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福建省福州外国语学校2017届高三适应性考试文数试题Word版含答案.doc


高三数学(文科)
第Ⅰ卷(共 60 分) 一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的. 1.若复数满足 (3 ? 4i) ? z ?| 4 ? 3i | , i 是虚数单位,则 z 的虚部为( A. ? 4 B. ) D. ?

4 5

C. 4

4 5


2.设集合 P ? ?x || x ? 1|? 3? , Q ? ? y | y ? ( ) , x ? (?2,1) ? ,则 P ? Q ? (
x

? ?

1 3

? ?

A. ( ?4, )

1 9

B. ( , 2]

1 9

C. ( , 2]

1 3

D. ( , 2) )

1 3

3.已知命题 p : ?x1 , x2 ? R , ( f ( x2 ) ? f ( x1 ))( x2 ? x1 ) ? 0 ,则 ? p 是( A. ?x1 , x2 ? R , ( f ( x2 ) ? f ( x1 ))( x2 ? x1 ) ? 0 B. ?x1 , x2 ? R , ( f ( x2 ) ? f ( x1 ))( x2 ? x1 ) ? 0 C. ?x1 , x2 ? R , ( f ( x2 ) ? f ( x1 ))( x2 ? x1 ) ? 0 D. ?x1 , x2 ? R , ( f ( x2 ) ? f ( x1 ))( x2 ? x1 ) ? 0

4.如图,正方形 ABCD 的边长为 1,延长 BA 至 E ,使 AE ? 1 ,连接 EC 、 ED ,则

sin ?CED ? (
A.

) B.

3 10 10

10 10

C.

5 10

D.

5 15

5.在一组样本数据 ( x1 , y1 ) , ? x2 , y2 ? ,?, ? xn , yn ? ( n ? 2 , x1 , x2 ,?, xn 不全相等)

的散点图中,若所有样本点 ( xi , yi ) ( i ? 1, 2,…, n )都在直线 y ? 据的样本相关系数为( A. ? 1 ) B. 0 C.

1 x ? 1 上,则这组样本数 2

1 2

D. 1 )

6.在如图所示的程序框图中,若输出的值是 3,则输入 x 的取值范围是( A. (4,10] B. (2, ??) C. (2, 4]

D. (4, ??)

7.一个三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的表面积为( A. 2 ? 2 5 ? 14 B. 16 ? 2 14 C. 8 ? 2 14

) D. 8 ? 14

?3 x ? y ? a ? 0, ? 8.设 x , y 满足约束条件 ? x ? y ? 0, 若目标函数 z ? x ? y 的最大值为 2, 则实数 a 的值 ? 2 x ? y ? 0, ?
为( A. 2 ) B.1 C. ? 1 D. ? 2

9.已知等差数列 ?an ? 的公差 d ? 0 ,且 a1 , a3 , a13 成等比数列,若 a1 ? 1 , Sn 为数列 ?an ? 的前 n 项和,则

2 S n ? 16 的最小值为( an ? 3
B.3



A.4

C. 2 3 ? 2

D.2

10.过双曲线

b x2 y 2 ? 2 ? 1( a ? 0 ,b ? 0 ) 的右焦点 F 作直线 y ? ? x 的垂线, 垂足为 A , 2 a a b

交双曲线的左支于 B 点,若 FB ? 2 FA ,则该双曲线的离心率为( A. 3 B.2 C. 5

??? ?

??? ?

) D. 7

11.我国南北朝数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法, 其理论依据是: 设实数 x 的不足近似值和过剩近似值分别为 则

b?d 是 x 的更为精确的不足近似值或过剩近似值.我们知道 ? ? 3.14159 ?,若令 a?c 31 49 16 ?? ? ,则第一次用“调日法”后得 是 ? 的更为精确的过剩近似值,即 10 15 5 31 16 ?? ? , 若每次都取最简分数, 那么第四次用 “调日法” 后可得 ? 的近似分数为 ( 10 5 22 63 78 109 A. B. C. D. 7 20 35 25
12.已知 a , b 是实数, 1 和 ?1 是函数 f ( x) ? x ? ax ? bx 的两个极值点,设
3 2

b d 和 ( a ,b ,c ,d ? N * ) , a c



h( x) ? f ( f ( x)) ? c ,其中 c ? (?2, 2) ,函数 y ? h( x) 的零点个数(
A.8 B.9 第Ⅱ卷(共 90 分) 二、填空题(每题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上) 13.若函数 f ( x) ?| x ? a | 的单调递增区间是 [3, ??) ,则 a ? C.10

) D.11



B, C, 14.△ ABC 的三个内交为 A , 若
的最大值为 .

