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2012年山东数学高考理科数学试题及解析


2012 年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷) 理科数学
本试卷分第 I 卷和第 II 卷两部分,共 4 页。满分 150 分。考试用时 120 分钟,考试结束,务必将试卷 和答题卡一并上交。 第 I 卷(共 60 分) 一、 选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的。 1. 若复数 z 满足 z ( 2 ? i ) ? 11 ? 7 i ( i 为虚数单位),则 z 为 A 3+5i B 3-5i C -3+5i D -3-5i

2.已知全集 ? ={0,1,2,3,4},集合 A={1,2,3,},B={2,4} ,则(CuA) ? B 为 A {1,2,4} B {2,3,4} C {0,2,4} D {0,2,3,4}

3.设 a ? 0 , a ? 1 ,则“函数 f ( x ) ? a 在 R 上是减函数 ” ,是“函数 g ( x ) ? ( 2 ? a ) x 在 R 上是增函数”
x 3

的 A 充分不必要条件 分也不必要条件

B 必要不充分条件

[来源:学,科,网 Z,X,X,K]C 充分必要条件

D 既不充

2 ? 960 4.采用系统抽样方法从 960 人中抽取 32 人做问卷调查,为此将他们随机编号为 1,, , ,分组后在第一

450 组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为 9 ,抽到的 32 人中,编号落入区间 ?1, ? 的人做问卷 A ,编号 750 落入区间 ?451 , ? 的人做问卷 B ,其余的人做问卷 C .则抽到的人中,做问卷 B 的人数为

(A)7

(B)9

(C)10

(D)15

? x ? 2y ? 2 ? 5.设变量 x , y 满足约束条件 ? 2 x ? y ? 4 ,则目标函数 z ? 3 x ? y ?4 x ? y ? ?1 ?

4 x ? y ? ?1

的取值范围是 A. ? ?
? ? ? ,6 ? 2 ? 3

B. ? ?
? ?

?

? , ? 1? 2 ? 3 3?

O

x ? 2y ? 2 2x ? y ? 4

C. ?? 1, 6 ?

D. ? ? 6 , ? 2? ?

6.执行下面的程序图,如果输入 a ? 4 ,那么输出的 n 的值为
-1-

(A)2

(B)

3(C)

4(D)5

开始 输入 a
P ? 0 , Q ? 1, n ? 0

P ?Q


P ? P ?a
n

否 输出 n

Q ? 2Q ? 1

n ? n ?1

结束

?? ? 7.若 ? ? ? , ?4 2
3 5

3 7 ? sin 2? = ,则 sin ? = ?, 8 ?
4 5

(A)

(B)

(C)

7 4

(D)

3 4

8.定义在 R 上的函数 f ( x ) 满足 f ( x ? 6 ) ? f ( x ) , ? 3 当

? x ? ? 1 时,f ( x ) ? ? ( x ? 2 )

2

, ? 1 ? x ? 3 -1 当

≤x<3 时, f ( x ) ? x .则 f (1)+ f ( 2 ) ? f ( 3 ) ? ? ? f ( 2012 ) ? (A)335
cos 6 x 2 ?2
x ?x

(B)338

(C)1678

(D)2012

9.函数 y ?

的图像大致为

10.已知椭圆 C:

x

2 2

?

y b

2 2

? 1( a ? b ? 0 ) 的离心率为

3 2

, 双曲线 x ? y ? 1 的渐近线与椭圆有四个交点,
2 2

a

以这四个交点为顶点的四边形的面积为 16,则椭圆 c 的方程为 (A)
x
2

?

y

2

?1

(B)

x

2

?

y

2

?1

(C)

x

2

?

y

2

?1

(D)

x

2

?

y

2

?1

8

2

12

6

16

4

20

5

11.现有 16 张不同的卡片,其中红色、黄 色、蓝色、绿色卡片各 4 张,从中任取 3 张,要求这些卡片不能 是同一种颜色,且红色卡片至多 1 张,不同取法的种数为 (A)232 (B)252 (C)472 (D)484
-2-

12.设函数 f ( x ) ?

