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湖南省益阳市箴言中学2014届高三数学第二次模拟考试试题 理(含解析)新人教A版


湖南省益阳市箴言中学 2014 届高三数学第二次模拟考试试题 理(含解析) 新人教 A 版

时间:120 分钟

满分 150 分

一.选择题: (本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目 要求的.) 2 1. 设集合 A={x|1<x<4},B={x|x -2x-

3≤0},则 A∩( C RB)=( ) A.(1,4) B.(3,4) C.(1,3) D.(1,2) 2. 已知命题 p:函数 f ( x) ? x 在 R 上为偶函数;命题 q:函数 f(x)=x -x 在区间[0,+∞)上单调递增,
2
2

则下列命题中为真命题的是( ) A.p∨q B.p∧q C.(┐p)∧(┐q) D.(┐p)∨q

?21? x , x ? 1 3. 函数 f ( x) ? ? ,则满足 f ( x) ? 2 的 x 的取值范围是( ?1 ? log 2 x, x ? 1
A. [?1 ,2] 4. 已知 a ? 7
log 2 3.4



B.[0,2]

C.[1,+ ? ]

D.[0,+ ? ] ) D. c ? a ? b ( )

,b ? 7

log 4 3.6

?1? ,c ? ? ? ?7?

log3 0.3

, 则(

A. a ? b ? c

B. b ? a ? c
2

C. a ? c ? b

5. 设当 x∈(1,2)时,不等式(x-1) <logax 恒成立,则 a 的范围是 A.(0,1) B.(1,2) C.(1,2]

? 1? D.?0, ? ? 2?
x

6. f(x)是定义在 R 上的奇函数,且满足 f(x+2)=f(x),又当 x∈(0,1)时,f(x)=2 -1,则 f (log 16) 等
2

于 ( A.-5

). B.-6 5 C.- 6 1 D.- 2

π 3 7. 设函数 f(x)=x +sin x,若 0≤θ ≤ 时,f(mcos θ )+f(1-m)>0 恒成立,则实数 m 的取值范围是 2 ( ) B.(-∞,0) C.(-∞,1) 1? ? D.?-∞, ? 2? ?

A.(0,1)

8.已知函数 f ( x ) ? ?

? log 2 ( x ? 1) , ?1 ? x ? 0 ?
2 ?? x ? 4 x , ?

x?0

, 且关于 x 的方程 f ( x) ? m ? 0,(m ? R) 恰有三个互不相同的

实数根 x1 , x2 , x3 ,则 x1 x2 x3 的取值范围是( A. (?4,0) B. (?



15 , 0) 4

C. [?

15 , 0) 4

D. [?4,0)

1

二.填空题: (本大题共 7 小题,每小题 5 分 ,共 35 分,把答案填在答题卡中对应题号后的横线上.) 9.直线 ?

?x ? 2 ? t ? x ? 3 cos? (t 为参数)与曲线 ? (? 为参数)的交点个数为______。 ? y ? ?1 ? t ? y ? 3 sin ?
4

10. 已知函数 f(x)=ax +bcos x-x,且 f(-3)=7,则 f(3)的值为________. 11.已知集合 A={x||x-1|<2},B={x|

x ?b ? 0 },若 A∩B≠ ? ,则实数 b 的取值范围是________. x?2


12. 若存在实数 x ,使 | x ? a | ? | x ? 1|? 3 成立,则实数 a 的取值范围是 13. 已知函数 f ( x) ? log a ( x ? ax ? 3) ( a 为常数) ;若 x1 ? x2 ?
2

f ( x1 ) ? f ( x2 ) a ? 0 ,则实数 a 的 时, x1 ? x2 2

取值范围是 . 14. 若直角坐标平面内两点 P,Q 满足条件:①P、Q 都在函数 f(x)的图象上;②P、Q 关于原点对称,则称 点对(P,Q)是函数 f(x)的一个“友好点对”(点对(P,Q)与点对(Q,P)看作同一个“友好点对”).已知函

?2x +4x+1,x<0, ? 数 f(x)=? 2 ?ex,x≥0, ?

2

则 f(x)的“友好点对”有________个.

1 1 15. 给出定义:若 m- <x≤m+ (其中 m 为整数),则 m 叫做离实数 x 最近的整数,记作{x}=m.在此基础 2 2 上给出下列关于函数 f(x)=|x-{x}|的四个命题:

? 1? ①函数 y=f(x)的定义域为 R,值域为?0, ?; ? 2?
②函数 y=f(x)的图象关于直线 x= (k∈Z)对称; 2 ③函数 y=f(x)是周期函数,最小正周期为 1; 1 1 ④函数 y=f(x)在[- , ]上是增函数.其中正确的命题的序号是________. 2 2 三.解答题:本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 2 2 16.(本题满分 12 分)设命题 p:实数 x 满足 x -4ax+3a <0,其中 a>0,

k

? x2 ? x ? 6 ? 0 ? 命题 q:实数 x 满足 ? ? x ?1 ? 3 ?
(1)若 a=1,且 p 且 q 为真,求实数 x 的取值范围; (2)非 p 是非 q 的充分不必要条件,求实数 a 的取值范围.