3 cos A ? sin A 7? 则 2 cos B ? sin 2C ? tan(? ) , 12 3 sin A ? cos A

15.在平行四边形 ABCD 中, AC ? CB ? 0 , 2BC ? AC ? 4 ? 0 ,若将其沿 AC 折成二面 角 D ? AC ? B ,则三棱锥 D ? AC ? B 的外接球的表面积为 16.设函数 y ? ? .

??? ? ??? ?

??? ?2 ??? ?2

?? x3 ? x 2 , x ? e ? a ln x, x ? e

的图象上存在两点 P , Q ,使得△ POQ 是以 O 为直角顶点

的直角三角形(其中 O 为坐标原点) ,且斜边的中点恰好在 y 轴上,则实数 a 的取值范围 是 .

三、解答题 (本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17.在△ ABC 中,角 A , B , C 的对边分别为 a , b , c ,且 a2 ? (b ? c)2 ? (2 ? 3)bc ,

sin A sin B ? cos 2

C . 2

(1)求角 B 的大小; (2)若等差数列 ?an ? 的公差不为零,且 a1 cos 2B ? 1,且 a2 、 a4 、 a8 成等比数列,求

? 4 ? ? ? 的前 n 项和 Sn . ? an an ?1 ?
18.如图,在三棱柱 ABC ? A1B1C1 中,已知 AB ⊥侧面 BB1C1C , AB ? BC ? 1 BB1 ? 2 ,

?BCC1 ?

?
3



(1)求证: C1B ? 平面 ABC ; (2)求点 B 到平面 AB1C1 的距离.

19.根据国家环保部新修订的《环境空气质量标准》规定:居民区 PM 2.5 的年平均浓度不得 超过 35 微克/立方米, PM 2.5 的 24 小时平均浓度不得超过 75 微克/立方米.某城市环保部 门随机抽取了一居民区去年 20 天 PM 2.5 的 24 小时平均浓度的监测数据,数据统计如下: 组别

PM 2.5 浓度
(微克/立方米)

频数(天)

频率

第一组 第二组 第三组 第四组

(0, 25] (25,50] (50,75] (75,100)

3 12 3 2

0.15 0.6 0.15 0.1

(1)从样本中 PM 2.5 的 24 小时平均浓度超过 50 微克/立方米的 5 天中,随机抽取 2 天, 求恰好有一天 PM 2.5 的 24 小时平均浓度超过 75 微克/立方米的概率; (2)求样本平均数,并根据样本估计总体的思想,从 PM 2.5 的年平均浓度考虑,判断该 居民区的环境是否需要改进?说明理由. 20.在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 C :

1 x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 ,右焦点 2 2 a b

F (1, 0) .
(1)求椭圆 C 的方程; (2)点 P 在椭圆 C 上,且在第一象限内,直线 PQ 与圆 O : x ? y ? b 相切于点 M ,
2 2 2

且 OP ? OQ ,求点 Q 的纵坐标 t 的值.

21.已知函数 f ( x) ? (2 ? a ) ln x ?

1 ? 2ax . x

(1)当 a ? 0 时,讨论 f ( x) 的单调性;

(2)若对任意的 a ? (?3, ?2) , x1 , x2 ??1,3? 恒有 (m ? ln 3)a ? 2ln 3 ?| f ( x1 ) ? f ( x2 ) | 成 立,求实数 m 的取值范围. 请考生在 22、23、24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分. 22.选修 4-1:几何证明选讲 如图, AB 是圆 O 的直径,弦 CD ? AB 于点 M , E 是 CD 延长线上一点, AB ? 10 ,

CD ? 8 , 3ED ? 4OM , EF 切圆 O 于 F , BF 交 CD 于 G .
(1)求证:△ EFG 为等腰三角形; (2)求线段 MG 的长.

23.选修 4-4:坐标系与参数方程 在极坐标中,已知圆 C 的圆心 C (3, (1)求圆 C 的极坐标方程; (2)若点 Q 在圆 C 上运动,点 P 在 OQ 的延长线上,且 | OQ |:| OP |? 3: 2 ,求动点 P 的 轨迹方程. 24.选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f ( x) ?| 2 x ? 1| , x ? R . (1)解不等式 f ( x) ? x ? 1 ; (2)若对于 x , y ? R ,有 | x ? y ? 1|?

?
6

) ,半径 r ? 3 .