1 x

, g ( x ) ? ax

2

? bx ( a , b ? R , a ? 0 ) .若 y ? f ( x ) 的图像与 y ? g ( x ) 图像有且仅有两

个不同的公共点 A ( x 1 , y 1 ) , B ( x 2 , y 2 ) ,则下列判断正确的是 (A.当 a ? 0 时, x 1 ? x 2 ? 0 , y 1 ? y 2 ? 0 (C).当 a ? 0 时, x 1 ? x 2 ? 0 , y 1 ? y 2 ? 0 (B). 当 a ? 0 时, x 1 ? x 2 ? 0 , y 1 ? y 2 ? 0 (D). 当 a ? 0 时, x 1 ? x 2 ? 0 , y 1 ? y 2 ? 0

第Ⅱ卷(共 90 分)
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分。 (13)若不等式 | kx ? 4 |? 2 的解集为 ?x | 1 ? x ? 3? ,则实数 k = .

(14)如图,正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 1,E,F 分别为线段 AA1,B1C 上的点,则三棱锥 D1-EDF 的 体积为 ____________。

. (15)设 a>0.若曲线 与直线 x=a,y=0 所围成封闭图形的面积为 a,则 a=______。

(16)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,一单位圆的圆心的初始位置在(0,1) ,此时圆上一点 P 的位置在 (0,0) ,圆在 x 轴上沿正向滚动。当圆滚动到圆心位于(2,1)时, . 的坐标为______________。

C D

-3-

三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分。 (17) (本小题满分 12 分) 已知向量 m= (sin x ,1) ,n= ( 3 A cos x , 函数 f ( x ) ? (1)求 A ; (2)将函数 f ( x ) 的图象向左平移
?
12 A 2 cos 2 x ) ( A ? 0 ),

m·n 的最大值为 6 .
个单位,再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的
? ? 5? ? 上的值域. 24 ? ?
1 2

倍,纵坐标不

变,得到的函数 y ? g ( x ) 的图象,求 g ( x ) 在 ? 0 ,

(18) (本小题满分 12 分) 在如图所示的几何体中, 四边形 AB CD 是等腰梯形, AB∥CD, ∠DAB=60°, FC⊥平面 ABCD, AE⊥BD, CB=CD=CF。

(Ⅰ)求证:BD⊥平面 AED; (Ⅱ)求二面角 F-BD-C 的余弦值。

-4-

(19) (本小题满分 12 分) 现有甲、乙两个靶。某射手向甲靶射击一次,命中的概率为 ,命中得 1 分,没有命中得 0 分;向乙靶射 击两次,每次命中的概率为 ,每命中一次得 2 分,没有命中得 0 分。该射手每次射击的结果相互独立。

假设该射手完成以上三次射击。 (Ⅰ)求该射手恰好命中一次得的概率; (Ⅱ)求该射手的总得分 X 的分布列及数学期望 EX

(20) (本小题满分 12 分) 在等差数列{an}中,a3+a4+a5=84,a9=73. (Ⅰ)求数列{an}的通项公式; m 2m (Ⅱ)对任意 m∈N﹡,将数列{an}中落入区间(9 ,9 )内的项的个数记为 b m,求数列{bm}的前 m 项和 Sm。

-5-

(21) (本小题满分 13 分 ) 2 在平面直角坐标系 xOy 中,F 是抛物线 C:x =2py(p>0)的焦点,M 是抛物线 C 上位于第一象限内的任意 一点,过 M,F,O 三点的圆的圆心为 Q,点 Q 到抛物线 C 的准线的距离为
3 4



(Ⅰ)求抛物线 C 的方程; (Ⅱ)是否存在点 M,使得直线 MQ 与抛物线 C 相切于点 M?若存在,求出点 M 的坐标;若不存在,说明理 由; (Ⅲ)若点 M 的横坐标为 2 ,直线 l:y=kx+
1 2 1 4

与抛物线 C 有两个不同的交点 A,B,l 与圆 Q 有两个不同

的交点 D,E,求当

≤k≤2 时,

的最小值。

-6-

22(本小题满分 13 分) 已知函数 f(x) =
ln x ? k e
x

(k 为常数,e=2.71828??是自然对数的底数) ,曲线 y= f(x)在点(1,f(1))

处的切线与 x 轴平行。 (Ⅰ)求 k 的值; (Ⅱ)求 f(x)的单调区间; (Ⅲ)设 g(x)=(x +x) f '( x ) ,其中 f '( x ) 为 f(x)的导函数,证明:对任意 x>0, g ( x ) ? 1 ? e
2

?2



-7-

答案解析

1.解析: z ?

