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山东省济宁市嘉祥一中12-13学年高一下学期期中考试数学试题


嘉祥一中 2012-2013 学年高一下学期期中检测 数学
一、选择题:本大题为单选题,共 12 题,每小题 5 分,共 60 分。 1.设集合 U ? ?01 2,4, , M ? ?0,5? , N ? ?1 4, ,则 M ? (CU N ) ? ( , 3,5? , 3, ,5? A. ?5? B. ?0,3?
x ?x



C. ?0,2,3,5?
x ?x

D. ?0,1,3,4,5? )

2.若函数 f ( x) ? 3 ? 3 与 g ( x) ? 3 ? 3 的定义域均为 R ,则 ( A. f ( x ) 与 g ( x) 均为偶函数 C. f ( x ) 与 g ( x) 均为奇函数 3.函数 f ( x) ? A. (??, ?1)

B. f ( x ) 为奇函数, g ( x) 为偶函数 D. f ( x ) 为偶函数, g ( x) 为奇函数 ) D. (??, ??)

1 ? lg(1 ? x) 的定义域是( 1? x
B. (1, ??)

C. (?1,1) ? (1, ??) )

4.下列各组函数中,表示同一函数的是( A. y ? x, y ? x
3 3

B. y ? lg x2 , y ? 2lg x D. y ?| x |, y ? ( x )2 ) D. (4,5) )

C. y ?

x ? 1 ? x ? 1, y ? x 2 ? 1

2 x 5. 已知 f ( x) ? 2 x ? 2 , f (x) 的零点在哪个区间(

A. (-3,-2)

B.(-1,0)

C. (2,3)

6.已知点 P(tan ? ,cos ? ) 在第三象限,则角 ? 的终边所在的象限是( A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 7.已知 a ? (3, 4) ,能与 a 构成基底的是 A. ( , )

?

?





3 4 5 5

B. ( , )

4 3 5 5

C. (? , ? )

3 5

4 5

D. ( ?1, ? ) )

4 3

8. 在四边形 ABCD 中,若 AC ? AB ? AD ,则 ( A. ABCD 是矩形 C. ABCD 是正方形

B. ABCD 是菱形 D. ABCD 是平行四边形

5 9.定义在 R 上的奇函数 f ( x) 满足 f ( x ? 2) ? f ( x) ,当 0 ? x ? 1 时, f ( x) ? 2 x(1 ? x) ,则 f (? ) ? 2
( A. ?
1 2

) B. ?
1 4

C.

1 4

D.

1 2

3

ab 2 ? a 3b 2
4

10.化简
3

? 1 1? b ? ? a 6b 2 ? ? ?

(A, B 为正数)的结果是 (



A.

b a

B. ab

C.

a b

D. a b ( )

2

11. 设︱ a ︳=1, b |=2, a 、 夹角 120°, | 且 则|2 a + b |等于 b A.2 B.4 C.12 D. 2 3

12.已知函数 f ( x ) ? A sin(? x ? ? )( A ? 0,? ? 0,|? |? 的解析式为( )

? )的部分图象如下图所示,则函数 f ( x) 2

y 2 O
π 6
5π 12

x

? ) 6 ? C. f ( x ) ? 2sin(2 x ? ) 6
A. f ( x ) ? 2sin( x ?

1 2

B. f ( x ) ? 2sin( x ?

? ) 6 ? D. f ( x ) ? 2sin(2 x ? ) 6 1 2

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13.已知集合 A ? ?1,3, m? , B ? ?3,4? , A 14.函数 f ( x) ? ?

? B ? ?1, 2,3, 4?则 m ?




??2 x( x ? 0)
2 ? x ? 1( x ? 0)

,则 f [ f (?2)] ?

15.设函数 f ( x) ? x 3 ln x 2 ? 1 ? 1 ,若 f (a) ? 11,则 f (?a) ?



16.符号 ?x ? 表示不超过 x 的最大整数,如 ?? ? ? 3, ?? 1.08? ? ?2 ,定义函数 ?x? ? x ? ?x? ,那么下 列命题中正确的序号是 ① 函数 ?x?的定义域为 R,值域为 ?0,1? ; ③ 函数 ?x?是非奇非偶函数; 。 ② 方程 ?x? ?

