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浙江省湖州、衢州、丽水三市2017届高三4月联考数学试题 Word版含答案


2017年4月湖州、衢州、丽水三地市教学质量检测试卷 高三数学
第Ⅰ卷(共 40 分) 一、选择题:本大题共 10 个小题,每小题 4 分,共 40 分.在每小题给出的四个选 项中,只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合 P ? {x ? R x ? 2}, Q ? {x ? R ?1 ? x ? 3} 则 P ? Q ? ( A.[-1,2) B.(-2,2) C. (-2,3] D. [-1,3] ) )

2. 已知复数 z ? i (2 ? i ) ,其中 i 是虚数单位,则 z 的模 z ? ( A. 3 B. 5 C.3 D. 5

3. 已知平面 ? 与两条不重合的直线 a , b ,则“ a ? ? ,且 b ? ? ”是“ a // b ”的( A.充分不必要条件 C. 充分必要条件 4. 已知实数 x , y 满足 ? A.-2 B.-1
7

)

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

? x ? y ? 0, 则 2 y ? x 的最大值是( ? x ? y ? 2 ? 0,
C.1
5

)

D. 2 )

5. 二项式 ( x ? 2) 的展开式中含 x 项的系数是( A.21 B.35 ) C.84 D.280

6. 下列命题正确的是(

A.若 ln a ? ln b ? a ? 3b ,则 a ? b ? 0 C. 若 ln a ? ln b ? 3b ? a ,则 a ? b ? 0
?

B.若 ln a ? ln b ? a ? 3b ,则 0 ? a ? b D.若 ln a ? ln b ? 3b ? a ,则 0 ? a ? b

7. 已知某口袋中有3个白球和 a 个黑球( a ? N ),现从中随机取出一球,再换回一个不 同颜色的球(即若取出的是白球,则放回一个黑球;若取出的是黑球,则放回一个白球), 记换好球后袋中白球的个数是 ? .若 E? ? 3 ,则 D? ? ( A. )

1 2

B.1

C.

3 2

D. 2

8. 已知 f ( x) 是定义在 R 上的函数,若方程 f ( f ( x)) ? x 有且仅有一个实数根,则 f ( x) 的解析式可能是( )

A. f ( x) ? 2x ? 1 D. f ( x) ? sin x

B. f ( x) ? e x

C. f ( x) ? x 2 ? x ? 1

9. 已知 O 是 ?ABC 的外心, ?C ? 45 ? ,则 OC ? mOA ? nOB (m, n ? R) ,则 m ? n 的 取值范围是( A. [? 2 , 2 ] ) B. [? 2 ,1) C. [? 2,?1) D. (1, 2 ]

10. 已知矩形 ABCD , AD ?

2 AB ,沿直线 BD 将 ?ABD 折成 ?A?BD ,使点 A? 在平面

BCD 上的射影在 ?BCD 内(不含边界).设二面角 A? ? BD ? C 的大小为 ? ,直线 A?D ,

A?C 与平面 BCD 所成的角分别为 ? , ? ,则(
A. ? ? ? ? ? B. ? ? ? ? ?

) D. ? ? ? ? ?

C. ? ? ? ? ?

第Ⅱ卷(共 110 分) 二、填空题(每题 5 分,满分 36 分,将答案填在答题纸上)
11. 双曲线 x ?
2

y2 ? 1 的焦距是 3

,离心率是



12.在 ?ABC 中,内角 A , B ,C 所对的边分别是 a ,b ,c .若 a ? 7 ,c ? 3 , A ? 30? , 则b ? , ?ABC 的面积 S ? .

13. 某几何体的三视图如图所示(单位: cm ),则该几何体的体积是 面积是

cm3 ,表

cm2 .

2 2 14.已知圆 C : ( x ? a) ? ( y ? b) ? 2 ,圆心 C 在曲线 y ?

1 ( x ? [1,2]) 上.则 x


ab ?

,直线 l : x ? 2 y ? 0 被圆 C 所截得的长度的取值范围是

15. 6个标有不同编号的乒乓球放在两头有盖的棱柱型纸盒中,正视图如图所示,若随机从

一头取出一个乒乓球,分6次取完,并依次排成一行,则不同的排法种数是 数字作答).

(用

16. 已知等差数列 {an } ,等比数列 {bn } 的公比为 q(n, q ? N ? ) ,设 {an } ,{bn } 的前 n 项和 分别为 S n , Tn .若 T2 n ? 1 ? S q n ,则 an ? .

17. 已知函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? c (a, b, c ? R) ,若存在实数 a ? [1,2] ,对任意 x ? [1,2] , 都有 f ( x) ? 1 ,则 7b ? 5c 的最大值是 .