11 ? 7 i 2?i

?

(11 ? 7 i )( 2 ? i ) 5

?

22 ? 7 ? (14 ? 11 ) i 5

? 3 ? 5 i .答案选 A。

另 解 : 设 z ? a ? bi ( a , b ? R ) , 则 ( a ? bi )( 2 ? i ) ? 2 a ? b ? ( 2 b ? a ) i ? 11 ? 7 i 根 据 复 数 相 等 可 知

2 a ? b ? 11 , 2 b ? a ? 7 ,解得 a ? 3 , b ? 5 ,于是 z ? 3 ? 5 i .
2.解析: C U A ? { 0 , 4}, ( C U A ) ? B ? { 0 , 2 , 4} 。答案选 C。 3.解析:p: “函数 f ( x ) ? a 在 R 上是减函数 ”等价于 0 ? a ? 1 ;q: “函数 g ( x ) ? ( 2 ? a ) x 在 R 上是增函数”
x 3

等价于 2 ? a ? 0 ,即 0 ? a ? 2 , 且 a≠1,故 p 是 q 成立的充分不必要条件. 答案选 A。 4.解析:采用系统抽样方法从 960 人中抽取 32 人,将整体分成 32 组,每组 30 人,即 l ? 30 ,第 k 组的号码为

( k ? 1) 30 ? 9 ,令 451 ? ( k ? 1) 30 ? 9 ? 750 ,而 k ? z ,解得 16 ? k ? 25 ,则满足 16 ? k ? 25 的整数 k
有 10 个,故答案应选 C。

4 x ? y ? ?1

O

x ? 2y ? 2 2x ? y ? 4

5.解析:作出可行域,直线 3 x ? y ? 0 ,将直线平移至点 ( 2 , 0 ) 处有最大值, 点(

1 2

, 3 ) 处有最小值,即 ?

3 2

? z ? 6 .答案应选 A。

6.解析: n ? 0 , p ? 0 ? 4
1

0

? 1, q ? 2 ? 1 ? 3 ;

n ? 1, p ? 1 ? 4 ? 5 , q ? 6 ? 1 ? 7 ; n ? 2, p ? 5 ? 4
答案应选 B。
2

? 21 , q ? 14 ? 1 ? 15 , n ? 3 , p ? q 。

7.解析:由 ? ?

? ?? ? ? 2? ? [ , ? ] , cos 2? ? ? 1 ? sin , ? 4 2 ? 可得 2 ? ?

2

2? ? ?

1 8

, sin ? ?

1 ? cos 2? 2

?

3 4

,答

-1-

案应选 D。另解:由 ? ?

3 7 ?? ? ? sin 2? = , 可得 ?4 2?及 8 ? ?
3 7 8 16 ? 6 7 16 9?6 7 ?7 16 7 4 3 4

sin ? ? cos ? ?

1 ? sin 2? ?

1?

?

?

?

?



而当 ? ?

3 ?? ? ? sin ? ? , cos ? ? , ? 4 2 ? 时 sin ? ? cos ? ,结合选项即可得 4 ? ?

