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复数


高学数学

梦立方教育,圆你人生梦。

任课教师 学生姓名 辅导内容

李老师

学科 年级

数学 授

授课时间:

2015





辅导章节:复数

考试大纲

重点 难点 听课及知识掌握情况反馈:
课堂 检测

教学需:加快□;保持□;放慢□;增加内容□
课后 巩固 作业__________ 巩固复习____________________ ; 预习布置_________________

你学会了那些知识和方法:

课后学生 你对那些知识和方法还有疑问: 分析总结

签字

教务主任签字:

学习管理师:

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一.复数的定义 虚数与实数构成了一个新的数集, 我们把这个新的数集叫做复数集, 记作 这样我们就完成了数系的又一次扩充。我们把新的数系称作复数系。 该怎样用描述法表示集合 形如 叫做复数的虚部。 一个复数是由两部分组成的,如果两个复数的实部和虚部分别相等,我们就 说这两个复数相等,反之亦然,即 问题 6:实数与虚数组成了复数,那么 示实数,什么时候表示虚数呢? 这种形式,什么时候表 呢? 。

的数,我们把它们叫做复数,其中 叫做复数的实部,

二.例题

例题 1.判断下列各数哪些是实数、虚数、纯虚数,并指出它们各自的实部和 虚部。

例题 2.当

取何实数时,复数

是:

(1)实数

(2) 虚数

(3)纯虚数

(4)零

结论:
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三.虚数引入的必要性 通过前面的研究,大家对虚数已经有了初步的认识,然而历史上引入虚数, 可不是件容易的事, 是许多数学家 200 多年的努力,才奠定了虚数在数学领域的 地位。开始很多人都不承认虚数,就连科学家牛顿也不认为虚数有多少意义,他 认为虚数的引入只是为了使不可解的问题,显得像是可以解的样子。 事实并非如此,我们最开始研究的问题 1,就是 16 世纪,意大利数学家卡尔 达诺研究的一个著名问题:“将 10 分成两部分,使他们的乘积等于 40” 的变 形。这个问题就说明了虚数的存在性。 数十年后另一个意大利数学家邦贝力(R. Bombelli,1526-1573)发现,方 程 有三个实数根 4, 。邦贝力在利用三次方程求根公式求解 来表示的。

时,却发现实数 4 竟然是用

这个问题进一步说明了虚数不是虚无飘渺的,而是客观存在的。

四.复数的实际应用

在十六世纪,很多数学家不认可虚数,只不过因为那时人们对数的认识还不是很深刻, 负数和无理数才刚刚接受, 让他们接受负数可以开方就更难了。 而且那时也无法在现实世界 中找到任何可以支持虚数的事物。

不过经过许多数学家的深入研究与探索,现在复数理论越来越完善,它的重 要性也越来越明显。 在处理很多数学问题, 如代数、 分析、 几何与数论等问题中, 皆可看到复数的踪迹。

一些碎形就是基于复数理论基础上的。

这个图就是碎形——曼德勃罗集合,这是他的局部放大图。

复数更多的应用是作为一种数学工具,服务于各个领域。比如复数为证明机 翼上升力的基本定理起到了重要作用,为建立巨大水电站(如三峡水电站)提供 了重要的理论依据。

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复数还广泛的应用于物理学的各个分支, 比如在交流电,工程力学中的计 算,计算量子力学中的震荡波产生的影响,等等。

一考点阐释 复数的概念是复数理论的基础, 在解题活动中它经常是思维的突破口; 围绕复数的代数 形式和三角形式给出的两类运算, 体现了复数知识的广泛联系性和普遍渗透性, 这两种形式 及其运算也为我们处理复数问题提供了代数思考方法和三角思考方法; 复数概念及其运算的 几何意义,为我们从几何上处理复数问题或几何问题复数化提供了广阔的空间.正确地进行 复数各种形式间的转换, 选准复数的表示形式是灵活运用复数知识处理复数与三角、 复数与 几何、复数与方程综合题的关键.

