的最小值为( A. 2 B. 0 C. 1 D. 6

6.已知点 A(1, 2), B(3,1) ,则线段 AB 的垂直平分线的方程是( A. 4 x ? 2 y ? 5 C. x ? 2 y ? 5 B. 4 x ? 2 y ? 5 D. x ? 2 y ? 5

) n=5 s=0 WHILE s<15 S=s + n n=n-1 WEND PRINT n END (第 7 题)

7.右边程序执行后输出的结果是( ) A. ?1 B. 0 C. 1 D. 2 8.有一个几何体的三视图及其尺寸如下(单位 cm ) , 则该几何体的表面积及体积为:( )

5

6

A. 24? cm , 12? cm
2 2

2

B. 15? cm , 12? cm
2

2

C. 24? cm , 36? cm

2

D. 以上都不正确

9.如果 x 2 ? y 2 ? 1,令 t= 3x ? 4 y ,则 t 的最大值是 ( A. 3 B.

)

1 5

C. 4

D. 5

10.函数 f(x)对一切实数 x 都满足 f( 个实根之和为( ) A.1 B.0 C.3 D.

1 1 ? x )=f( ? x ),并且 f(x)=0 有 3 个实根,则这 3 2 2

3 2

二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 3 分,共 12 分。 11.某单位有老年人 28 人,中年人 54 人,青年人 81 人,为调查身体健康状况,需要从中抽 取一个容量为 36 的样本,用分层抽样方法应分别从老年人、中年人、青年人中各抽取 _________人、 人、 人。 12.圆心在直线 2 x ? y ? 7 ? 0 上的圆 C 与 y 轴交于两点 A(0, ? 4), B (0,? 2),则圆 C 的方程 为 .

? y ? x, ? 13.若 x、y 满足约束条件 ? x ? y ? 1, 则 z=2x+y 的最大值为____________ ? y ? ?1. ?
a a ? a 14.如果有穷数列 a1,2,3, ,m( m 为正整数) 满足条件 a1 ? am ,a2 ? am?1 , ?,am ? a1 ,
2 ? m ,我们称其为“对称数列” 若 ? cn ?是 19 项的“对称数列” 即 ai ? am?i ?1( i ? 1,, , ) . ,

c ? c 其中 c10,11, ,19 是首项为 1 ,公比为 2 的等比数列,则 c19 =______, S19 ? ______.
三.解答题:本大题共 6 小题,共 58 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15. (本小题满分 9 分) 从甲、乙、丙、丁四个人中选两名代表,求: (1)甲被选中的概率

(2)丁没被选中的概率

16. (本小题满分 9 分) 已知函数 f ( x) ? cos x ? 2 sin x cos x ? sin x .
2 2

(1)求 f (x) 的最小正周期;

(2)求 f (x) 的最大值和 f (x) 单调递增区间.

17. (本小题满分 10 分) 如图,在直三棱柱 ABC—A1B1C1 中,AC=3,BC=4,AB=5,AA1=4,点 D 是 AB 的中点. (Ⅰ)求证 AC⊥BC1; (Ⅱ)求证 AC1//平面 CDB1; (Ⅲ)求几何体 ACD-A1B1C1 的体积。

E

18. (本小题满分 10 分)

, 3, ,且 a1,a2,a3 成公比 数列 ?an ? 中, a1 ? 2 , an?1 ? an ? cn ( c 是常数, n ? 1 2,? )
不为 1 的等比数列. (I)求 c 的值; (II)求 ?an ? 的通项公式.

19. (本小题满分 10 分) 在以 O 为原点的直角坐标系中,点 A(4,-3)为△OAB 的直角顶点.已知|AB|=2|OA|, 且点 B 的纵坐标大于零. ⑴求向量 AB 的坐标; ⑵若圆 x 2 ? 2ax ? y 2 ? 2 y ? 1 ? 0 与直线 OA 相切,求 a 的值.

20. (本小题满分 10 分) 若二次函数 f (x) 满足条件:① f ( 0) ? 1 ;② f ( x ? 1) ? f ( x) ? 2 x 。 (1)求 f (x) 的表达式; (2)求 f (x) 在区间 [ ?1 , 1] 上的最大值和最小值。

参考答案 一.选择题 题号 答案 1 A 2 B 3 B 4 D 5 B 6 B 7 C 8 A 9 D 10 B

二、填空题: 11. 13. 3 6 , 12 14. , 18 ,2 ?3
11

12.

