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1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质(二)


1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质 (二)

1.掌握正弦函数、余弦函数的奇偶性、单调性; 2.会利用三角函数的单调性判断一组数的大小,会求给 出的三角函数单调区间.

1.请回答:什么叫做周期函数?

对于函数 f ( x),如果存在一个非零常数T,使得当 x 取定义
域内的每一个值时,都有 f ( x

? T ) ? f ( x) ,那么函数 f ( x) 就叫做周期函数,非零常数T就叫做这个函数的周期. 2.正弦函数、余弦函数是否是周期函数?周期是多少? 最小正周期是多少?

2 正弦函数、 余弦函数都是周期函数, k? (k ? Z 且k ? 0)
都是它的周期,最小正周期是 2? .

3.函数的周期性对于研究函数有什么意义?
对于周期函数,如果我们能把握它的一个周期内的情况, 那么整个周期内的情况也就把握了.这是研究周期函数的 一个重要方法,即由一个周期的情况,扩展到整个函数 的情况.

一、奇偶性探究 1.观察正弦曲线和余弦曲线的对称性,你有什么发现?
y
1 -3?
? 5? 2

正弦曲线关于原点o对称
?
2

-2?

?

3? 2

-?

?

?
2

x
7? 2

o
-1

?

3? 2

2?

5? 2

3?

4?

y余弦曲线关于
1

y轴对称
x
5? 2
7? 2

-3?

?

5? 2

-2?

?

3? 2

-?

?

?
2

o
-1

?
2

?

3? 2

2?

3?

4?

2.根据图象的特点,猜想正余弦函数分别有什么性质?如何

从理论上验证?
sin(-x)= - sinx (x?R) y=sinx (x?R) 是奇函数

定义域关于原点对称
cos(-x)= cosx (x?R) y=cosx (x?R) 是偶函数

二、单调性探究 ? ? 3? ? 1.当 x ? ? ? , ? 时,正弦函数在哪些区间上是增函数? ? 2 2 ? 在哪些区间上是减函数?
y
1 -3?
? 5? 2

y=sinx
?
2

-2?

?

3? 2

-?

?

?
2

o
-1

?

3? 2

2?

5? 2

x
3?
7? 2

4?

增区间:

? ? ?? ?? 2 , 2 ? ? ?

减区间:

? ? 3? ? , ? ?2 2 ? ?

y
1 -3?
? 5? 2

y=sinx
?
2

-2?

?

3? 2

-?

?

?
2

o
-1

?

3? 2

2?

5? 2

x
3?
7? 2

4?

2.由上面的正弦曲线你能得到哪些正弦函数的增区间和 减区间?怎样把它们整合在一起?
? 增区间: 5? , ? 3? ? , ? ? ? , ? ? , ? 3? , 5? ? ?? 2 2 ? ? 2 2? ? 2 2 ? ? ? ? ? ? ?

减区间: 3? ?

?? 2 , ? 2 ? , ? 2 , 2 ? , ? 2 , 2 ? ? ? ? ? ? ?

? ? ? ? 3? ? ? 5? 7? ?

周 期 性 ??

? ? ? ? ? ? 2 k? , ? 2 k? ? , k ? Z ? 2 2 ? ?
3? ? ? 2 k? , ? 2 k? ? , k ? Z ?2 2 ? ?

y
1 -3?
? 5? 2

y=sinx
?
2

-2?

?

3? 2

-?

?

?
2

o
-1

?

3? 2

2?

5? 2

x
3?
7? 2

4?

3.正弦函数有多少个增区间和减区间?观察正弦函数的

各个增区间和减区间,函数值的变化有什么规律? 正弦函数有无数多个增区间和减区间.
在每个增区间,函数值从 ?1 增大到 1 , 在每个减区间,函数值从 1 减小到 ?1 .

? ? ? ? 正弦函数在每一个闭区间 ? ? 2k? , ? 2k? , ( k ? Z ) ? 2 ? 2 ? ? 上都是增函数,其值从-1增大到1;
在每一个闭区间 ? ? ? 2k? , 3? ? 2k? ? , (k ? Z )上都是减函数, ?2 ? 2 ? ? 其值从1减小到-1.

4.余弦函数可以得到怎样相似的结论呢?

y ? cos x
-3?
? 5? 2

y
1

-2?

?

3? 2

-?

?

?
2

o
-1

?
2

?

3? 2

x
2?
5? 2

3?

7? 2

4?

? ?? ? 2k? , 2k? ? , k ? Z 在每个区间______________________上都是增函数,
?1 1 其值从____增大到____

? ? 在每个区间______________________上都是减函数,
2 k ? , ? ? 2 k? , k ? Z
?1 1 其值从____减小到____

三、最大值和最小值探究

y ? sin x
-3?
? 5? 2

y
1
?

-2?

?

3? 2

-?

?
2

o
-1

?
2

?

3? 2

2?

5? 2

x
3?
7? 2

4?

? ? 2k? , k ? Z 1 正弦函数当且仅当 x ? ______________时取得最大值___ 2
? ? ? 2k? , k ? Z ?1 当且仅当 x ?_____________时取得最小值___ 2

三、最大值和最小值探究

y ? cos x
-3?
5? ? 2

y

1 -2?
3? ? 2

-?

?

?
2

o
-1

?
2

?

3? 2

2?

5? 2

x
3?
7? 2

4?