课前练习 1.设 a ? R ,且 (a ? i) i 为正实数,则 a ? ( B )
2

A.2

B.-1

C.0

D.1

2.设 z 的共轭复数是 z ,或 z+ z =4,z· z =8,则 (A)1 (B)-i (C)±i (D) ±1

z 等于 ( C) z

3.在复平面内,复数 z ? sin 2 ? i cos 2 ,对应的点位于( D ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 4.复数 A. i

i (2 ? i ) 等于( C ) 1 ? 2i
B. ?i C.-1
2

D.1

5、已知 2i-3 是关于 x 的方程 2 x ? px ? q ? 0 的一个根。求实数 p,q 的值,并求出其余 的根。 【重点、难点突破】 一、例题讲解 [例 1]已知复数 z=(2m2 - 3m - 2) + (m2 - 2m)i(m∈R)是: (1) 实数;(2)虚数;(3)纯虚数;(4) z 对应的点在直线 x-y=0 上,求实数 m。

解:
( 1 )m ? 0或m ? 2, (2)m ? 0且m ? 2 1 (3)m ? ? (4)m ? 2或m ? ?1 2
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练习:若复数 a ? 3a ? 2 ? ?a ? 1?i 是纯虚数,则实数 a 的值为
2

?

?

A.1

B.2

C.1 或 2

D.-1

【知识小结】 本题重点复习了复数的概念及复数的分
z 1 ? 2i) z ? 4 ? 3i ,求 z及 。 [例 2] 把复数 z的共轭复数记为z,已知( z 1 2 3 4 5 6 7 8 (2)试求 i , i , i , i , i , i , i , i 的值。 ( 1 ) 解 : 设 复 数 z ? x ? yi, ( x, y ? R) , 代 入 已 知 等 式 中 , 利 用 复 数 相 等 可 以 求 得

z ? 2 ? i,

z z

?

3 4 ? i 5 5
i5 ? i, i 6 ? ?1, i 7 ? ?i, i8 ? 1

(2) i1 ? i, i 2 ? ?1, i3 ? ?i, i 4 ? 1 探究:(1)复数z= ?

2 1 ? 3i

,求 1+z+z2 的值;

(2)求 i n 的值 n ? N * 。 (1)

?

?

解:z ? ?

2 1 ? 3i

?

?2(1 ? 3i) 1 ? 3i ?? 2 (1 ? 3i)(1 ? 3i)

1? z ? z2 ? 1?

1 ? 3i 1 ? 3i 2 1 ? 3i ?1 ? 3i ? (? ) ? 1? ? ?0 2 2 2 2

(2)分类讨论 n。 【知识小结】 本例强调了复数代数形式的重要性,重点复习复数代数形式的的运算, 复数相等的充要条件。探究 2 体现了分类讨论的数学思想。

例 3、

已知复数 z1 ? 1 ? 2i ,复数 z2 ? 2 ? i ,在复平面内做出 z1, z2对应的点 ,并描述一下

z1 ? z2 , z1 ? z2 的意义 ?
) 解: 复数 z1应点Z1(1,2), z2对应点Z( 2 2,1

z1 ? z2 表示项量OZ的模 , z1 ? z2 表示项量Z1Z2的模,即Z1 , Z 2两点间的距离 。

二试题类编


1.(2003 京春文 7,理 3)设复数 z1=-1+i,z2=

z 1 3 i,则 arg 1 等于( ? 2 2 z2



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A.-

5 π 12

B.

5 π 12

C.

7 π 12

D.

13 π 12

2.(2003 上海春,14)复数 z= 可能位于( ) A.第一象限


m ? 2i (m∈R,i 为虚数单位)在复平面上对应的点不 1 ? 2i
C.第三象限 D.第四象限

B.第二象限

3.(2002 京皖春,4)如果θ ∈( ) B.θ +

? 2

,π ),那么复数(1+i)(cosθ +isinθ )的辐

角的主值是( A.θ +

9? 4

? 4

C.θ

?

?
4


D.θ +

7? 4

4.(2002 全国,2)复数(

1 3 3 i) 的值是( ? 2 2

A. -i B.i C.-1 D.1 5.(2002 上海,13)如图 12—1,与复平面中的阴影部分(含边界)对应的复数集合是 ( )

图 12—1



6.(2001 全国文,5)已知复数z=

1 2 ? 6i ,则 arg 是( z



A.

? 6

B.

11? 6

C.

? 3

D.