( x ? 2)2 ? ( y ? 3)2 ? 5

29

三.解答题 15. (1) P(丙没被选中)=

1 1 P (甲被选中)= 2 2

(2) P(丙没被选中)=

1 2

16.解:依题意有 f ( x) ? 2 sin x cos x ? cos2 x ? sin 2 x ? sin 2 x ? cos2 x

? 2 (sin 2 x ?

?T ?

2? ?? 2

2 2 ? ? cos2 x) ? 2 (sin 2 x ? ) 2 2 4
最大值 f max = 2

当 2k? ?

?

2

? 2x ?

?
4

? 2k? ?

?
2

, 即k? ?

∴函数的递增区间为 [k? ?

3? ? , k? ? ], k ? Z 8 8

3? ? ? x ? k? ? , k ? Z 时,函数递增 8 8

17.证明:(Ⅰ)由直三棱柱得 CC1?平面 ABC 所以 CC1?AC?..1 分 2 2 2 因为 AC=3,BC=4,AB=5,AA1=4 得 AC +BC =AB 所以 AC?BC?..2 分 所以 AC?平面 B CC1 ?..3 分 (Ⅱ)设 B1C 与 BC1 交于点 E ,则 E 是中点, 连结 DE,因为 D 是中点, E 所以 AC1//DE 又 AC1 在平面平面 CDB1 外 所以 AC1//平面 CDB1 ?..6 分 (Ⅲ) VACD? A1B1C ? VABC? A1B1C ? VB1 ?BCD
1 1

?

1 1 1 ? 3 ? 4 ? 4 ? ? S ?ABC ? 4 =20 2 3 2

?..9 分

18.解: (I) a1 ? 2 , a2 ? 2 ? c , a3 ? 2 ? 3c , 因为 a1 , a2 , a3 成等比数列, 所以 (2 ? c) ? 2(2 ? 3c) ,
2

解得 c ? 0 或 c ? 2 . 当 c ? 0 时, a1 ? a2 ? a3 ,不符合题意舍去,故 c ? 2 . (II)当 n ≥ 2 时,由于

a2 ? a1 ? c , a3 ? a2 ? 2c ,
??

an ? an?1 ? (n ?1)c ,
所以 an ? a1 ? [1 ? 2 ? ? ? (n ? 1)]c ?

n(n ? 1) c. 2

又 a1 ? 2 , c ? 2 ,故 an ? 2 ? n(n ?1) ? n2 ? n ? 2(n ? 2,?) . 3, 当 n ? 1 时,上式也成立, 所以 an ? n2 ? n ? 2(n ? 1 2, ) ,? 19.解:⑴设 AB ? ?u, v? ,则由 AB ? 2 OA

AB ? OA ? 0 得

u 2 ? v 2 ? 100 (1)

4u+3v=0 (2),得 ?

?u ? 6 ?u ? ?6 ,或 ? , ?v ? 8 ?v ? ?8

? OB ? OA ? AB ? ?u ? 4, v ? 3?

? v -3>0 ,得 v =8,故知 AB? ? ?6, ? 7 分 8
2 2

(2)若圆 x 2 ? 2ax ? y 2 ? 2 y ? 1 ? 0 与直线 OA 相切,求 a 的值,由 知直线 OA 方程:3x+4y=0 (1) 由条件可知圆的标准方程为: ?x ? a? ? ? y ? 1? ? a 2 ,得圆心(a ,-1),半径为 a

? 圆心到直线距离为:d ? 3a ? 4 ? a
5
20. 解: (1) 设 f ( x) ? ax2 ? bx ? c (a ? 0) 而
f ( x ? 1) ? f ( x) ? 2ax ? a ? b ? 2 x

2 化简为 2a ? 3a ? 2 ? 0 解得 a ?

1 , 或 a ? ?2 2

则 由 f (0) ? 1 ,得 于是
?2 a ? 2 ? ?a ? b ? 0

c ?1
f ( x) ? x 2 ? x ? 1
f (x ) 有最大值

?a ? 1 ∴ ? ?b ? ?1

(2)由(1)知, f (x) 的对称轴
f ( ?1) ? 3

x?

1 ? [?1 , 1] ∴ 2

1 3 f (x ) 有最小值 f ( ) ? 2 4


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