三、解答题 (本大题共 5 小题,共 74 分.解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤.)
18. 函数 f ( x) ? 2 sin(?x ? ? ) (? ? 0,0 ? ? ?

?
2

) 的部分图象如图所示, M 为最高点,该

图象与 y 轴交于点 F (0, 2 ) ,与 x 轴交于点 B , C , 且 ?MBC 的面积为 ? .

(Ⅰ)求函数 f ( x) 的解析式; (Ⅱ)若 f (? ?

?
4

)?

2 5 ,求 cos 2? 的值. 5

19. 如图,在三棱柱中 ABC ? DEF ,点 P ,G 分别是 AD , EF 的中点,已知 AD ? 平面

ABC , AD ? EF ? 3 , DE ? DF ? 2 .

(Ⅰ)求证: AD ? 平面 BCEF ; (Ⅱ)求 PE 与平面 BCEF 所成角的正弦值. 20. 设函数 f ( x) ? e x ? ax ? b (a, b ? R) . (Ⅰ)若 a ? b ? 1 ,求 f ( x) 在区间[-1,2]上的取值范围; (Ⅱ)若对任意 x ? R , f ( x) ? 0 恒成立,记 M (a, b) ? a ? b ,求 M (a, b) 的最大值.

21. 已知点 P (t , ) 在椭圆 C :

1 2

x2 ? y 2 ? 1 内,过 P 的直线 l 与椭圆 C 相交于 A , B 两点, 2

且点 P 是线段 AB 的中点, O 为坐标原点.

(Ⅰ) 是否存在实数 t , 使直线 l 和直线 OP 的倾斜角互补?若存在, 求出 t 的值, 若不存在, 试说明理由; (Ⅱ)求 ?OAB 面积 S 的最大值.
2 an 1 22. 数列 {an } 中, a1 ? , a n ?1 ? 2 (n ? N ? ) 2 an ? an ? 1

(Ⅰ)求证: an?1 ? an ; (Ⅱ)记数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,求证: S n ? 1 .

2017 年4 月湖州、衢州、丽水三地市教学质量检测 高三数学试卷参考答案及评分标准 一、选择题
1-5:ABACC 6-10:CBDBD

二、填空题
11.4,2 12.1 或 2, S ?

3 3 3 3 或S ? ; 4 2

13.3, 11? 5 ;

14.1, [

2 5 2 10 , ] ; 5 5

15.32;

16. an ? 2n ? 1 ;

17.-6

三、解答题
18.解:( Ⅰ)因为 S ?ABC ? 所以周期 T ? 2? ? 由 f (0) ? 2 sin ? ? 因为 0 ? ? ?

2?

1 ? 2 ? BC ? BC ? ? , 2

?

, ? ? 1,

2 ,得 sin ? ?

2 , 2

?
2

,所以 ? ?

?
4

,

所以 f ( x ) ? 2 sin( x ? (Ⅱ)由 f (? ?

?
4

);
5 2 5 ,得 sin ? ? , 4 5

?
4

) ? 2 sin ? ?
2

所以 cos 2? ? 1 ? 2 sin ? ?

3 . 5

19. 解:(Ⅰ)证明:因为 AD ? 平面 ABC ,所以 AD ? DG , 所以 BF ? DG , 因为 DE ? DF , G 是 EF 的中点,所以 EF ? DG , 又 BF ? EF ? F ,所以 DG ? 平面 BCEF ;

(Ⅱ)取 BC 的中点 H ,连 HG ,取 HG 的中点 O ,连接 OP , OE , 因为 PO // DG ,所以 PO ? 平面 BCEF , 所以 ?OEP 是 PE 与平面 BCEF 所成的角, 由已知得, PE ?

5 7 , OP ? , 2 2

所以 sin ?OEP ?

OP 7 .? PE 5

20. 解:(Ⅰ)当 a ? b ? 1 时, f ( x) ? e x ? x ? 1 ,

f ?( x) ? e x ? 1 , f ?( x) ? e x ? 1 ? 0 的根是 x ? 0 ,且
当 x ? 0 时, f ?( x) ? 0 ,当 x ? 0 时, f ?( x) ? 0 , 所以 f ( x) 在(0,2)上单调递增,在(-1,0)上单调递减. 所以 f ( x) min ? f (0) ? 2 , f ( x) max ? max{f (?1), f (2)} ? e ? 1,
2 2 所以 f ( x) 在区间[-1,2]上的取值范围是 [2, e ? 1] .
x (Ⅱ) f ( x) ? 0 恒成立,即 e ? ax ? b 恒成立,易知 a ? 0 ,