7 4

.答案应选 D。

8.解析: f ( ? 3 ) ? ? 1, f ( ? 2 ) ? 0 , f ( ? 1) ? ? 1, f ( 0 ) ? 0 , f (1) ? 1, f ( 2 ) ? 2 ,而函数的周期为 6,

f (1) ? f ( 2 ) ? ? ? f ( 2012 ) ? 335 ( ? 1 ? 0 ? 1 ? 0 ? 1 ? 2 ) ? f (1) ? f ( 2 ) ? 335 ? 3 ? 338 .
答案应选 B

9.解析:函数 f ( x ) ?

cos 6 x 2 ?2
x ?x

, f (? x) ?

cos 6 x 2
?x

?2

x

? ? f ( x ) 为奇函数,

当 x ? 0 ,且 x ? 0 时 f ( x ) ? ?? ;当 x ? 0 ,且 x ? 0 时 f ( x ) ? ?? ; 当 x ? ?? , 2
x

?2

?x

? ?? , f ( x ) ? 0 ;当 x ? ?? , 2 ? 2
x

?x

? ?? , f ( x ) ? 0 .答案应选 D。

10. 解 析 : 双 曲

线 x ? -y ? = 1 的 渐 近 线 方 程 为 y ? ? x , 代 入

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1( a ? b ? 0 ) 可 得

x

2

? a

a b
2

2

2 2

?b

,S ? 4x

2

? 16 ,则 a b
2

2

? 4(a

2

? b ) ,又由 e ?
2

3 2

可得 a ? 2 b ,则 b

4

? 5b ,
2

于是 b

2

? 5, a

2

? 20 。椭圆方程为

x

2

?

y

2

? 1 ,答案应选 D。

20
11.解析: C 16 ? 4 C 4 ? C 4 C 12 ?
3 3 2 1

5

16 ? 15 ? 14 6 12 ? 11 ? 10 6

? 16 ? 72 ? 560 ? 88 ? 472 ,答案应选 C。 ? 12 ? 4 ? 12 ? 11 2 ? 220 ? 264 ? 12 ? 472 .

另解: C 4 C 12 ? 3 C 4 ? C 4 C 12 ?
0 3 3 1 2

12.解析:令

1 x

? ax
2

2

? bx ,则 1 ? ax

3

? bx ( x ? 0 ) ,设 F ( x ) ? ax
2

3

? bx , F ? ( x ) ? 3 ax
2

2

? 2 bx

令 F ? ( x ) ? 3 ax

? 2 bx ? 0 ,则 x ? ?
2b 3a ) ? b(?
3

2b 3a

,要使 y=f(x)的图像与 y=g(x)图像有且仅有两个不同的公共点 只需
3

F(

? 2b 3a

) ? a (?
2

2b 3a

)

2

? 1, 整理得 4 b
1 2

? 27 a , 于是可取 a ? ? 2 , b ? 3 来研究, a ? 2 , b ? 3 当
2

时, 2 x ? 3x
3

? 1 , 解 得 x 1 ? ? 1, x 2 ?

, 此 时 y 1 ? ? 1, y 2 ? 2 , 此 时 x 1 ? x 2 ? 0 , y 1 ? y 2 ? 0 ; 当

-2-

a ? ? 2, b ? 3 时 , ? 2 x ? 3 x
3

2

? 1 , 解 得 x 1 ? 1, x 2 ? ?

1 2

, 此 时 y 1 ? 1, y 2 ? ? 2 , 此 时

x 1 ? x 2 ? 0 , y 1 ? y 2 ? 0 .答案应选 B。
另解:令 f ( x ) ? g ( x ) 可得 设 y? ?

1 x
2

? ax ? b 。

1 x
2

, y ?? ? ax ? b

y ?? ? ax ? b (a ? 0)

y

y

不妨设 x 1 ? x 2 ,结合图形可知,

x1

x2

x

x1

x2
1

y ?? ? ax ? b (a ? 0) x

当 a ? 0 时 如 右 图 , 此 时 x1 ? x 2 , 即 ? x1 ? x 2 ? 0 , 此 时 x1 ? x 2 ? 0 , y 2 ?

? ?

1 x1

x2

? ? y1 ,即

y 1 ? y 2 ? 0 ;同理可由图形经过推理可得当 a ? 0 时 x 1 ? x 2 ? 0 , y 1 ? y 2 ? 0 .答案应选 B。

13.解析:由 | kx ? 4 |? 2 可得 ? 2 ? kx ? 4 ? 2 ,即 2 ? kx ? 6 ,而 1 ? x ? 3 ,所以 k ? 2 .

另解:由题意可知 x ? 1, x ? 3 是 kx ? 4 ? 2 的两根,则 ?