1 ,有无数解; 2

④ 函数 ?x?是增函数.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明、演算步骤或推证过程.

17.(本小题满分 10 分) 已知全集为 U=R,A={ x | ?2 ? x ? 2 } ,B={ x | x ? ?1, 或x ? 4 } 求: (1) A ? B (2) A ? B (3) (CU A) ? (CU B)

18. (本小题满分 12 分) 已知 sin ? ?

3 12 ? 3? , cos( ? ? ? ) ? , ? ? (0, ), ? ? ? ? ( , 2? ) ,求 cos 2? 和 sin ? 的值。 5 13 2 2

19. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? a sin x ? cos x ? 3a cos x ?
2

3 a ? b (a ? 0) 2

(1)写出函数 f ( x ) 的单调递增区间; (2)设 x ?[0, ] , f ( x ) 的最小值是 ?2 ,最大值是 3 ,求实数 a , b 的值.

?

2

20. (本小题满分 12 分) 如图,已知扇形 AOB 的面积为

? ? ,弧 AB 的长为 12 6

(1)求扇形 AOB 的半径和圆心角 (2)在扇形 AOB 的弧 AB 上任取一点 C ,作 CD / / OA ,交 OB 于点 D ,求 ?OCD 的最大面积.

B D C

O

A

21.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? x ? 4 | x | ?3
2

(1)在给出的坐标系中,作出函数 y ? f ( x) 的图像; (2)写出 y ? f ( x) 的单调区间; (3)讨论方程 f ( x) ? k 解的个数,并求出相应的解。

y

o

x

22. (本小题满分 12 分) 提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况,在一般情况下, 大桥上的车流速 度 v (单位:千米/小时)是车流密度 x (单位:辆/千米)的函数。当桥上的车流密度达到 200 辆/千米时,造成堵塞,此时车流速度为 0;当车流密度不超过 20 辆/千米时,车流速度为 60 千 米/小时,研究表明:当 20 ? x ? 200 时,车流速度 v 是车流密度 x 的一次函数。 (1)当 0 ? x ? 200 时,车流速度 v(x) 的表达式; (2)当车流密度 x 为多大时,车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数,单位:辆/ 小时) f ( x) ? x ? v( x) 可以达到最大,并求出最大值。 (精确到 1 辆/小时)

参考答案: 1-5 BDCAB 6-10 BBDAC 11-12 AD 13. 2 ; 14. 17 15. -9 ; 16. ②③

; 。

17.解: (1)? A ? ?x | ?2 ? x ? 2?

B ? {x | x ? ?1, 或x ? 4}

? A ? B ? ?x | ?2 ? x ? ?1?
(2)? A ? ?x | ?2 ? x ? 2? ∴

B ? {x | x ? ?1, 或x ? 4}

A ? B ? ?x | x ? 2, 或x ? 4?

(3)? CU A ? ?x | ?2 ? x ? 2? ∴ (CU A) ? (CU B) ? ?x | ?1 ? x ? 2? 18.解: (1) cos 2? ? 1 ? 2sin ?
2

CU B ? ?x | ?1 ? x ? 4?

3 7 ? 1 ? 2 ? ( )2 ? 5 25 3 ? 4 (2)由 sin ? ? , ? ? (0, ) ,得 cos ? ? 5 2 5 12 3? 5 , ? ? ? ? ( , 2? ) ,得 sin( ? ? ? ) ? ? 由 cos( ? ? ? ) ? 13 2 13
∴ sin ? ? sin[(? ? ? ) ? ? ]

? sin(? ? ? ) cos ? ? cos(? ? ? )sin ?
?? 5 4 12 3 16 ? ? ? ? 13 5 13 5 65

(其他方法参照给分) 19.解: f ( x) ?

1 3a 3 a sin 2 x ? (1 ? cos 2 x) ? a ?b 2 2 2

?
(1) 2k? ?

a 3a ? sin 2 x ? cos 2 x ? b ? a sin(2 x ? ) ? b 2 2 3
? 2x ?

?
2

?