若 a ? 0 ,则 ? b ? 0 ,即 a ? b ? 0 ,
x x 若 a ? 0 ,由 e ? ax ? b 恒成立,即 b ? ?e ? ax恒成立,

即 a ? b ? e ? ax ? a 恒成立,
x

x 令 g ( x) ? e ? ax ? a ,则 g ?( x) ? e x ? a ,当 x ? ln a 时, g ?( x) ? 0 ,

当 x ? ln a 时, g ?( x) ? 0 ,当 x ? ln a 时, g ?( x) ? 0 ,所以

g ( x) 在 (??, ln a) 上单调递减,在 (ln a,??) 上单调递增.
所以 g ( x) min ? g (ln a) ? 2a ? a ln a , 从而, a ? b ? 2a ? a ln a ,令 h(a) ? 2a ? a ln a ,

因为, h?(a) ? (2a ? a ln a)? ? 2 ? ln a ? 1 ? 1 ? ln a , 所以, e 是 h(a) 的极大值, 所以 h(a) ? h(e) ? e ,故 a ? b 的最大值是 e . 21. 解:(Ⅰ)存在. 由题意直线 l 的斜率必存在,设直线 l 的方程 是y?

1 ? k (x ? t) 2

代入 x 2 ? 2 y 2 ? 2 得:

1 1 (1 ? 2k 2 ) x 2 ? 4k (? kt ? ) x ? 2(?kt ? ) 2 ? 2 ? 0 .(1) 2 2 1 4k (kt ? ) 2 ? 2t , 设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) ,则 x1 ? x2 ? 2t ,即 2 1 ? 2k
解得: k ? ?t ,

1 1 ) x ? 2(t 2 ? ) 2 ? 2 ? 0 2 2 3 2 2 2 由 ? ? ?8t ? 8t ? 6 ? 0 解得, 0 ? t ? , 2
2 2 此时方程(1)即 (1 ? 2t ) x ? 4k (t ?
2

(或由

3 t2 1 ? ? 1 解得, 0 ? t 2 ? ) 2 2 4

当 t ? 0 时,显然不符合题意; 当 t ? 0 时,设直线 OP 的斜率为 k 1 ,只需 k1 ? k 2 ? 0 ,



1 2 ? (?t ) ? 0 ,解得 t ? ? ,均符合题意. 2t 2
2

(Ⅱ)由(1)知 l 的方程是 y ? ?tx ? t ? 所以 S ?

1 , 2

1 2 1 (t ? ) x1 ? x 2 , 2 2

?

1 2 1 (t ? ) 2 2

? 8t 4 ? 8t 2 ? 6 1 ? 2t 2

?

1 ? 8t 4 ? 8t 2 ? 6 , 4
2

因为 0 ? t ?

3 1 2 2 ,所以当 t ? 时, S max ? . 2 2 2

22.证: (1)因为 an ? an ? 1 ( a n ? ) ?
2

2

1 2

3 1 ? 0 ,且 a1 ? ? 0 ,所以 an ? 0 , 4 2

所以 an?1 ? an ?

an
2

2

an ? an ? 1

? an

?

? an (an ? 1) 2 an ? an ? 1
2

?0

所以, an?1 ? an , n ? N ? . (2) an ?

an?1 1 ? 2 an?1 ? an?1 ? 1 1 ? 1 ? 1 2 a n ?1 a n ?1
1
2 an ?1

2

? ?

1 1 a n ?1 ?

?

1 1 1 ? ? 1 1 1 1 ( ? 1) ?1 a n ?1 a n ?1 a n ?1 a n ?1
1 ? 1 an?2 ? 1
2 an ?2

? -a n?1 ?

? -an?1 ? an?2 ?

1 ? 1 a n ?3 ? 1 a
2 n ?3

? ... ? -an?1 ? an?2 ? ... ? a1 ?

1 1 ?1 a1

? 1 - an?1 ? an?2 ? ... ? a1 ,所以 S n ? 1 .
(Ⅱ)证法 2: 1 - an?1 ?
2

an
2

2

an ? an ? 1

?

1 - an an ? an ? 1
2



a ? an ? 1 1 1 ? n ? - an . 1 - a n ?1 1 - an 1 - an
an ? 1 1 ? , 1 ? a n 1 - a n?1 1 , 1 - an ?1

a1 ? a2 ? ... ? an ? 2 ?

an ? 0 ,
所以 S n ? a1 ? a2 ? ... ? an ? 2 ?

1 ? 1. 1 - a n ?1


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