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2015年高中数学 第二章 第7课时 两条直线的平行与垂直学案 苏教版必修2


两条直线的平行与垂直(2)
【学习导航】

在的直线方程. 分析: 由 BC 和 AD 垂直,求出 AD 的斜率,利用 直线的点斜式便可求出高 AD 所在的直线方程. 【解】 直线 BC 的斜率为 k BC ? ∵ AD ? BC , ∴ k AD ?

学习要求
1.掌握两条直线垂直的判定方法,并会根 据直线方程判断两条直线是否垂直; 2.理解两条直线垂直条件的推导过程,注 意解几思想的渗透和表述的规范性,培养学 生的探索和概括能力. 【课堂互动】

3 ? (?2) 5 ?? , ?2 ? 1 3

3 , 5

根据点斜式,得到所求直线的方程为

3 y ? 4 ? ( x ? 2) , 即 3x ? 5 y ? 14 ? 0 . 5
点评:一般地,与直线 Ax ? By ? C ? 0 垂直的 直线的方程可设为 Bx ? Ay ? m ? 0 , 其中 m 待 定. 例 3 :在路边安装路灯,路宽 23 m ,灯杆长
? 2.5m , 且与灯柱成 120 角, 路灯采用锥形灯罩,

自学评价
(1)当两条直线的斜率都存在时,如果它 们 互相垂直 , 那么它们的斜率的乘积等于 ?1 , 反之, 如果它们的斜率的乘积等于 ?1 , 那么它们 互相垂直 . (2)若两条直线 l1 , l2 中的一条斜率不存在, 则另一条斜率为 0 时, l1 ? l2 . 【精典范例】 例 1 : ( 1 ) 已 知 四 点 A(5,3), B(10,6), C(3, ?4), D(?6,11) , 求 证: AB ? CD .

3 , 直线 l2 4 经 过 点 A(3a, ?2), B(0, a2 ? 1) , 且 l1 ? l2 ,求实数 a 的值.
(2) 已知直线 l1 的斜率为 k1 ? 【 证 明 】( 1 ) 由 斜 率 公 式 得 :

灯罩轴线与灯杆垂直.当灯柱高 h 为多少米时, 灯罩轴线正好通过道路路面的中线?(精确到 0.01m ) 【解】记灯柱顶端为 B ,灯罩顶为 A ,灯管为 AB ,灯罩轴线与道路中线交于点 C .以灯柱 底端 O 为原点,灯柱 OB 为 y 轴,建立如图所 示的直角坐标系. 点 B 的坐标为 (0, h) ,点 C 的坐标为 (11.5, 0) , ∵ ?OBA ? 120 ,∴直线 BA 的倾斜角为 30 ,
? ?

6?3 3 11 ? (?4) 5 ? , kCD ? ?? , 10 ? 5 5 ?6 ? 3 3 则 k AB ? kCD ? ?1 , ∴ AB ? CD . k AB ?
(2)∵ l1 ? l2 ,∴ k1 ? k2 ? ?1 ,

则点 A 的坐标为( 2.5cos30 , h ? 2.5sin 30 ) ,
? ?

A ? B A 即( 1.25 3, h ? 1.25 ) ,? C

3 a 2 ? 1 ? (?2) ? ? ?1 , 4 0 ? 3a 解得 a ? 1 或 a ? 3 , ∴当 a ? 1 或 a ? 3 时, l1 ? l2 .
即 点评:本题是两直线垂直判定的简单应用. 例 2 : 已知三角形的三个顶点为

1 1 ?? ?? 3, 由直线的点 tan 30? kBA 斜 式 方 程 , 得 CA 的 方 程 为 y ? (h ?1.25) ? ? 3( x ?1.25 3) , ? 灯罩轴线 CA 过点 C (11.5,0) ,
∴ kCA ? ? ∴ ?(h ? 1.25) ? ? 3(11.5 ?1.25 3) ,

h ? 14.92(m) 答:灯柱高 h 约为 14.92 m .
解得 点评 :读懂题意,画出示意图,建立直角坐标系 , 构造数学模型是关键. 追踪训练一 1. 以 A(?1,1), B(2, ?1), C (1, 4) 为 顶点 的三 角 形是 ( A )锐角三角形 ( C )钝角三角形 (B ) ( B )直角三角形