1 1 , | 2 y ? 1|? ,求证: f ( x) ? 1 . 3 6

福州市外国语学校 2017 届高三适应性考试(三) 高三数学(文科)答案
一、选择题 题号 答案 二、填空题 13. ?3 14. 1 B 2 C 3 C 4 B 5 D 6 A 7 C 8 A 9 A 10 C 11 A 12 B

3 2

15. 4?

16. (0,

1 ] e ?1

三、解答题 17.解: (1)由 a2 ? (b ? c)2 ? (2 ? 3)bc , a ? b ? c ? ? 3bc ,所以
2 2 2

cos A ?

b2 ? c 2 ? a 2 3 , ? 2bc 2

解得 C ?

2? ? ,∴ B ? . 3 6 1 ? 2 ,且 a42 ? a2a8 , cos A

(2)设 ?an ? 的公差为 d ,由已知得 a1 ? ∴ (a1 ? 3d )2 ? (a1 ? d )(a1 ? 7d ) . 又 d ? 0 ,∴ d ? 2 ,∴ an ? 2n . ∴

4 1 1 1 ? ? ? , an an?1 n(n ? 1) n n ? 1
1 2 1 1 2 3 1 1 3 4 1 n 1 1 n ) ? 1? ? . n ?1 n ?1 n ?1

∴ Sn ? (1 ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? … ? ( ?

18.解: (1)因为 AB ? BB1C1C , BC1 ? 侧面 BB1C1C ,故 AB ? BC1 , 在△ BCC1 中, BC ? 1 , CC1 ? BB1 ? 2 , ?BCC1 ? 60? ,

由余弦定理得:

BC12 ? BC2 ? CC12 ? 2BC ? CC1 cos ?BCC1 ? 12 ? 22 ? 2 ?1? 2 ? cos
∴ BC1 ? 3 ,故 BC 2 ? BC12 ? CC12 ,所以 BC ? BC1 , 而 BC ? AB ? B , ∴ C1B ? 平面 ABC . (2)∵ VA? B1BC1 ? 又 AB1 ? ∴ S ?AB1C1 ?

?
3

? 3,

1 1 3 , ? ? BC1 ? B1C1 ? AB ? 3 2 6

AB 2 ? BB12 ? 5 , AC1 ? AB 2 ? BC12 ? 2 , B1C1 ? 1 ,

1 AC1 ? BC1 ? 1 , 2

设点 B 到平面 AB1C1 的距离为 h , ∴ VB ? AB1C1 ?

1 1 3 , S?AB1C1 ? h ? ?1? h ? 3 3 6

∴h ?

3 3 ,∴点 B 到平面 AB1C1 的距离为 . 2 2

PM 2.5 19.解: (1)设 PM 2.5 的 24 小时平均浓度在 (50,75] 内的三天记为 A 1 , A2 , A 3,
的 24 小时平均浓度在 (75,100) 内的两天记为 B1 , B2 . 所以 5 天任取 2 天的情况有: A1 A2 , A1 A3 , A1B1 , A1B2 , A2 A3 , A2 B1 , A2 B2 , A3 B1 ,

A3 B2 , B1B2 共 10 种.
其中符合条件的有: A1B1 , A1B2 , A2 B1 , A2 B2 , A3 B1 , A3 B2 共 6 种. 所以所求的概率 P ?

6 3 ? . 10 5

(2)去年该居民区 PM 2.5 年平均浓度为:

12.5 ? 0.15 ? 37.5 ? 0.6 ? 62.5 ? 0.15 ? 87.5 ? 0.1 ? 42.5 (微克/立方米) .
因为 42.5 ? 35 ,所以去年该居民区 PM 2.5 年平均浓度不符合环境空气质量标准,故该居 民区的环境需要改进.

?c 1 x2 y 2 ? ? , 20.解: (1) ? a 2 ∴ c ? 1 , a ? 2 ,∴ b ? 3 ,∴椭圆方程为 ? ? 1. 4 3 ? ?c ? 1,
(2)①当 PM ? x 轴时, P( 3, 由 OP ? OQ ? 0 ,解得 t ? 2 3 . ②当 PM 不垂直于 x 轴时,设 P( x0 , y0 ) , PQ 方程为 y ? y0 ? k ( x ? x0 ) ,即

3 ) , Q( 3, t ) , 2

??? ? ????

