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湖北省2013-2014学年高二上学期期中考试数学文科试题


湖北省 2013-2014 学年高二上学期期中考试 数学文科试题
考试时间:上午 9:00—11:00 试卷满分:150 分

一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的)

a ? 3i ( a ? R, i 是虚数单位)是纯虚数,则 a 的值为( ) 1

? 2i 3 3 A.6 B.-6 C. D.- 2 2 2. 定义一种运算“*” :对于自然数 n 满足以下运算性质: (1) 1*1 ? 1 , (2) (n ? 1) *1 ? n *1 ? 2, 则 n *1 等于( )
1. 若复数
[来源:学_科_网 Z_X_X_K]

A. n ? 1

B. 2n ? 1

C. 2n ? 1

D. n 2

3. 用简单随机抽样方法从含有 6 个个体的总体中, 抽取一个容量为 2 的样本, 某一个体 ? “第一次被抽到的概率” “第二次 被抽到的概率” “在整个抽样 过程中被抽到”的概率分别是( )

1 1 1 1 1 1 1 1 1 A. , , B. , , C. , , 6 6 6 6 5 6 6 6 3 4. 若某程序 图如图所示,则输出的 p 的值是(

1 1 1 D. , , 6 3 3


A.21 B.26 C.30 D.55 5. 在一个袋子中装有分别标注数学 1,2,3,4,5 的五个小球,这些小球除标注的数字外 完全相同.现从中随机取出 2 个小球,则取 出的小球标注的数字之和为 3 或 6 的概率是 ( )

3 1 1 1 B. C. D. 10 5 10 12 6. 在 2012 年中央电视台举办的“我要上春晚”大赛上,七位评委为某选手打 出的分数的茎叶统计图如右图,数据的平均数和中位数分别为( ) A.84,84 B.84,86 C.85,86 D.85,87 7. 在一次班级聚会上,某班到会的女同学比男同学多 6 人,从这些同学中随机挑选一人表 2 演节目.若选到女同学的概率为 ,则这班参加聚会的同学的人数为( ) 3 A.12 B.18 C.24 D.32 8. 如图所示,四棱锥 P ? ABCD 的底面为正方形, PD ? 底面 ABCD,PD= AD=1,设点 C 到平面 PAB 的距离为 d1 ,点 B 到平面 PAC 的距离为 d 2 ,
A.
[来源:学*科*网]

则有( ) A. 1 ? d1 ? d 2
源:Zxxk.Com]

B. d1 ? d 2 ? 1

C. d1 ? 1 ? d 2

D. d 2 ? d1 ? 1

[来

9. 在 棱长为 2 的正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,点 O 为底面 ABCD 的中心,在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 内随机取一点 P,则点 P 到点 O 的距离大于 1 的概率为( ) A.

?
12

B. 1 ?

?
12

C.

? 6

D. 1 ?

?
6

10. 设 m、n ? R ,若直线 (m ? 1) x ? (n ? 1) y ? 2 ? 0 与圆 ( x ? 1) 2 ? ( y ? 1) 2 ? 1 相切,则 m ? n 的 取值范围是( ) A. [1 ? 3,1 ? 3] C. [2 ? 2 2, 2 ? 2 2] B. (??,1 ? 3] ? [1 ? 3, ??) D. (??, 2 ? 2 2] ? [2 ? 2 2, ??]

二、填空题:本大题共 7 个小题,每小题 5 分,共 35 分。请将答案填在答 题卡对应题号的位置上,答错位置,书写不清,模棱两可均不得分。 11. 右图给出的是计算

1 1 1 1 的值的一个程序框图,其中判 ? ? ?? ? 2 4 6 20 断框内应填入的条件是 .
[来源:Zxxk.Com]

12. 数列 ?an ? 的通项公式 an ? (n ? 1) 2 ( n ? N*) f (n) ? (1 ? ,

1 1 1 )?(1 ? )? (1 ? ) ,试通过 ?? a1 a2 an
. 6 70 . 8 80

计算 f (1), f (2), f (3),? 的值,推测出 f (n) 的表达式为 13. 对具 有线性相关关系的变量 x 和 y ,测得一组数据如表: x 2 4 5 y 20 40 60
[来

? 若它们的回归直线方程为 y ? 10.5 x ? a, ,则 a 的值为
值分别为 a、b、c ,则 a ? b ? c ?

14. 已知某程序的框图如图,若分别输入的 x 的值为 0,1,2,执行该程序后,输出的 y 的 .

第 14 题图 第 15 题图 15. 一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为 . 16. 已知结论: “在正三角形 ABC 中,若 D 是边 BC 的中点, G 是三角形 ABC 的重心,则

AG ? 2 ”.若把该结论推广到空间,则有结论: “在棱长都相等的四面体 ABCD 中,若 GD , ?BCD 的 中 心 为 M , 四 面 体 内 部 一 点 O 到 四 面 体 各 面 的 距 离 都 相 等 ” 则 AO = . OM
17. 由直线 l : x ? 2 y ? 4 ? 0 上的动点 P 引圆 C : ( x ? 2) 2 ? ( y ? 2) 2 ? 4 的两切线,切点为

A、B ,则四边形 PACB 的面积最小值为

.

