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2012年全国高中数学联赛全真模拟卷


2012 年全国高中数学联赛全真模拟卷
一:填空题(每题 8 分,共 8 题) 1、直线 l 在 x 轴与 y 轴上的截距相等,且到点 P(5,6)的距离为 6,则这样的直线共 2、 ? ? n ? 表示 n 的个位数, a n ? ? ?n
2

条. .

? ? ? ?n ? ,则数列 ?a ? 的前 2006 项

之和 S2006=
n

3、已知 cos ? ? cos ? ? 2 m , sin ? ? sin ? ? 2 n ,则 cot ? cot ? =



4、曲线 x 2 ? my 2 ? 1 ,焦点 F1、F2 及准线 ? 1 、 ? 2 与 x 轴交点 K1、K2,这四个点在 x 轴上等距 排列,则 m 的值为 .
f ( b ) ? f ( a ? b ) ? ab ? 1 ,则抛物线 y ? f ( x )

5、二次项三项式 f ? x ? 满足对任意 a、b ? R, f ( a ) ? 顶点的轨迹方程为 .



6、方程 x 2 ? x ? y 4 ? y 3 ? y 2 ? y 的整数解为

. .

7、若数列 ?a n ? 满足 a n ? 2 ? 3 a n ? 1 ? 2 a n ? 2 n ,且 a 1 ? 0 , a 2 ? 1 ,则 a 2006 =

8.若实数 a , b , x , y 满足: ax ? by ? 3, a x 2 ? b y 2 ? 7 , a x 3 ? b y 3 ? 1 6 , a x 4 ? b y 4 ? 4 2 , 则 a x 5 ? b y 5 ? __ 二:解答题: 9、 (16 分)已知:定义在 ? ? ? , 4 ? 上的减函数 f ? x ? ,使得 f ? m ? sin x ? ? f 对一切实数 x 均成立,求实数 m 的范围. ____.

?

1 ? 2m ?

7 2 ? co s x 4

?

10、 (20 分)数列 ? a n ? 中, a n ? n 3 ? ? ? n 2 ? i 2 ? ,求该数列前 n 项和 S n .
2 i ?1

99

第 1



交流 学习 提高

11、 (20

分)椭圆 C 1 :

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1 ? a ? b ? 0 ? 的左、右焦点分别为 F1 、 F2 ,右顶点为 A

, P 为椭

圆 C 1 上任意一点,且 P F1 ? P F2 最大值的取值范围是 ? c 2 , 3 c 2 ? ,其中 c ? a 2 ? b 2 . ? ? ⑴求椭圆 C 1 的离心率 e 的取值范围; ⑵设双曲线 C 2 以椭圆 C 1 的焦点为顶点,顶点为焦点, B 是双曲线 C 2 在第一象限上任意一点, 当 e 取得最小值时,试问是否存在常数 ? ? ? ? 0 ? ,使得 ? B A F1 ? ? ? B F1 A 恒成立?若存在求出
? 的值;若不存在,请说明理由.

???? ???? ?

二试: 一、 (40 分)圆 O 是△ A B C 的内切圆. D 、 E 、 F 是 B C 、 C A 、 A B 上的切点, D D ? , E E ? ,
F F ? 都是圆 O

的直径.求证: A D ? , B E ? , C F ? 共点.

二、 (40 分)若 x , y , z 是正实数,且 xy ? yz ? zx ? xyz ,求 x 7 ( yz ? 1) ? y 7 ( zx ? 1) ? z 7 ( xy ? 1) 的最小值.

第 2



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三、 (50 分)证明:对于大于 2 的任意正整数 a ,存在无限多个 n ? N * .使得 n | a n ? 1 .

四、 (50 分)设 n ? N ? ,把集合{1,2,…,n}分拆为两个非空集合 A 与 B(即有 A∩B=Φ , A∪B={1,2,…,n}) ,使得对 A 中任意两个不同的元素 a、b,有 a ? b ? A ;对 B 中任意两 个不同的元素 c、d,有 cd ? B .求 n 的最大可能值,使得存在满足题意的分拆.

第 3



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2012 年全国高中数学联赛全真模拟答案
1、简解:y=0,y+x=11± 2 ,共 3 条 6 2、10.解析:∵an 是一个以 10 为周期的数列,而 ? a i ? 0,故 S2006=S6= ? a i ? 10.
i ?1 i ?1 10 6

?m 3、 ?m

2

?n ?n

2

2

2

? ?

2

?n ?m

2

2

2

.简解:令 A ?cos ? , sin ? ? ,B ?cos ? , sin ? ? ,则知 A,B 在圆 x ? y ? 1 上,AB
2 2

中点 C(m,n) m ? ,

1 2

?sc o

? ? sc o

? ?,n ?