? k ?4 ? 2 ? 3k ? 4 ? 2

,解得 k ? 2 .

14.解析: V D

1

? EDF

? V F ? D 1 DE ?

1 3

?1?

1 2

?1?1 ?

1 6

15.解析: S ?

?

a

x dx ?

2 3

3

x2

0

a 0

?

2 3

3

a 2 ? a ,解得 a ?

9 4

.[来源:Zxxk.Com]

15.解析:根据题意可知圆滚动了 2 单位个弧长,点 P 旋转 了

2 1

? 2 弧度,此时点 P 的坐标为[来源:Z*xx*k.Com]

) ? 2 ? sin 2 , 2 ? 16. y P ? 1 ? sin( 2 ? ) ? 1 ? cos 2 , 2 OP ? ( 2 ? sin 2 ,1 ? cos 2 )
? x ? 2 ? cos ? ? y ? 1 ? sin ?
,且 ? PCD ? 2 , ? ?

x P ? 2 ? cos( 2 ?

?

116.另解 1:根据题意可知滚动制圆心为(2,1)时的圆的参数方程为 ?

3? 2

?2,

? ? x ? 2 ? cos( 则点 P 的坐标为 ? ? y ? 1 ? sin( ?

3? 3? 2 2

? 2 ) ? 2 ? sin 2
,即 OP ? ( 2 ? sin 2 ,1 ? cos 2 ) .

? 2 ) ? 1 ? cos 2

-3-

17.解析: (Ⅰ) f ( x ) ? m ? n ? 则A ? 6;

3 A cos x sin x ?

A 2

cos 2 x ?

3 2

A sin 2 x ?

A

? ? ? cos 2 x ? A sin ? 2 x ? ? , 2 6? ?

(Ⅱ)函数 y=f(x)的图象像左平移

? 12

个单位得到函数 y ? 6 sin[ 2 ( x ?

?
12

)?

?
6

] 的图象,

再将所得图象各点的横坐标缩短为原来的 当 x ? [0,

1 2

倍,纵坐标不变,得到函数 g ( x ) ? 6 sin( 4 x ?

?
3

).

5? 24

] 时, 4 x ?

?
3

?[

?
3

,

7? 6

], sin( 4 x ?

?
3

) ? [?

1 2

,1] , g ( x ) ? [ ? 3 , 6 ] .

故函数 g(x)在 0 ,

? ? ?

5? ? 上的值域为 [ ? 3 , 6 ] . 24 ? ?

另解:由 g ( x ) ? 6 sin( 4 x ? 则4x ?

?
3

) 可得 g ? ( x ) ? 24 cos( 4 x ? 5? 24 ] ,则 x ?

?
3

) ,令 g ?( x ) ? 0 ,

?
3

? k? ?

?
2

( k ? Z ) ,而 x ? [ 0 , ? 3 3, g (

?
24



于是 g ( 0 ) ? 6 sin

?
3

?
24

) ? 6 sin
? ? ?

?
2

? 6, g (

5? 24

) ? 6 sin

7? 6

? ?3 ,

故 ? 3 ? g ( x ) ? 6 ,即函数 g(x)在 0 ,

5? ? 上的值域为 [ ? 3 , 6 ] . 24 ? ?

18.解析: (Ⅰ)在等腰梯形 ABCD 中,AB∥CD,∠DAB=60°,CB=CD, 由余弦定理可知 BD 即 BD ?
2

? CD

2

? CB

2

? 2 CD ? CB ? cos( 180

0

? ? DAB ) ? 3 CD ,
2

3 CD ?

3 AD ,在 ? ABD 中,∠DAB=60°, BD ?

3 AD ,则 ? ABD 为直角三角形,且 AD ? DB 。

又 AE⊥BD, AD ? 平面 AED, AE ? 平面 AED,且 AD ? AE ? A ,故 BD⊥平面 AED; ( Ⅱ ) 由 ( Ⅰ ) 可 知 AC ? CB , 设 CB ? 1 , 则 CA ? BD ?

3 ,建立如图所示的空间直角坐标系,

F ( 0 , 01 ), B ( 0 ,1, 0 ), D (

3 2

,?