2 k? , k ? Z 1 余弦函数当且仅当 x ? ______________时取得最大值___

? ? 2k? , k ? Z ?1 当且仅当 x ?_____________时取得最小值___

例1 下列函数有最大值、最小值吗?如果有,请写出取最大
值、最小值时自变量x的集合,并说出最大值、最小值分别 是多少. (1) y ? cos x ? 1, x ? R

(2) y ? ?3sin 2 x, x ? R

解:这两个函数都有最大值、最小值.
(1)使函数 y ? cos x ? 1, x ? R 取得最大值的 x 的集合为

? x x ? 2k? , k ? Z ? , 最大值为 1 ? 1 ? 2.
使函数 y ? cos x ? 1, x ? R 取得最小值的 x 的集合为

? x x ? ? ? 2k? , k ? Z ? , 最小值为 ?1 ?1 ? 0.

(2) y ? ?3sin 2 x, x ? R
使函数 y ? ?3sin z, z ? R 取得最大值的 解:(2)令 z ? 2 x ,

z 的集合是 ? z z ? ? ? ? 2k? , k ? Z ? , ? ?
? 2
由 2x ? z ? ?

?
2

?

? 2k? 得,x ? ?

?
4

? k? .

因此使函数 y ? ?3sin 2 x, x ? R 取得最大值的 x 的集合为

? ? ? ? x x ? ? ? k? , k ? Z ? . 4 ? ?
最大值为3.

想一想:最小值 的 x 的集合怎么 求?

(2) y ? ?3sin 2 x, x ? R
解: 同理使函数 y ? ?3sin 2 x, x ? R 取得最小值的 x 的集合为

? ? ? x x ? ? k? , k ? Z ? . ? 4 ? ?

最小值为-3.

例2 根据函数单调性,比较下列各组数的大小: ? ? ) 与 sin( ? ? ) (2) cos(? 23? ) 与cos(? 17?) (1) sin( 18 4 10 5 解: 1)因为 ? (
?
2 ??

?
10

??

?
18

?0

又 y=sinx 在 [ ?

?
2

, 0] 上是增函数,

? ? 所以 sin( ? ) > sin(? ). 10 18

解: (2) cos(? 23?)=cos
5

23? 5

=cos

3? 5

17? 17? cos(? )=cos 4 4

? =cos 4

因为 0 ?

?
4

?

3? ??, 5

又 y=cosx 在 [0, ? ] 上是减函数

所以 cos

3? ? > cos 5 4

? 即 cos(

17? ) 4

> cos(?

23? ) 5

.

?? ?1 例3 求函数 y ? sin ? x ? ? , x ? ? ?2? , 2? ? 的单调递增区间. 3? ?2 1 ? 解:令 z ? x ? , 函数 y ? sin z 的递增区间是 2 3

? ? ? ? ? ? 2k? , ? 2k? ? . ? 2 2 ? ?

1 ? ? 由 ? ? 2k? ? x ? ? ? 2k? 2 2 3 2

?

5? ? 得 ? ? 4k? ? x ? ? 4k? , k ? Z . 3 3 ? ? 5? ? ? 4k? ? x ? ? 4k? , k ? Z ? A ? ? ?2? , 2? ? B ? ?? 设 3 ? 3 ? ? 5? ? ? 可得 A ? B ? ? ? , ? . ? 3 3? ? 5? ? ? 所以原函数的单调递增区间为 ? ? , ? . ? 3 3?

1.观察正弦曲线和余弦曲线,写出满足下列条件的区间:

(1)sin x ? 0

(2)sin x ? 0

? 2k? , ? ? 2k? ? , k ? Z ?? ? 2k? , 2? ? 2k? ? , k ? Z
(3) cos x ? 0 (4) cos x ? 0
3? ?? ? ? ? ? ? ? 2 k? , ? 2 k? ? , k ? Z ? ? ? 2 k? , ? 2 k ? ? , k ? Z ? 2 2 ? ? 2 ? 2 ?

2.求使下列函数取得最大值、最小值的自变量的集合,并 写出最大值、最小值各是多少.

(1) y ? 2sin x, x ? R

x (2) y ? 2 ? cos , x ? R 3
最大值为2

? ? ? 答案:(1)? x x ? ? 2k? , k ? Z ? 2 ? ? ? ? ? ? x x ? ? ? 2k? , k ? Z ? 2 ? ?

最小值为-2

答案:(2)? x x ? 3? ? 6k? , k ? Z ?

最大值为3

? x x ? 6k? , k ? Z ?

最小值为1

3.比较下列各组中两个三角函数值的大小:

(1)sin 250? ____ sin 260?
15? 14? (2) cos ____ cos 8 9

?

?

(3) cos515? ____ cos530?

?

? 54? (4)sin ? ? ? 7

? ? 63? ? ? ____ sin ? ? ? ? ? 8 ?

?

4.(1)求函数 y ? 3sin(2 x ? ), x ? ?0, ? ? 的单调递减区间. 4 ? ? 5? ? ?8 , 8 ? ? ?

?

? x (2)求函数 y ? sin( ? ), x ? ? ?2? , 2? ? 的单调递增区间. 3 2 ?? ? 5? ? ? ? ?2? , ? 3 ? 和 ? 3 , 2? ? ? ? ? ?

正弦函数、余弦函数的性质: 定义域 值域与最值

周期性 单调性

奇偶性

霸祖孤身取二江,子孙多以百城降。豪华

尽出成功后,逸乐安知与祸双?
——王安石


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