1 2

?sin

? ? sin ? ? ,且 koc=
m n m
2

n m

,kAB=-

m n

,AB⊥OC,由

射 影 定 理 及 C ( m , n ), 知 AB : y ? ?
2 ? m ?1 ? 2 ? n ? 2 2 2 2 ? 2 2m m ? n n ?m ?x ? x? 2 2 ? n n ?

x?

?n n

2

, 并 代 入 圆 的 方 程 , 得

?

?

?

?

2

?n

2

? 0.

cos ? , cos ? 为此方程两根,∴有 cos ? cos ? ?

?n
2

2

?m m
2

2

?

2

?n
2

2

?n



sin ? sin ? ?

?m

2

?n m
2

2

?

2

?m
2

cot ? cot ? ?

以 y 为主元,同理有

?n

,∴

?m ?m

2

? n ? n

2

2

2

? ?

2

?n ?m

2

2

2



4、当 m ?

1 2

、?

3 2

.简解:当 m>0,曲线为双曲线,显然点 F1、F2 与点 K1、K2 分别关于原
2

点 0 对称,且 OF 2 > OK

,不妨设点 K2、F2 在 y 轴右侧.
F1 K 1 ? K 1 K 2 ? K 2 F 2 ? d

由已知点 K1、K2 、F1、F2 等距排列,可得 ∴ K 2O ?
? ? ? K2 ? ? ?
1 2 K 1K 2 ? d 2


? 1 ?

, ? OF 2 ?

3 2

d ? 3 OK

2

由 曲 线 方 程 推 得 F 2 ? 1 ? ,0 ? , ? m ? ? ?

? ? 1 ? ,0 ? ? 1 ? 1? m ?

1?

1 m

? 3?

1 1? 1 m

? m ?

1 2

。当 m<0 时,曲线为焦点在 x 轴上的椭圆,显然

点 F1 、 F2 与 K1 、 K2 分 别 关 于 原 点 0 对 称 , 且 OK
1 1? 1 m ? 3? 1 1? 1 m ? m ? ? 3 2

2

> OF 2 . 同 理 得

.综上得 m ?

1 2

,?

3 2



5、 y ? ?

1 2

x ? 1 ,解析:令
2

a=b=0,得 2 f (0) ? f (0) ? 1
第 4 页 交流 学习 提高

∴ f (0) ? ? 1 ,设 f ? x ? ? px 2 ? qx ? 1 ,比较两边 a、b 项的系数得 p ? 实数,即 f ? x ? ? 方程为 y ? ?
1 2
2

1 2

,而观察知 q 可取一切
1 2 q
2

1 2

x

2

? qx ? 1 ?

1 2

? x ? q ?2

?

1 2

q

2

? 1 顶点坐标为(-q,-

?1) ,故所求

x ?1

6、 (0,-1)(-1,-1)(0,0)(-1,0)(-6,2)(5,2) , , , , ,

? 简解: 2 x ? 1 ? ? 4 ? y 4 ? y 3 ? y 2 ? y ? ? 1 = ?2 y 2 ? y ? 1 ? ? y 2 ? 2 y ? ?2 y 2 ? y ? ? 3 y 2 ? 4 y ? 1
2

2

2

从而 y>2 或 y<-1 时,有(2y2+y) < ? 2 x ? 1 ? < ?2 y 2 ? y ? 1 ?
2

2

矛盾

∴-1≤y ≤2。当 y=-1 时,x=0,-1;y=0 时,x=0,-1;y=2 时,x=-6,5,共 6 组. 7、 501 ? 2 2007 ? 1 ,简解: ?a n ? 2 ? 2 a n ? 1 ? ? ? a n ? 1 ? 2 a n ? ? 2 n 令 b n ? a n ?1 ? 2 a n 则 b n ?1 ? b n ? 2 n ∴ b n ? b1 ?
a n ?1 2
n

? ?b
k ?2

n

k

? b k ?1 ? ? 2 ? 1
n

即 a n ?1 ? 2 a n ? 2 n ? 1 得

?

an 2
n ?1

?1?

1 2
n



an 2
n ?1

? a1 ?

??
k ?1

n ?1

? a k ?1 ? 2
k

?

ak ? 1 ? n ? 2 ? n ?1 k ?1 ? 2 2 ?

∴ a n ? ? n ? 2 ? ? 2 n ?1 ? 1 ∴ a 2006 ? 2004 ? 2 2005 ? 1 ? 501 ? 2 2007 ? 1
7 2 ? ? 9、由题意可得 ? m ? sin x ? 1 ? 2 m ? 4 ? co s x , ? m ? sin x ? 4 . ?