17.(本题满分 12 分)在 ? ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.
2

已知 cosA=

2 ; 3

sinB= 5 cosC.

(Ⅰ)求 tanC 的值; (Ⅱ)若 a= 2 ,求 ? ABC 的面积.

18.(本题满分 12 分)已知箱中装有 4 个白球和 5 个黑球,且规定:取出一个白球得 2 分,取出一个黑球 得 1 分.现从该箱中任取 3 个球(无放回,且每球取到的机会均等),记随机变量 X 为取出 3 球所得分数之 和. (Ⅰ)求 X 的分布列; (Ⅱ)求 X 的数学期望 E(X).

19.(本题满分 13 分)如图,在底面为直角梯形的四棱锥 P-ABCD 中,AD∥BC,∠ABC=90°,PA⊥平面

ABCD,PA=3,AD=2,AB=2 3,BC=6.
(Ⅰ)求证:BD⊥平面 PAC; (Ⅱ)求平面 PBD 与平面 BDA 所成的二面角大小.

20. (本题满分 13 分)提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况.在一般情况下,大桥 上的车流速度 v(单位:千米/小时)是车流密度 x(单位:辆/千米)的函数.当桥上的车流密度达到 200 辆/
3

千米时,造成堵塞,此时车流速度为 0;当车流密度不超过 20 辆/千米时,车流速度为 60 千米/小时.研 究表明:当 20≤x≤200 时,车流速度 v 是车流密度 x 的一次函数. (1)当 0≤x≤200 时,求函数 v(x)的表达式; (2)当车流密度 x 为多大时,车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数,单位:辆/小时) f(x)=x·v(x)可以达到最大,并求出最大值.(精确到 1 辆/小时)

21.(本题满分 13 分) 已知函数 f(x)=-x +8x,g(x)= x ? ln( x ? 1)
2

(Ⅰ)求 f(x)在区间[t,t+1]上的最大值 h(t); (Ⅱ)是否存在实数 k,对任意的 x ? [0, ??) ,不等式 g ( x) ? 8kx ? kf ( x) 恒成立?若存在,求出 k 的取值范 围;若不存在,说明理由.

参考答案 一.选择题: 1. 【答案】B 【解析】A=(1,4),B=[-1,3],则 A∩( C RB)=(3,4).
4

1 1 2 2.[答案]A [解析] ∵f(x)=x -x 在[0, )上是减函数,在[ ,+∞)上是增函数,所以 q 为假命题, 2 2 而 p 为真命题,∴p∨q 为真命题故选 A. 3. D 4. C 2 2 5. 答案:C 解析:设 f1(x)=(x-1) ,f2(x)=logax,要使当 x∈(1,2)时,不等式(x-1) <logax 恒成立, 2 只需 f1(x)=(x-1) 在(1,2)上的图象在 f2(x)=logax 的下方即可. 2 当 0<a<1 时,显然不成立.当 a>1 时,如图,要使在(1,2)上,f1(x)=(x-1) 的 2 图象在 f2(x)=logax 的下方,只需 f1(2)≤f2(2),即(2-1) ≤loga2,loga2≥1, ∴1<a≤2. 3 6. 答案 D 解析 f (log 1 6) =-f(log26)=-f(log26-2).∵log26-2=log2 ∈ 2
2

3? 1 1 ? (0,1),∴f?log2 ?= ,∴ f (log 1 6) =- . 2? 2 2 ?
2

7. 答案 C 解析:易知 f(x)为奇函数、增函数,f(mcos θ )+f(1-m)>0,即 f(mcos θ )>f (m-1), ? ?m>m-1, π ∴mcos θ >m-1,而 0≤θ ≤ 时,cos θ ∈[0,1],∴? 得 m<1. 2 ?0>m-1 ? 8. B 解析:依题意得关于 x 的方程 f ( x) ? m ? 0, (m? R )恰有三个互不相同的实数根 x1 , x2 , x3 ,则

15 15 ,? x1 ? (? , 0) ,又 x2 , x3 关于 x ? 2 对称, 16 16 15 2 则 x2 ? x3 ? 4 , x2 x3 ? x2 (4 ? x2 ) ? ?( x2 ? 2) ? 4 ,? 0 ? x2 x3 ? 4 ,?? ? x1 x2 x3 ? 0 16

0 ? m ? 4 ,当 m ? 4 时,由 log 2 ( x0 ? 1) ? ?4 , x0 ? ?