3 5? 11? ?[ k ? ? , k? ? ], k ? Z 为所求 12 12

? 2 k? ?

3? 5? 11? , k? ? ? x ? k? ? 2 12 12

(2) 0 ? x ?

?
2

,?

?
3

? 2x ?

?
3

?

2? 3 ? ,? ? sin(2 x ? ) ? 1 3 2 3

? a ? 0 ? f ( x)max ? ?

3 a ? b ? 3, f ( x) min ? a ? b ? ?2, 2

? 3 a?b ? 3 ?? ?? 2 ?a ? b ? ?2 ?

?a ? ?2 解得 ? ?b ? 0

20. (1)设扇形 AOB 的半径为 R ,圆心角 为 ? ,弧 AB 的长为 l ,面积为 S

? ? ? l ??R ? 6 ? 则? ? S ? 1 lR ? ? ? ? 2 12

? R ?1 ? ?? ? ?? ? 6 ?

(2)作 DE ? OA 于点 E , CF ? OA 于点 F ,设 ?AOC ? ? ,则 0 ? ? ? 在 Rt ?OCF 中, CF ? sin ? , OF ? cos ? 在 Rt ?ODE 中, ∴ OE ? 3DE ? 3CF ? 3 sin ? ∴ EF ? OF ? OE ? cos ? ? 3 sin ? 即 CD ? cos? ? 3 sin ? ∴ S?OCD ?

?
6

1 1 1 3 2 CD ? CF ? sin ? ? (cos ? ? 3 sin ? ) ? sin ? cos ? ? sin ? 2 2 2 2

1 3(1 ? cos 2? ) 1 3 3 ? sin 2? ? ? sin 2? ? cos 2? ? 4 4 4 4 4

? 1 ? 3 ? sin(2? ? ) ? ,0 ?? ? . 6 2 3 4
∵0 ?? ? ∴当 2? ?

?
6

,所以

?
3

? 2? ?

?
3

?

2? 3

?
3

?

?
2

,即 ? ?

?
12

时, S?OCD 有最大值且为

1 3 ? 2 4

21.解:(1)如图所示

(2)单调递增区间是 (?2, 0) 和 (2, ??) 单调递减区间是 (??, ?2) 和 (0, 2) (3)当 k ? ?1 时,方程无解 当 k ? ?1 时,方程有两个解: x ? ?2 当 ?1 ? k ? 3 时,方程有四个解: x ? ?(2 ? k ? 1) ,或 x ? ?(2 ? k ? 1) 当 k ? 3 时,方程有三个解: x ? 0 或 x ? ?4 当 k ? 3 时,方程有两个解: x ? ?(2 ? k ? 1) 22.解: (1)由题意:当 0 ? x ? 20 时, v( x) ? 60 ; 当 20 ? x ? 200 时,设 v( x) ? ax ? b ,显然 v( x) ? ax ? b 在 [20,200] 是减函数,由已知得

1 ? a?? ? ?200a ? b ? 0 ? 3 ,解得 ? ? 200 ?20a ? b ? 60 ?b ? ? 3 ?
0 ? x ?60, ? 20 ? 故函数 v(x) 的表达式为 v( x) ? ? 1 20 ? x ?(200 ? x), ? 3 200 ?

?60x, ? (2)依题意并由(1)可得 f ( x) ? ? 1 x ? 20 (200 ? x), 0 ? x ?3 ?
当 0 ? x ? 20 时, f ?x ? 为增函数,故当 x ? 20 时,其最大值为 60 ? 20 ? 1200 ; 当 20 ? x ? 200 时, f ( x) ? 下,对称轴为 x ? 100 . 所以,当 x ? 100 时, f ?x ? 在区间 ?20,200?上取得最大值

20 ? x ? 200

1 1 1 10000 x(200 ? x) ? ? ( x 2 ? 200 x) ? ? ( x ? 100) 2 ? ,开口向 3 3 3 3

10000 . 3 10000 ? 3333 , 综上,当 x ? 100 时, f ?x ? 在区间 ?0,200?上取得最大值 3
即当车流密度为 100 辆/千米时,车流量可以达到最大,最大值约为 3333 辆/小时.


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