1 2

, 0 ) ,向量 n ? ( 0 , 0 ,1) 为平面 BDC 的一个法向量.

? 3 3 ? ? ? m ? BD ? 0 x? y ? 0 设向量 m ? ( x , y , z ) 为平面 BDF 的法向量,则 ? ,即 ? 2 , 2 ? m ? FB ? 0 ? y? z ? 0 ? ?
取 y ? 1 ,则 x ?

3 , z ? 1 ,则 m ? ( 3 ,1,1) 为平面 BDF 的一个法向量.

cos ? m , n ??

m ?n m n

?

1 5

?

5 5

,而二面角 F-BD-C 的平面角为锐角,则

二面角 F-BD-C 的余弦值为

5 5



z

-4-

19.解析: (Ⅰ) P ?

3

1 2 1 1 2 7 1 ?( ) ? ?C2 ? ? ? ; 4 3 4 3 3 36

(Ⅱ) X ? 0 ,1, 2 , 3 , 4 , 5

1 2 1 3 1 2 1 1 1 1 2 1 ?( ) ? . P ( X ? 1) ? ? ( ) ? , P ( X ? 2) ? C 2 ? ? , 4 3 36 4 3 12 4 3 3 9 3 1 1 2 1 1 2 2 1 3 2 2 1 P ( X ? 3) ? C 2 ? ? , P ( X ? 4 ) ? ? ( ) ? , P ( X ? 5) ? ? ( ) ? 4 3 3 3 4 3 9 4 3 3 P ( X ? 0) ?
X P 0 1 2 3 [来源:学, , 网 4 5

1

1 36

1 12

1 9


1 3

1 9

1 3

Z,X,X,K] E X=0×

1 36

+1×

1 12

+2×

1 9

+3×

1 3

+4×

1 9

+5×

1 3

=

41 12

? 3

5 12

.

20. 解 析 : Ⅰ ) 由 a3 +a4+a5=84 , a5=73 可 得 3 a 4 ? 84 , a 4 ? 28 , 而 a9=73 , 则 5 d ? a 9 ? a 4 ? 45 , d ? 9 , (

a 1 ? a 4 ? 3 d ? 28 ? 27 ? 1 ,于是 a n ? 1 ? ( n ? 1) ? 9 ? 9 n ? 8 ,即 a n ? 9 n ? 8 .
(Ⅱ)对任意 m∈N﹡, 9 即9
m ?1
m

? 9n ? 8 ? 9

2m

,则 9

m

? 8 ? 9n ? 9

2m

?8,

?

8 9

? n ? 9

2 m ?1

?

8 9

,而 n ? N * ,由题意可知 b m ? 9
1 3 2 m ?1 0

2 m ?1

?9

m ?1



于是 S m ? b1 ? b 2 ? ? ? b m ? 9 ? 9 ? ? ? 9

? (9 ? 9 ? ? ? 9
1

m ?1

)
?1 9
m

?

9?9

2 m ?1 2

1? 9

?

1? 9

m

1? 9
?1 9

?

9

2 m ?1

?9

?

9

m

?1 8

?

9

2 m ?1

? 10 ? 9 80

m

?1

?

9

2 m ?1

?



80
m

80

8

即Sm ? -5-

9

2 m ?1

?

.

80

8

21.解析: (Ⅰ)F 抛物线 C:x =2py(p>0)的焦点 F ( 0 ,

2

p 2

) ,设 M ( x 0 , 3 4

x0

2

2p

)( x 0 ? 0 ) , Q ( a , b ) ,由题意可知 b ?

p 4



则点 Q 到抛物线 C 的准线的距离为 b ?

p 2

?

p 4

?

p 2

?

3 4

p ?

,解得 p ? 1 ,于是抛物线 C 的方程为 x

2

? 2y .

(Ⅱ)假设存在点 M,使得直线 MQ 与抛物线 C 相切于点 M,

而 F (0,

1 2

), O ( 0 , 0 ), M ( x 0 ,

x0 2

2

) ,Q (a,

1 4

) , MQ ? OQ ? QF ,

(x0 ? a) ? (
2

x0 2

2

?

