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2015届高考数学(文)第一轮复习达标课时跟踪检测:2-6 对数与对数函数含答案




[A 组 基础演练·能力提升]
一、选择题 1.若 x∈(e A.c>b>a
-1,

1),a=ln x,b=

?1?ln x ,c=eln x ,则 a,b,c 的大小关系为( ?2?
D.b>a>c

)

B.b

>c>a

C.a>b>c

解析:依题意得 a=ln x∈(-1,0),b= B. 答案:B

?1?ln x ∈(1,2),c=x∈(e-1, 1),因此 b>c>a,选 ?2?

2.(2013 年高考湖南卷)函数 f(x)=ln x 的图象与函数 g(x)=x2 -4x+4 的图象的交点 个数为( A.3 C.1 ) B.2 D.0

解析:画出两函数的大致图象,可得两图象的交点个数为 2. 答案: B 3.函数 y=log2 |x|的图象大致是( )

? ?log2 x,x>0, 解析:函数 y=log2 |x|=? ?log2 -x ,x<0, ?

所以函数图象为 A. 答案:A ln2 6 ln2 π 4.(2014 年宣城模拟)若 a= ,b=ln 2×ln 3,c= ,则 a,b,c 的大小关系是 4 4 ( ) A.a>b>c C.c>b>a B.c>a>b D.b>a>c
2

ln 2+ln 3?2 ln 6 解析:∵ln 6>ln π >1,∴a>c,排除 B,C;b=ln 2·ln 3< ? = =a, ? 2 ? 4 排除 D,故选 A. 答案:A

-1-

log2 x x>0, ? ? 5. 设函数 f(x)=? 1 log -x ,x<0. ? ? 2 A.(-1,0)∪(0,1) C.(-1,0)∪(1,+∞)
?a>0 ? 解析:由题意可得? ? ?log2 a>-log2 a

若 f(a)>f(-a), 则实数 a 的取值范围是(

)

B.(-∞,-1)∪(1,+∞) D.(-∞,-1)∪(0,1)

a<0 ? ? 或? 1 ?log2 -a ?

2

-a

,解得 a>1 或-

1<a<0,因此选 C. 答案:C 1 6.当 0<x≤ 时,4x <loga x,则 a 的取值范围是( 2 A.?0, )

? ?

2? ? 2 ?

B.?

? 2 ? ? ? 2 ,1?

C.(1, 2)

D. ( 2,2)

解析:利用指数函数和对数函数的性质求解. 1 ∵0<x≤ ,∴1<4x ≤2,∴loga x>4x >1,∴0<a<1,排除答案 C,D; 2 1 1 1 11 取 a= ,x= ,则有 4 =2,log =1,显然 4x <logax 不成立,排除答案 A;故选 B. 2 2 2 22 答案:B 二、填空题 7.(2013 年高考四川卷)lg 5+lg 20的值是________. 1 1 解析:原式= lg 5+ (lg 4+lg 5) 2 2 1 1 = lg 5+lg 2+ lg 5=lg 2+lg 5=1. 2 2 答案:1 1 ? ?log x,x≥1 2 8.(2013 年高考北京卷)函数 f(x)=? x ? ?2 ,x<1 1 x 解析:由 x≥1 时,log x≤0,x<1 时,0<2 <2, 2 ∴f(x)的值域(-∞,2) 答案:(-∞,2)

的值域为________.

-2-

1 9.若不等式 x2 -loga x<0 在?0, ?内恒成立,则 a 的取值范围是________. ? 2? 1 解析:∵不等式 x2 -loga x<0 在?0, ?内恒成立, ? 2? 1 1 ∴0<a<1,且 <loga . 4 2 0<a<1, ? ? ∴? 1 1 ?a4>2, ? 答案: 1 解得 <a<1. 16

? 1 ,1? ?16 ?

三、解答题 1 1 1 1 10.求值 ?lg 32+log4 16+6lg ?+ lg . 5? 2? 5 5 1 1 1 解析:原式= ? ?lg 32+2+lg? ? 6 +lg ? ? 5? ? 2? 5? 1? 1 1?? ? = 2+lg 32· · 5? ? 64 5?? 1 1 = ?2+lg ? 5? 10? 1 1 = [2+(-1)]= . 5 5 11.求函数 f(x)=loga (2x2 -5x+3)的单调区间. 解析:设 y=loga u,u=2x2 -5x+3. 3 由 2x2 -5x+3>0,解得 x<1 或 x> . 2 3 且 u=2x2 -5x+3 在(-∞,1)上是减函数,在? ,+∞?上是增函数. ?2 ? 当 a>1 时,y=logau 是增函数, 3 则函数 f(x)的单调减区间是(-∞,1),单调增区间是? ,+∞?. ?2 ? 当 0<a<1 时,y=logau 是减函数, 3 则函数 f(x)的单调增区间是(-∞,1),单调减区间是? ,+∞?. ?2 ? 12.(能力提升)已知函数 f(x)=log4 (4x +1)+kx(k∈R)为偶函数. (1)求 k 的值; (2)若方程 f(x)=log4 (a·2x -a)有且只有一个根,求实数 a 的取值范围. 解析:(1)∵f(x)为偶函数,∴f(-x)=f(x),
-3-

即 log4 (4-x +1)-kx=log4 (4x +1)+kx, 1 即(2k+1)x=0,∴k=- . 2 1 (2)依题意令 log4 (4x +1)- x=log4 (a·2x -a), 2
x x ? ?4 +1= a·2 -a ? 即 x ?a·2 -a>0 ? x
2

x



令 t=2 ,则(1-a)t +at+1=0,只需其有一正根即可满足题意. ①当 a=1,t=-1 时,不合题意. Δ =a - -a ? ? ②上式有一正一负根 t1 ,t2 ,即? 1 t1 t2 = <0 ? 1-a ?
2

, ,

经验证满足 a·2x -a>0,∴a>1. ③上式有两根相等,即 Δ =0? a=±2 2-2, 此时 t=

a a-



若 a=2( 2-1),则有 t= 2( 2-1)舍去; 若 a=-2( 2+1),则有 t=

a a-

<0,此时方程(1-a)t2 +at+1=0 无正根,故 a=

a a-

>0,且 a·2x -a=a(t-1)=a?

a a-

?

-1?=

?

a

-a a-

>0,因此 a=-2( 2+1).

综上所述,a>1 或 a=-2-2 2.

-4-


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