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2007年全国高中数学联合竞赛一试试题及参考答案


2007 年全国高中数学联合竞赛一试试卷 (考试时间:上午 8:00—9:40) 一、选择题(本题满分 36 分,每小题 6 分) 1. 如图,在正四棱锥 P?ABCD 中,∠APC=60° ,则二面角 A?PB?C 的平面角的余弦值为( ) A. P 1 7 B. ? 1 7 C. 1 2 2 D. ? 1 2 A D 2. 设实数 a 使得不等式|2x?a|+|3x?2a|≥a 对任意实数 x 恒成立, 则满 足条件的 a 所组成的集合是( ) C B 1 1 A. [? , ] 3 3 1 1 B. [ ? , ] 2 2 1 1 C. [? , ] 4 3 D. [?3,3] 3. 将号码分别为 1、2、…、9 的九个小球放入一个袋中,这些小球仅号码不同,其余完全 相同。甲从袋中摸出一个球,其号码为 a,放回后,乙从此袋中再摸出一个球,其号码为 b。 则使不等式 a?2b+10>0 成立的事件发生的概率等于( ) A. 52 81 B. 59 81 C. 60 81 D. 61 81 4. 设函数 f(x)=3sinx+2cosx+1。若实数 a、b、c 使得 af(x)+bf(x?c)=1 对任意实数 x 恒成立, b cos c 的值等于( ) a 1 1 A. ? B. 2 2 则 C. ?1 D. 1 5. 设圆 O1 和圆 O2 是两个定圆,动圆 P 与这两个定圆都相切,则圆 P 的圆心轨迹不可能是 ( ) 6. 已知 A 与 B 是集合{1,2,3,…,100}的两个子集,满足:A 与 B 的元素个数相同,且 为 A∩B 空集。若 n∈A 时总有 2n+2∈B,则集合 A∪B 的元素个数最多为( ) A. 62 B. 66 C. 68 D. 74 二、填空题(本题满分 54 分,每小题 9 分) 7. 在平面直角坐标系内,有四个定点 A(?3,0),B(1,?1),C(0,3),D(?1,3)及一个动点 P,则|PA|+|PB|+|PC|+|PD|的最小值为__________。 8. 在△ABC 和△AEF 中,B 是 EF 的中点,AB=EF=1,BC=6, CA ? 33 ,若 AB ? AE ? AC ? AF ? 2 ,则 EF 与 BC 的夹角的余弦值等于________。 9. 已知正方体 ABCD?A1B1C1D1 的棱长为 1,以顶点 A 为球心, 2 3 为半径作一个球,则 3 球面与正方体的表面相交所得到的曲线的长等于__________。 10. 已知等差数列{an}的公差 d 不为 0, 等比数列{bn}的公比 q 是小于 1 的正有理数。 若 a1=d, 2 2 a12 ? a2 ? a3 是正整数,则 q 等于________。 b1 ? b2 ? b3 sin(πx) ? cos(πx) ? 2 1 5 ( ? x ? ) ,则 f(x)的最小值 11. 已知函数 f ( x) ? 4 4 x b1=d2,且 为________。 12. 将 2 个 a 和 2 个 b 共 4 个字母填在如图所示的 16 个小方格内,每个小 方格内至多填 1 个字母,若使相同字母既不同行也不同列,则不同的填法 共有________种(用数字作答)。 -1- 三、解答题(本题满分 60 分,每小题 20 分) 13. 设 an ? ? k (n ? 1 ? k ) ,求证:当正整数 n≥2 时,a k ?1 n 1 n+1<an。 1

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