1 4

)

2

? a

2

?

1 16

,a ?

x0 8

3

?

3 8

x0 ,

1
由x
2

? ?

x0 2 3 8

2

? 2 y 可得 y ? ? x , k ? x 0 ?

4 x0 8
3

,则

1 8

x0 ?

4

3 8

x0

2

?

1 4

?

1 2

x0 ,

2

x0
1 2 ) .[来源:学+科+网]

即 x0

4

? x 0 ? 2 ? 0 ,解得 x 0 ? 1 ,点 M 的坐标为 (1,

2

(Ⅲ)若点 M 的横坐标为

? x2 ? 2y 1 ? 2 , ) 。由 ? ? 0 ,设 2 , 则 点 M ( 2 ,1) , Q ( ? 1 可 得 x ? 2 kx ? y ? kx ? 8 4 2 ? 4 ?
2 1

A ( x 1 , y 1 ), B ( x 2 , y 2 ) ,
AB
2

? (1 ? k )[( x 1 ? x 2 ) ? 4 x 1 x 2 ] ? (1 ? k )( 4 k
2 2

2

2

? 2)
? 8 1? k
2

k?
圆Q : (x ?

2 ? 2 k 8 1? k
2

2 8

) ? (y ?
2

1 2

)

2

?

2 64

?

1 16
2 2

?

3 32

,D ?

DE

2

? 4[

3 32

?

k

2 2

32 (1 ? k )

]?

3 ? 2k

8 (1 ? k )



于是 AB

2

? DE

2

? (1 ? k )( 4 k
2

2

? 2) ?

3 ? 2k

2 2

8 (1 ? k )
2 2

,令 1 ? k

2

? t?[

5 4

,5 ]

AB

2

? DE

2

? (1 ? k )( 4 k
2

2

? 2) ?

3 ? 2k

8 (1 ? k )

? t (4t ? 2) ?

2t ? 1 8t

? 4t

2

? 2t ?

1 8t

?

1 4



设 g (t ) ? 4 t 当t ? [

2

? 2t ?

1 8t

?

1 4

, g ?( t ) ? 8 t ? 2 ?

1 8t
2



5 4

, 5 ] 时, g ? ( t ) ? 8 t ? 2 ?

1 8t
2

? 0,

-6-

即当 t ?

5 4 1 2

,k ?

1 2

时 g ( t ) min ? 4 ?

25 16

? 2?

5 4

?

1 8? 5 4

?

1 4

? 4

1 10

.

故当 k ?

时, ( AB

2

? DE

2

) min ? 4

1 10

.

1
22.解析:由 f(x) =

ln x ? k e
x

? k ? ln x e
x

x 可得 f ? ( x ) ?

,而 f ? (1) ? 0 ,即

1? k e

? 0 ,解得 k ? 1 ;

1
(Ⅱ) f ? ( x ) ?

? 1 ? ln x e
x

x
1 x

,令 f ? ( x ) ? 0 可得 x ? 1 ,

当 0 ? x ? 1 时, f ? ( x ) ?

? 1 ? ln x ? 0 ;当 x ? 1 时, f ? ( x ) ?

1 x

? 1 ? ln x ? 0 。

于是 f ( x ) 在区间 ( 0 ,1) 内为增函数;在 (1, ?? ) 内为减函数。

1
简证(Ⅲ) g ( x ) ? ( x ? x )
2

? 1 ? ln x e
x

x

?
2

1? x

2

? ( x ? x ) ln x
2

e
x

x


?2

当 x ? 1 时, 1 ? x

2

? 0 , ln x ? 0 , x ? x ? 0 , e
1

? 0 , g ( x) ? 0 ? 1 ? e

.

? 1 ? ln x e
x

当 0 ? x ? 1 时,要证 g ( x ) ? ( x
2 2

2

? x)

x

?

1 ? x ? ( x ? x ) ln x
2 2

e

x

?1? e

?2



只需证 1 ? x ? ( x ? x ) ln x ? e (1 ? e
x

?2

) ,然后构造函数即可证明.

-7-


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