kx ? y ? kx0 ? y0 ? 0 ,
∵ PQ 与圆 O 相切,∴

| kx0 ? y0 | k 2 ?1

? 3,

∴ (kx0 ? y0 )2 ? 3k 2 ? 3 , ∴ 2kx0 y0 ? k 2 x02 ? y02 ? 3k 2 ? 3 , 又Q (

??? ? ???? t ? y0 ? kx0 x ( y ? kx0 ) , t ) ,所以由 OP ? OQ ? 0 ,得 t ? 0 0 , k x0 ? ky0
x0 2 ( y ? kx0 )2 x02 (kx0 ? y0 )2 x02 (3k 2 ? 3) ? ? ( x0 ? ky0 )2 x02 ? k 2 y0 2 ? 2kx0 y0 x0 2 ? k 2 y02 ? k 2 x02 ? y02 ? 3k 2 ? 3

∴ t2 ?

?

x0 2 (3k 2 ? 3) ? 12 , 3 2 2 2 2 2 (1 ? k ) x0 ? (1 ? k )(3 ? x0 ) ? 3k ? 3 4

∴ t ? ?2 3 . 综上: t ? ?2 3 . 21.解: (1)f '( x) ?

2?a 1 (2 x ? 1)(ax ? 1) 1 1 ? 2 ? 2a ? , 令 f '( x) ? 0 , 得 x1 ? ,x2 ? ? , 2 x x x 2 a

当 a ? ?2 时, f '( x) ? 0 ,函数 f ( x) 在定义域 (0, ??) 内单调递减; 当 ?2 ? a ? 0 时, 在区间 (0, ) ,(? 上 f '( x) ? 0 , f ( x) 单调递增; 当 a ? ?2 时,在区间 (0, ? ) , ( , ??) 上 f '( x) ? 0 , f ( x) 单调递减,在区间 ( ?

1 2

1 1 1 , ??) 上 f '( x) ? 0 , f ( x) 单调递减, 在区间 ( , ? ) a 2 a

1 a

1 2

1 1 , )上 a 2

f '( x) ? 0 , f ( x) 单调递增.
(2)由(1)知当 a ? (?3, ?2) 时,函数 f ( x) 在区间 ?1,3? 单调递减;

1 ? 6a . 3 1 问题等价于: 对任意的 a ? (?3, ?2) , 恒有 (m ? ln 3) a ? 2ln 3 ? 1 ? 2 a ? (2 ? a) ln 3 ? ? 6 a 3
所以当 x ??1,3? 时, f ( x)max ? f (1) ? 1 ? 2a , f ( x) min ? f (3) ? (2 ? a) ln 3 ? 成立,

2 2 ? 4a ,因为 a ? 0 ,所以 m ? ( ? 4) min , 3a 3 13 ∴实数 m 的取值范围为 ( ??, ? ] . 3
即 am ? 22.(1)证明:连接 AF , OF ,则 A , F , G , M 共圆, ∴ ?FGE ? ?BAF ,∵ EF ? OF ,∴ ?EFG ? ?BAF , ∴ ?EFG ? ?FGE ,∴ EF ? EG ,∴△ EFG 为等腰三角形. (2)解:由 AB ? 10 , CD ? 8 ,可得 OM ? 3 , ∴ ED ?

4 OM ? 4 , EF 2 ? ED ? EC ? 48 ,∴ EF ? EG ? 4 3 , 3

连接 AD ,则 ?BAD ? ?BFD , ∴ MG ? EM ? EG ? 8 ? 4 3 . 23.解: (1)设 M ( ? ,? ) 为圆 C 上任一点, OM 的中点为 N , ∵ O 在圆 C 上,∴△ OCM 为等腰三角形,由垂径定理可得 | ON |?| OC | cos(? ? 所求圆 C 的极坐标方程. (2)设点 P 的极坐标为 ( ? ,? ) ,因为 P 在 OQ 的延长线上,且 | OQ |:| OP |? 3: 2 , 所以点 Q 的坐标为 ( ? , ? ) , 由于点 Q 在圆上,所以

?
6

) ,为

3 5

3 ? ? ? 6 cos(? ? ) , 5 6

故点 P 的轨迹方程为 ? ? 10 cos(? ?

?

6

).

24.(1)解: f ( x) ? x ? 1 ,即 x ? 1 ? 2 ? 1 ? x ? 1 ,解得 0 ? x ? 2 . (2)证明:

1 1 5 f ( x) ?| 2 x ?1|?| 2( x ? y ?1) ? (2 y ? 1) | ? 2 | 2 x ? y ? 1| ? | 2 y ? 1|? 2 ? ? ? ? 1 . 3 6 6


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