8.20. 因为 a x 3 ? b y 3 ? 1 6 ,所以 ( a x 3 ? b y 3 )( x ? y ) ? 1 6 ( x ? y ) . 所以 ( ax 4 ? by 4 ) ? xy ( ax 2 ? by 2 ) ? 16( x ? y ) .即 42 ? 7 xy ? 16( x ? y ) ……⑴ 因为 a x 2 ? b y 2 ? 7 ,所以 ( a x 2 ? b y 2 )( x ? y ) ? 7 ( x ? y ) . 所以 ( ax 3 ? by 3 ) ? xy ( ax ? by ) ? 7 ( x ? y ) .即 16 ? 3 xy ? 7 ( x ? y ) ……⑵ 由⑴、 ⑵,解得 x ? y ? ? 14 ,xy ? ? 38 . 又因为 a x 4 ? b y 4 ? 4 2 , 所以 ( ax 4 ? by 4 )( x ? y ) ? 42( x ? y ) . 所以 ( ax 5 ? by 5 ) ? xy ( ax 3 ? by 3 ) ? 42( x ? y ) .所以 a x 5 ? b y 5 ? 4 2 ( x ? y ) ? 1 6 xy ? 2 0 . 注:用递归数列也可求解.
3 2 ? ? 即 ? m ? 1 ? 2 m ? ? sin x ? sin x ? 4 , 对 x ? R 恒 成 立 , ? m ? 4 ? sin x . ?

又 ? sin 2 x ? sin x ? 3 ? ? (sin x ? 1 ) 2 ? 1 ,所以 4 ? sin x ? 3 .
4 2 2
第 5 页 交流 学习 提高

1 1 ? ? ? ? 所以 ? m ? 1 ? 2 m ? ? 2 , 所以 ? m ? 2 ? 1 ? 2 m , 所以 m ? ? 1 ,或 3 ? m ? 3 . 2 2 ?m ? 3. ?m ? 3. ? ?

10、 a n ? n 3 ? ? ( n 2 ? i 2 ) 2 ? ( n ? 9 9 ) 2 ( n ? 9 8) 2 ...( n ? 1) 2 n 2 ( n ? 1) 2 ...( n ? 9 8) 2 ( n ? 9 9 ) 2
i ?1

99

?

1 2 2 2 2 2 [( n ? 1 0 0 ) ? ( n ? 1 0 0 ) ] ? ( n ? 9 9 ) ? ( n ? 9 8) ...( n ? 9 9 ) , 400 400

所以 S n ? S n ?1 ? 1 ( n ? 1 0 0 ) 2 ? ( n ? 9 9 ) 2 ? ( n ? 9 8) 2 ...( n ? 9 9 ) 2
? 1 2 2 2 2 ( n ? 9 9 ) ? ( n ? 9 8) ...( n ? 9 9 ) ( n ? 1 0 0 ) 400



即得 S n ? 1 ( n ? 1 0 0 ) 2 ? ( n ? 9 9 ) 2 ? ( n ? 9 8) 2 ...( n ? 9 9 ) 2
400 ? S n ?1 ? 1 2 2 2 2 ( n ? 9 9 ) ? ( n ? 9 8) ...( n ? 9 9 ) ( n ? 1 0 0 ) . 400 400 ( ? 1 0 0 ) ?( n ? n
2 2

所 以 新 数 列 {S n ? 1
S1 ?

?9 n9?)

(

2

n9 8 ) . . 是 ? . (
2

9 ) } 常 数9数 列 , 其 首 项 为

1 1 2 2 2 2 ? 0 ? 0 .所以 S n ? ( n ? 1 0 0 ) ? ( n ? 9 9 ) ? ( n ? 9 8) ...( n ? 9 9 ) 400 400
99



2 即 S n ? n (n ? 100)2 ? ? (n 2 ? i2 )2 .

400

i ?1

11、⑴设 P ? x , y ? ,又 F1 ? ? c , 0 ? , F2 ? c , 0 ? , ∴ P F1 ? ? ? c ? x , ? y ? , P F 2 ? ? c ? x , ? y ? . P F1 ? P F2 ? x 2 ? y 2 ? c 2 . 又 x2 ?
a
2

????

???? ?

???? ???? ?

y b

2 2

? 1 ,得 y ? b ?
2 2

b x a
2

2

2

,0 ? x ? a
2

2



2 ???? ???? ? ∴ P F1 ? P F 2 ? ? 1 ? b 2 ? x 2 ? b 2 ? c 2 ? c 2 x 2 ? b 2 ? c 2 . ? 2 ?