5? 3



7.(2000 京皖春文,11)设复数 z1=-1-i 在复平面上对应向量 OZ1 ,将 OZ1 按顺

时针方向旋转 ( ) A.2- C.2+
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5 π 后得到向量 OZ 2 ,令 OZ 2 对应的复数 z2 的辐角主值为θ ,则 tanθ 等于 6

3 3
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B.-2+ D.-2-
6

3 3

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8.(2000 全国,2)在复平面内,把复数 3- ) B.-2 D.3+

3 i 对应的向量按顺时针方向旋转

? 3



所得向量对应的复数是( A.2 C.


3 3 -3i

3i 3i

9.(2000 上海理,13)复数 z= ? 3(cos )

?
5

? i sin

?
5

) (i 是虚数单位)的三角形式是



A.3[cos( ?

?
5

)+isin( ?

?
5

)] B.3(cos

? 5

+isin

? 5



C.3(cos

4? 4? +isin ) 5 5

D.3(cos

6? 6? +isin ) 5 5

10.(2000 京皖春,1)复数 z1=3+i,z2=1-i,则 z=z1·z2 在复平面内的对应点位于 ( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 11.(2000 京皖春理,11)设复数 z1=2sinθ +icosθ (

? 4

<θ <

? ) 在复平面上对应 2

向量 OZ1 ,将 OZ1 按顺时针方向旋转 r(cos ? +isin ? ),则 tan ? 等于( A.

3 π 后得到向量 OZ 2 , OZ 2 对应的复数为 z2= 4
) B.

2 tan? 2 tan? ? 1 1 2 tan? ? 1

2 tan? ? 1 2 tan? ? 1 1 2 tan ? ? 1


C.


D.

12.(1998 全国,8)复数-i 的一个立方根是 i,它的另外两个立方根是(

A.

3 1 ? i 2 2
3 1 ? i 2 2

B. ?

3 1 ? i 2 2

C.±

D.±

3 1 ? i 2 2


(2 ? 2i) 4 13.(1996 全国,4)复数 等于( (1 ? 3i) 5
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A.1+ C.1-

3i 3i

B.-1+

3i 3i

D.-1-

14.(1994 上海,16)设复数 z=- 1 的正整数 n 中最小的是( A.3 B.4 )

1 3 i(i 为虚数单位),则满足等式 zn=z 且大于 ? 2 2
C.6 D.7 )

15.(1994 全国,9)如果复数 z 满足|z+i|+|z-i|=2,那么|z+i+1|的最小值是( A.1 二、填空题 16.(2003 上海春,6)已知 z 为复数,则 z+ z >2 的一个充要条件是 z 满足 17.(2002 上海,1)若 z∈C,且(3+z)i=1(i 为虚数单位),则 z= 18.(2001 上海春,2)若复数 z 满足方程 z i=i-1(i 是虚数单位),则 z=_____. 19.(1997 上海理,9)已知 a= . B.

2

C.2

D.

5



?3?i (i 是虚数单位),那么 a4=_____. 1 ? 2i

20.(1995 上海,20)复数 z 满足(1+2i) z =4+3i,那么 z=_____. 三、解答题 21.(2002 上海春,17)已知 z、w 为复数,(1+3i)z 为纯虚数,w=

z ,且|w| 2?i

=5

2 ,求 w.
22.(2002 江苏,17)已知复数 z=1+i,求实数 a,b 使 az+2b z =(a+2z)2.



23.(2001 全国理,18)已知复数 z1=i(1-i)3. (Ⅰ)求 argz1 及|z1|; (Ⅱ)当复数 z 满足|z|=1,求|z-z1|的最大值. 求其和为零的概率 P;

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24.(1999 全国理,20)设复数 z=3cosθ +i·2sinθ .求函数 y=θ -argz(0<θ <

? 2



的最大值以及对应的θ 值.



25.(1995 全国文,22)设复数 z=cosθ +isinθ ,θ ∈(π ,2π ).求复数 z2+z 的模和

辐角.



26.(1995 全国理,21)在复平面上,一个正方形的四个顶点按照逆时针方向依次为

Z1,Z2,Z3,O(其中 O 是原点),已知 Z2 对应复数 z2=1+

3 i,求 Z1 和 Z3 对应的复数.



27.(1994 全国理,21)已知 z=1+i,

(Ⅰ)设 w=z2+3 z -4,求 w 的三角形式.

(Ⅱ)如果

z 2 ? ax ? b =1-i,求实数 a,b 的值. z2 ? z ?1

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