A(2, 4),
B(1, ?2),
C
D
4

A

C (?2,3) ,
求 BC 边上 的高 AD 所

?2

?2

2
B

2. (2000 京皖春, 6) 直线 (

3 ? 2 )x+y=3
1

和直线 x+(

2 ? 3 )y=2 的位置关系是
( B )垂直 ( D )重合

即A 1 B2 ? A 2B 1 .反之也成立. 综合①②可知:当 l1 // l2 时, A 1 B2 ? A 2B 1. (2)①当两直线方程中 x, y 的系数有一个为 0 时, 不妨设 B1 ? 0 , 则必有 A1 ? 0 , 此时直线 l1 垂直 于 x 轴,其方程为 A1 x ? C1 ? 0 ,由 l1 ? l2 知,直 线 l2 平行于 x 轴,故其方程为 B2 y ? C2 ? 0 , 满足, A 1 A2 ? B 1B2 ? 0 ;反之也成立. ②当两直线方程中 x, y 的系数均不为 0 时, 直线 l1 和 l2 的斜率分别为 ?

( B ) ( A )相交不垂直 ( C )平行

3. 过原点作直线 l 的垂线,若垂足为

(?2,3) , 则 直 线 l 的 方 程 是
2 x ? 3 y ? 13 ? 0 .
4 . 已 知 两 直 线 l1 : 2 x ? 4 y ? 7 ? 0 ,

l2 : 2 x ? y ? 5 ? 0 ,求证: l1 ? l 2 .
【选修延伸】 例 4: (课本第 91 页 习题 第 12 题)直线 l1 和 l2 的 方 程 分 别 是 A 1x ? B 1 y ? C1 ? 0 和

A1 A ,? 2 , B1 B2

A2 x ? B2 y ? C2 ? 0 ,其中 A1 , B1 不全为 0, A2 , B2 也不全为 0,试探究: (1)当 l1 // l2 时,直线方程中的系数应满足
什么关系? (2) 当 l1 ? l2 时, 直线方程中的系数应满足 什么关系? 分析:由于 l1 和 l2 的斜率可能不存在,因此 分类讨论. 【解】 (1)①当两直线方程中 x, y 的系数有 一个为 0 时, 不妨设 B1 ? 0 ,则必有 A1 ? 0 ,此时直线 l1 垂直于 x 轴,其方程为 A1 x ? C1 ? 0 ,由 l1 // l2 知 l2 也 垂 直 于 x 轴 , 其 方 程 可 以 为

由 l1 ? l2 知 , (?

A1 A )(? 2 ) ? ?1 , ∴ B1 B2

A1 A? 2

B1? B 02.反之也成立.

综合①②可知:当 l1 ? l2 时, A 1 A2 ? B 1B2 ? 0 . 点评:斜率是否存在的讨论是本题的难点所 在. 另外, 分类讨论的数学思想也得到了充分的 体现. 思维点拔: 1 . 求 直 线 方 程 时 , 与 y ? kx ? b 或

Ax ? By ? C ? 0 平 行 的 直 线 可 分 别 设 为

y ? kx ? b1 或 Ax ? By ? C1 ? 0 (其中 b1 , C1 为
待定系数) ; 与 y ? kx ? b 或 Ax ? By ? C ? 0 垂 直的直线可分别设为 y ? ?

A2 x ? C2 ? 0 ,
此时满足 A 1 B2 ? A 2B 1 ;反之也成立. ②当两直线方程中 x, y 的系数均不为 0 时, 直线 l1 和 l2 的斜率分别为 ?

1 x ? b1 ? k ? 0 ? 或 k

Bx ? Ay ? C1 ? 0 (其中 b1 , C1 为待定系数) .
2. 在解有关两直线平行或垂直问题时,应注意它 们的斜率是否存在,否则需分类讨论. 追踪训练二 1 . 若 直 线 (a ? 2) x ? (1 ? a) y ? 3 ? 0 与

A1 A , ? 2 ,由 B1 B2

l1 // l2 得 ?

A1 A ?? 2 , B1 B2

(a ? 1) x ? (2a ? 3) y ? 2 ? 0 互相垂直,则实数
2

a 的值为 a ? 1或 ? 1 .
2 . 由 四 条 直 线 : x ? 2 y ?1 ? 0 ,

2x ? y ?1 ? 0



2x ? 4 y ?1 ? 0



4x ? 2 y ?1 ? 0 围 成 的 四 边 形 是
( D )

( A) 等腰梯形 ( B ) 梯形 (C ) 长方形 ( D) 正
方形 3.过点 (2,1) 的所有直线中,距离原点最远 的直线方程是 2 x ? y ? 5 ? 0 . 4.分别经过点 A(1,2)、B(2,4)的两条直线 互相平行,当它们之间的距离达到最大时, 求这两条直线的方程. 答案 : 经过 A, B 的直线分别是 x ? y ? 1 ? 0 及 x ? 2 y ? 10 ? 0 .

学生质疑

教师释疑

3


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