?

a ?

a

∴当 x 2 ? a 2 时 P F1 ? P F2

???? ???? ?
m ax

?b

2

, c 2 ? b 2 ? 3c 2 , c 2 ? a 2 ? c 2 ? 3c 2 .
2 2

2 ∴ 1 ? c 2 ? 1 ,即 1 ? e 2 ? 1 .∴ 1 ? e ?

4

a

2

4

2

2



2 2 y ⑵当 e ? 1 时, a ? 2 c , b ? 3 c .∴ C 2 : x 2 ? 2 ? 1 , A ? 2 c , 0 ? .

2

c

3c

设 B ? x 0 , y 0 ? , ? x 0 ? 0, y 0 ? 0 ? ,则

x0 c

2

2

?

y0 3c

2 2

? 1.

当 A B ? x 轴时, x 0 ? 2 c , y 0 ? 3 c ,则 tan ? B F1 A ? 3 c ? 1 .故 ? B F1 A ? ? .
3c 4
第 6 页 交流 学习 提高

故 ? B A F1 ? ? ? 2 ? B F1 A ,猜想 ? ? 2 ,使 ? B A F1 ? ? ? B F1 A 总成立.
2

当 x 0 ? 2 c 时, tan ? B A F1 ?

? y0 x0 ? a

?

? y0 x0 ? 2 c

, tan ? B F1 A ?

y0 x0 ? c



2 y0

∴ tan 2 ? B F1 A ?

2 tan ? B F1 A 1 ? tan ? B F1 A
2

?

x0 ? c ? y0 ? 1? ? ? ? x0 ? c ?
2



又 y 0 2 ? 3c 2 ?

? x0 2 ? c
2

? 2 2 ? 1 ? ? 3 ? x0 ? c ? , ?
2 y0 ? x0 ? c ? ? ? y0
2

∴ tan 2 ? B F1 A ?

? x0

? c ? ? 3 ? x0 ? c
2 2

2

?

x0 ? 2 c

? tan ? B A F1 .

又 2 ? B F1 A 与 ? B A F1 同在 0 , ? ? ? , ? 内, ∴ 2 ? B F1 A = ? B A F1 ,故存在 ? ? 2 ,使 ? B A F1 ? ? ? B F1 A 恒成立.

? 2? ?2 ?

二试答案
一、 设直线 A D ?, B E ?, C F ? 交 B C , C A , A B 于 A ?, B ?, C ? . D ? 作圆 O 的切线交 A B , A C 于 M , N . 过 显 然 M N / / B C ? △ A M D ? ∽ △ A B A ?,△ A D ?N ∽ △ A A ? C .
? ? ? ? ? 则 M D ? A D ? D N ? B A ? M D ……⑴ B A? A A? A ?C A ?C D ?N

连结 O M , O N ,记圆 O 半径为 r .易证 B 、 D 、 O 、 F 与 C 、 D 、 O 、 E 分别共圆,则
? F O D ? ? ? B, ? E O D? ? ? C .

所以 ? M O D ? ? 1 ? F O D ? ? 1 ? B , ? N O D ? ? 1 ? E O D ? ? 1 ? C .
2 2 2 2 ? ? 因为 M D ? tan ? M O D ? ? tan B , N D ? tan ? N O D ? ? tan C , r 2 r 2

所以

MD? ? D ?N

B 2 C tan 2 tan

……⑵将⑵代入⑴得:

B A? ? A ?C

B 2 C ta n 2 ta n



同理可知:

CB? ? B ?A

ta n

C 2 A ta n 2



AC ? ? C ?B

A 2 B ta n 2 ta n

? ? ? .此时 B A ? C B ? A C ? 1 .根据塞瓦逆定理,可知 A ?C B ?A C ?B

A A ?, B B ?, C C ? 三线共点.即 A D ?, B E ?, C F ? 共点.

第 7



交流 学习 提高

?x ? a ? b ? c ? a ? 1 1 1 a?b?c 二、由题设条件得: ? ? ? 1 ,设 ? y ? x y z b ? a?b?c ?z ? c ?

其中 a , b , c 是正实数,

则左边 ?

?

7 2 ? (a ? b ? c) ? (a ? b ? c) ? 1? 7 ? bc a ? ?

?

?

(a ? b ? c) a
7
7

7

?

a ? b ? c ? ab ? ab ? bc ? ac ? ac bc
2 2 2

7

6

5

5

7

6

5

5

?

?

3 (abc) 3 8a 8 b 8 c 8 7 3 ? ? 3 ?8 ?3 7 bc a

?

