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椭圆及其标准方程导学案


2.1.1 椭圆及其标准方程(1) 学习目标 1.从具体情境中抽象出椭圆的模型;2.掌握椭圆的定义;3 掌握椭圆的标准 方程. 学习过程 一、课前准备 1.平面内,到定点的距离等于定长的点的轨迹是 . 2.圆心为 ( a, b) ,半径为 r 的圆的标准方程是 .

∵ F1 F2 ? 2c ,则 F1 , F2 的坐标为 ③根据条件 PF1 ? PF2 ?

2a 得 ④化简: (1)

二、新课导学 探究一:取一条定长的细绳, 1、把它的两端都固定在图板的同一个点处,套上铅笔,拉紧绳子,移动笔尖,这时 笔尖画出的轨迹是一个 . 2、如果把细绳的两端拉开一段距离,分别固定在图板的两个点处,套上铅笔,拉紧 绳子,移动笔尖,画出的轨迹是什么曲线? 思考:移动的笔尖(动点)满足的几何条件是什么?经过观察后思考:在移动笔尖的过程 中,细绳的 保持不变,即笔尖 等于常数.

∴椭圆方程为: 思考:怎样推导焦点在 y 轴上的椭圆的标准方程?(以焦点所在直线为 y 轴)

问题: 如何判断椭圆焦点位置? 新知1: 我们把平面内 叫做椭圆的 ,两焦点间的距离叫做椭圆的 反思:若将常数(绳长)记为 2a ,为什么 2a ? F1F2 ? 当 2a ? F1F2 时,其轨迹为 当 2a ? F1 F2 时,其轨迹为 ; . 标准方程 焦点坐标 ⑵如何建立适当的坐标系? ①建立适当的直角坐标系:以 示的坐标系。 ②设点:设 P ( x, y ) 是椭圆上的任意一点, 为 x 轴, 为 y 轴,建立如图所 a,b,c 的关系 焦点位置的判断 新知2:椭圆的标准方程(2 个) : ?焦点在 x 轴上的椭圆的标准方程: 其中 a、b、c 的关系是: ?若焦点在 y 轴上椭圆的标准方程: 叫做椭圆,这两个定点 . 椭圆的定义

图形

探究二、类比圆的方程的推导过程,建立适当的坐标系后,推导椭圆方程: (1)回顾求圆的标准方程的基本步骤

两个焦点坐标



其中 a、b、c 的关系是:

两个焦点坐标



典型例题 例 1 根据下列方程,分别求出椭圆中 a,b,c 的值 1.椭圆
x2 y2 ? ? 1, 42 62
2

则 a=

,b=

,c=



2.平面内一动点 M 到两定点 F1 、 F2 距离之和为常数 2a ,则点 M 的轨迹为( A.椭圆 B.圆 C.无轨迹 D.椭圆或线段或无轨迹 2 2 3.椭圆 4x +9y =1 的焦点坐标是( ) 5 5 , 0) A. (? 5,0) B. (0, ? 5) C. ( ? D. (? ,0) 6 36 4.如果方程 x2 ? ky 2 ? 2 表示焦点在 y 轴上的椭圆,那么实数 k 的取值范围是( A. (0, ??) B. (0, 2) C. (1, ?? ) D. (0,1) 5.如果椭圆

) .

) .

y2 ?1 2.椭圆 x ? 5

则 a= 则 a=

,b= ,b=

,c= ,c=

。 。

x2 y2 ? ? 1 上一点 P 到焦点 F1 的距离等于 6,那么点 P 到另一个焦点 F2 的距离 100 36

3.椭圆 x ? 2 y ? 8
2 2

例 2.下列哪些是椭圆方程?如果是,请指出其焦点所在的坐标轴.

(1)16x 2 ? 25y 2 ? 400,
y2 x2 (4) ? ? ?1, 4 9

(2)

y2 x2 ? ? 1, 16 25

(3)

x2 y2 ? ? 1, 4 4

是( ) .A.4 B.14 C.12 D.8 6.椭圆两焦点间的距离为 16 ,且椭圆上某一点到两焦点的距离分别等于 9 和 15 ,则椭圆 的标准方程是 . 7.如果点 M ( x, y ) 在运动过程中,总满足关系式 x2 ? ( y ? 3)2 ? x2 ? ( y ? 3)2 ? 10 ,点 M 的轨 迹是 ,它的方程是 . 课后作业:1.已知 A(0,-1) 、B(0,1)两点,△ABC 的周长为 6,则△ABC 的顶点 C 的方程是( ) A.
x2 y2 ? ?1 4 3

(5)3x 2 ? 4 y 2 ? 2.

例 3 写出适合下列条件的椭圆的标准方程: ⑴ a ? 4, b ? 1 ,焦点在 x 轴上; ⑵ a ? 4, c ? 15 ,焦点在 y 轴上; ⑶ a ? b ? 10, c ? 2 5 . 变式:1.方程
x y ? ? 1 表示焦点在 x 轴上的椭圆,则实数 m 的范围 4 m
2

B.

x2 y 2 ? ? 1( y ? ?2) 4 3

C.

x2 y 2 x2 y2 ? ? 1( x ? 0) D. ? ? 1( y ? 0) 4 3 4 3

2.椭圆 4x2+9y2=1 的焦点坐标是( ) A. (? 5,0) . B. (0, ? 5) C. ( ?
5 , 0) 6

D. (?

5 ,0) 36


2 .方程

x2 y ? ? 1表示焦点在 y 轴上的椭圆,求实数 m 的范围. 9 m

x2 y2 ? 1 表示焦点在 轴上的椭圆,则实数 a 的取值范围是( 3.若方程 2 ? a a?6

A.a>3
?2 2?

B.a<-2

C. .a>3 或 a<-2

D. a>3 或-6<a<-2

例3 程 .

?5 3? 已知椭圆两个焦点的坐标分别是 ? ?2,0? , (2, 0) ,并且经过点 ? , ? ? ,求它的标准方

4.椭圆 5x 2 ? ky 2 ? 5 的一个焦点是(0,2) ,则 k= 5.过点 (?3, 2) 且与
x2 y2 ? ? 1 有相同的焦点的椭圆的方程为 9 4

变式:椭圆过点 ? ?2,0? , (2, 0) , (0,3) ,求它的标准方程. 课堂练习 1. 已知 ?ABC 的顶点 B 、 C 在椭圆
x2 ? y 2 ? 1 上,顶点 A 是椭圆的一个焦点,且 3

6. 写出适合下列条件的椭圆的标准方程: ⑴焦点在 x 轴上,焦距等于 4 ,并且经过点 P ? 3, ?2 6 ? ; ⑵焦点坐标分别为 ? 0, ?4? , ? 0, 4? , a ? 5 ; ⑶ a ? c ? 10, a ? c ? 4 .

椭圆的另外一个焦点在 BC 边上,则 ?ABC 的周长是( A. 2 3 B.6 C. 4 3 D.12

) .


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