三、解答题:本大题共 5 小题,共 65 分。解答应写出文字说明、证明 过程或演算步骤。 18. (12 分)从某学校高三年级共 800 名男生中随机抽取 50 名测量身高,据测量被测学生 身高全部介于 1 55cm 和 195cm 之间,将测量结果按如下方式分成八组;第一组[155, 160 ) 、第二组 [160,165);? 第八组 [190,195) ,右图是按上述分组方法得到的频率分布直 方图的一部分,已知第一组与第八组人数相同,第六组、第七组、第八组人数依次构成 等差数列. (1)求第六组、第七组的频率. (2)若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取 两名男生,记他们的身高分别为 x、y ,求满足 | x ? y |? 5 的事件概率.

19. 12 分) 如图, ( 在直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中,?ACB ? 90?, AA1 ? BC ? 2 AC ? 2, D 为 AA1 中点. (1)求证: CD ? B1C1 ;(2)求证:平面 B1CD ? 平面 B1C1D; (3)求三棱锥 C1 ? B1CD 的体积.



20. (13 分)已知 | x |? 2,| y |? 2 ,点 P 的坐标为 ( x, y ) . (1)求当 x, y ? R 时,P 满足 ( x ? 2) 2 ? ( y ? 2) 2 ? 4 的概率. (2)求当 x, y ? Z 时,P 满足 ( x ? 2) 2 ? ( y ? 2) 2 ? 4 的概率.

21.(14 分)某 少数民族的刺绣中有着悠久的历史,下图中(1) (3) (2) (4)为她们刺绣 最简单的四个图案,这些图案都是由小正方形构成.小正方形数越多刺乡越漂亮;现按 同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同) ,设第 n 个图形包含 f (n) 个小正方形. (1)求出 f (5) 的值; (2)利用合情推理的“归纳推理思想” ,归纳出 f (n ? 1) 与 f (n) 之间的关系式,并根据 你所得到的关系式求出 f (n) 的表达式; ( 3 ) 设 g ( n) ?

1 1 1 1 若 当 n ? N * 且n ? 2 时 , ? ? ?? ? f (1) f (2) ? 1 f (3) ? 1 f ( n) ? 1

g ( n) ? m2 ? 2m 总成立,求实数 m 的取值范围.

22. (14 分)已知圆 C 经过点 A(-2,0),B(0,2),且圆心 C 在直线 y=x 上,又直线 l:y=kx +1 与圆 C 相 交于 P、Q 两点. (1)求圆 C 的方程; ??? ???? ? (2)若 OP ? OQ ? ?2 ,求实数 k 的值; (3)过点(0,1)作直线 l1 与 l 垂直,且直线 l1 与圆 C 交于 M、N 两点,求四边形 PMQN 面 积的最大值.

2013——2014 学年上学期高二年级期中考试

数学试卷(文科)答案
一、选择题

题号 答案

1 B

2 B

3 C

4 C

5 A

6 B

7 B

8 D

9 B

10 D

二、填空题 11. i ? 10 12. 16. 3

n?2 2n ? 2
17. 8

13.

3 2

14. 6

2 3 三.解答题
15.

?? 6 分

????12 分

????

8分

?????7 分

?????13 分 21. (1)41 (2) f (n ? 1) ? f (n) ? 4n, n ? N* ??????3 分

f ( n) ? 2n2 ? 2n ? 1, n ? N* ?????? 7 分
(3)

1 1 1 1 1 ? 2 ? ( ? ), n ? 2 f ( n) ? 1 2n ? 2n 2 n ? 1 n

n ? 2 时,

g ( n) ?

1 1 1 1 ? ? ?? ? f (1) f (2) ? 1 f (3) ? 1 f ( n) ? 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? 1 ? (1 ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? ) 2 2 2 2 3 2 n ?1 n 3 1 ? ? 2 2n
?????? 10 分

可知 g (n) min ? g (2) ? 依条件 m 2 ? 2m ?

5 4

5 ,即 4m 2 ? 8m ? 5 ? 0 4

∴?

5 1 ? m ? ,即为 m 的取值范围 2 2

?????? 14 分

22. (1)设圆心 C(a,a),半径 为 r.因为圆 C 经过点 A(-2,0),B(0,2), 所以|AC|=|BC|=r,易得 a=0,r=2, 所以圆 C 的方程是 x2+y2=4. → → → → -----------------------3 分 → →

(2)因为OP· =2× cos〈OP,OQ〉=-2,且OP与OQ的夹角为∠POQ, OQ 2× 1 所以 c os∠POQ=- ,∠POQ=12 0° , 2 所以圆心到直线 l:kx-y+1=0 的距离 d=1, 又 d= 1 ,所以 k=0. k +1
2

-----------------------7 分

(3)设圆心 O 到直线 l,l1 的距离分别为 d,d1,四边形 PMQN 的面积为 S. 因为直线 l,l1 都经过点(0,1),且 l⊥l1, 根据勾股定理,有 d2+d 2=1. 1
2 又易知|PQ|=2× 4-d2,|MN|=2× 4-d1,

----------------------9 分

1 所以 S= · |MN|,即 |PQ|· 2 1 S= × 2× 4-d2× 2× 4-d2 1 2 =2 16-4?d2+d2?+d2·2=2 12+d2·2 1 1d 1 d ≤2 12+? d2+d22 1 ? =2 2 1 12+ =7, 4 ----------------------14 分

当且仅当 d1=d 时,等号成立,所以 S 的最大值为 7.


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