(abc) 3 a 8b 8 c 8 a bc
7

? 8?3

8



当且仅当 a ? b ? c 时,即 x ? y ? z ? 3 时取等号. 三、不妨设 p 为 a ? 1 的一个素因子,则我们证明 p k a p ? 1 (其中 k ? N * ) . 由于 a
p
k

k

? 1 ? [( a ? 1) ? 1]
k k

p

k

? 1 ? p ( a ? 1) ?
k

m?2

?C
m

p

k

m p
k

( a ? 1)

m



m 而 C p ( a ? 1) m ?
k

p ( p ? 1)...( p ? m ? 1)
k

m!

( a ? 1)

, m ! 中含有素因子 p 的个数为
m ,所以 C p ( a ? 1) m 中含有素因子 p 的个数大
k

?m ? ?m ? ? m ? m m m ? ? ... ? ? t ? ? ... ? ? ... ? t ? ... ? ? p ? ? p2 ? p p ?1 p ? p ? ? ? ? ?

于 k ? m ? m 个,又 k ? m ? m ? k p ?1 p ?1
k

m ,所以 C p ( a ? 1) 可以被 p 整除, ? C p ( a ? 1) m 可以被

p

k

m

m

k

k

k

m?2

p

整除,因此 a

p

k

? 1 ? p ( a ? 1) ?
k

m?2

?C

p

k

m p
k

( a ? 1)

m

可以被 p k 整除.由于 k 有无穷多个,所以,原

命题成立. 四、 (1)若 1∈B,∵1×2=2,1×3=3,1×5=5,∴2,3,5∈A 或 n≤4.假设 n≥5,则 ∴2,3,5∈A,2+3=5,与题意矛盾! (2)当 1∈A,2∈B,不防假定 n≥4. 当 3∈A 时,∵1+3=4,∴4∈B. ∵2,4∈B,2×4=8,∴8∈A 或 n≤7. 当 n≥8 时,∵1,3,8∈A,3+5=8,1+8=9,∴5,9∈B 或 n≤8. 当 n≥9 时,∵2,5∈B,2×5=10,∴10∈A 或 n≤9. 当 n≥10 时,∵8,10∈A,8+10=18,∴18∈B 或 n≤17.
第 8 页 交流 学习 提高

设 n≥18 时,由于 2,9,18∈B,2×9=18,所以产生矛盾! ∵3∈A 时,n≤17. 当 n≥6 时,∵1,6∈A,1+5=6,1+6=7,∴5,7∈B 或 n≤6. 当 n≥7 时,∵2,5,7∈B,2×5=10,2×7=14. ∴10,14∈A 或 n≤13. 当 n≥14 时,∵6,14∈A,6+8=14,∴8∈B. ∵2,8∈B,2×4=8,∴4∈A.但 4,6,10∈A,4+6=10,矛盾! ∴当 3∈B 时,n≤13. (3)若 1∈A,2∈A,不防假设 n≥18,则由 1+2=3 知 3∈B. 当 4∈B 时,∵3,4∈B,3×4=12,∴12∈A. ∵2,12∈A,2+10=12, ∴10∈B ∴3,10∈B,3×10=30, ∴30∈A 或 n≤29. 当 n≥30 时,∵2,12,30∈A,2+28=30,12+18=30, ∴18,28∈B. ∵3,18∈B,3×6=18,∴6∈A.∵4,28∈B,4×7=28,∴7∈A. 但 1,6,7∈A,1+6=7,矛盾!故 n≤29. 当 4∈A 时,∵1+4=5,2+4=6,∴5,6∈B. ∵3,5,6∈B,3×5=15,3×6=18,∴15,18∈A. ∵4,15∈A,∵4+11=15,∴11∈B. 若 n≥33,∵15,18∈A,15+18=33,∴33∈B. ∵3,11∈B,3×11=33,∴33∈A,与 33∈B 矛盾!故 n≤32. (1)(2)(3)说明:nmax≤32. 、 、 (4)使 n=32 成立的例子有: A={1,2,4,15,18,21,24,27,30},B={1,2,3,…,32}/A. 其中,A 中 1+2=3,1+4=5,2+4=6,而任意一个不小于 15 的数加上另一个数,或 者大于 30,或者大于 15 且不是 3 的倍数,这些都不属于 A. 再考虑 B 中,若取出的两数的积在 33 以内,则两数中必有 3 或 6(否则,若 3 与 6 均不 在其中,则两数之积不小于 5×7>32) ,易知此积必为不小于 15 的 3 的整倍数,但这些都不 在 B 中. 由此上述例子成立.综上可知:nmax=32.

第 9



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