二.填空题: (本大题共 7 小题,每小题 5 分 ,共 35 分,把答案填在答题卡中对应题号后的横线上.) 9.【解析】直线的普通方程 x ? y ? 1 ? 0 ,圆的普通方程为 x 2 ? y 2 ? 9 ,可以直线圆相交,故有 2 个交点。 【答案】2 4 10.解析:设 g(x)=ax +bcos x,则 g(x)=g(-x).由 f(-3)=g(-3)+3,得 g(-3)=f(-3)-3=4, 所以 g(3)=g(-3)=4,所以 f(3)=g(3)-3=4-3=1. 答案:1 11.解析:由题意得 A={x|-1<x<3},

x ?b ? 0 等价于(x-b)(x+2)<0,因为方程(x-b)(x+2)=0 的两 x?2

根为-2 和 b,又由 A∩B≠?,所以 b>-1。 答案:(-1,+∞) 12.【解析】 | x ? a | ? | x ? 1|? 3 表示在数轴上,a 到 1 的距离小于等于 3,即 a ? 1 ? 3 , 则?2? a ? 4 13. 【答案】 (1, 2 3) 【答案】 ? 2 ? a ? 4

?a ? 1 a ? (1, 【解析】 依题意函数 f (x) 在区间 ( ??, ] 为减函数, 所以 ? a 2 a 2 , 所以 a 取值范围为: 2 3) . 2 ? ?3? 0 ? ?4 2
2 2 14. 解析:设 P(x,y)、Q(-x,-y)(x>0)为函数 f(x)的“友好点对”,则 y= x,-y=2(-x) +4(-x) e +1=2x -4x+1, 2 2 2 2 ∴ x+2x -4x+1=0,在同一坐标系中作函数 y1= x、y2=-2x +4x-1 的图象,y1、 e e
5
2

y2 的图象有两个交点,所以 f(x)有 2 个“友好点对”.答案:2
1 1 1 ? 1? 15. 解析:①由定义知:- <x-{x}≤ ∴0≤|x-{x}|≤ ∴f(x) 的值域为?0, ?, 2 2 2 ? 2? ∴①对,②对,③对,④错.答案:①②③ 三.解答题:本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 2 2 16.解:(1)由 x -4ax+3a <0,得(x-3a)(x-a)<0.又 a>0,所以 a<x<3a, 当 a=1 时,1<x<3,即 p 为真命题时,1<x<3. 由?
? ? x2 ? x ? 6 ? 0 ?-2≤x≤3, ? 解得? ?x<-4或x>2, ? ? x ?1 ? 3 ?

即 2<x≤3.所以 q 为真时,2<x≤3.

?1<x<3, ? 若 p 且 q 为真,则? ? ?2<x≤3,

?2<x<3,所以实数 x 的取值范围是(2,3).?????6 分

(2)设 A={x|x≤a,或 x≥3a},B={x|x≤2,或 x>3},因为非 p 是非 q 的充分不必要条件, 所以 A ? B.所以 0<a≤2 且 3a>3,即 1<a≤2. 所以实数 a 的取值范围是(1,2].????12 分 ?
5 2 17.【解析】(Ⅰ)∵cosA= >0,∴sinA= 1 ? cos2 A ? ,又 5 cosC=sinB=sin(A+C)=sinAcosC 3 3

+sinCcosA=

5 2 cosC+ sinC. 整理得:tanC= 5 .????6 分 3 3
5 . cos C ? 6

(Ⅱ)由图辅助三角形知:sinC=

1 a c 又由正弦定理知: , ? sin A sin C 6

故 c ? 3 . (1)∴ ? ABC 的面积为:S=
5 . 2

1 1 5 5 ac sin B ? ? 2 ? 3 ? = .?????12 分 2 2 6 2

【答案】(Ⅰ)

5 ;(Ⅱ)

18.【解析】(Ⅰ) X 的可能取值有:3,4,5,6.????1 分
P( X ? 3) ? P( X ? 5) ?
3 C5 5 ? 3 C9 42 1 2 C5C4 15 ; ? 3 42 C9

P( X ? 4) ? P( X ? 6) ?

1 C52 C4 20 ? 3 42 C9 3 C4 2 .??????8 分 ? 3 C9 42

故,所求 X 的分布列为

X P

3
5 42

4
20 10 ? 42 21

5
15 5 ? 42 14

6
2 1 ? 42 21

????10 分 (Ⅱ) 所求 X 的数学期望 E(X)为:

E(X)= 3 ?

5 10 5 1 13 ? 4 ? ? 5 ? ? 6 ? ? .?????12 分 42 21 14 21 3

19.解法:(1)证明:由题可知,AP、AD、AB 两两垂直,则分别以 AB、AD、AP 所在直线为 x、y、z 轴建立 如图所示的空间直角坐标系,则 A(0,0,0),B(2 3,0,0),C(2 3,6,0),D(0,2,0),P(0,0,3), ∴ AP =(0,0,3), AC =(2 3,6,0), BD =(-2 3,2,0),
6

??? ?

??? ?

??? ?

∴ BD · AP =0, BD · AC =0.∴BD⊥AP,BD⊥AC. 又 PA∩AC=A,∴BD⊥平面 PAC. (2)显然平面 ABD 的一个法向量为 m=(0,0,1),设平面 PBD 的法向量为 n =(x,y,z),则 n· BD =0,n· BP =0.由(1)知, BP =(-2 3,0,3),

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

?-2 3x+2y=0, ∴? ?-2 3x+3z=0,

?y= 3x, ? 整理得? 2 3 ?z= 3 x. ?

令 x= 3, n=( 3, 则 3,2),

m·n 1 ∴cos〈m,n〉= = . |m||n| 2

∴平面 PBD 与平面 BDA 的二面角为 60°.

20. [解析] (1)由题意:当 0≤x≤20 时,v(x)=60;当 20≤x≤200 时,设 v(x)=ax+b,

? ?200a+b=0, 再由已知得? ? ?20a+b=60,

?a=-1, ? 3 解得? 200 ? ?b= 3 .

??????4 分

0≤x<20, ?60, ? 故函数 v(x)的表达式为 v(x)=?1 ?3? 200-x? , 20≤x≤200. ? 0≤x<20, ?60x, ? (2)依题意并由(1)可得 f(x)=?1 ?3x? 200-x? , 20≤x≤200. ?

????6 分

???8 分

当 0≤x≤20 时,f(x)为增函数,故当 x=20 时,其最大值为 60×20=1200;???9 分 1 1 x+? 当 20≤x≤200 时,f(x)= x(200-x)≤ [ 3 3 200-x? 2 10000 ]= ,???10 分 2 3

10000 当且仅当 x=200-x, x=100 时, 即 等号成立. 所以, x=100 时,(x)在区间[20,200]上取得最大值 当 f . 3 综上,当 x=100 时,f(x)在区间[0,200]上取得最大值 10000 ≈3333,????12 分 3

即当车流密度为 100 辆/千米时,车流量可以达到最大,最大值约为 3333 辆/小时.???13 分 2 2 21.解:(1)f(x)=-x +8x=-(x-4) +16. 2 2 当 t+1<4, t<3 时, (x)在[t, +1]上单调递增, (t)=f(t+1)=-(t+1) +8(t+1)=-t +6t+7; 即 f t h 当 t≤4≤t+1 即 3≤t≤4 时,h(t)=f(4)=16;当 t>4 时,f(x)在[t,t+1]上单调递减,h(t)=f(t)= 2 -t +8t.

?-t +6t+7,t<3, ? 综上,h(t)=?16,3≤t≤4, ?-t2+8t,t>4. ?
2

2

???????6 分

(2) 设 h( x) ? 8kx ? kf ( x) ? g ( x) ? kx ? x ? ln( x ? 1), x ? 0 则 h( x) ? 0 在 x ? [0,+?) 上恒成立, ? h( x) min ? 0

h / ( x) ? 2kx ?

1 2kx 2 ? 2kx ? x ?1 ? , x ?1 x ?1
7

① k ? 0 时, h ( x) ? 0 , h( x ) 在 [0, ??) 上减函数, h( x) ? h(0) ? 0 ;
/

所以,不等式 g ( x) ? 8kx ? kf ( x) 不恒成立;不合题意。???8 分

1 1 2kx ? 2kx ? x 时, h / ( x) ? 2kx ? ?1 ? ? 2 x ?1 x ?1 1 ? 2k 1 ? 2k 当 x ? (0, ) 时, h / ( x) ? 0 ,存在 x0 ? (0, ) ,使 h( x0 ) ? h(0) ? 0 2k 2k
②当 0 ? k ?
2

2kx( x ?

1 ? 2k ) 2k x ?1

? g ( x0 ) ? 8kx0 ? kf ( x0 ) ,所以, x ? [0, ??) 不等式 g ( x) ? 8kx ? kf ( x) 不恒成立,
不合题意;???10 分

1 / 时, h ( x) ? 0 , h( x ) 在 x ? [0, ??) 上为增函数,所以 h( x) ? h(0) ? 0 ;符合题意; 2 1 综上:存在 k ? [ , ??) 对任意的 x ? [0, ??) ,不等式 g ( x) ? 8kx ? kf ( x) 恒成立。???13 分 2
③当 k ?

8


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