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三角函数、解三角形、平面向量


专题验收评估(二) 三角函数、解三角形、平面向量

【说明】 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,满分 150 分,考试时 间 120 分钟.请将第Ⅰ卷的答案填入答题栏内,第Ⅱ卷可在各题后直接作答. 题 号 得 分 一 二 三 17 18 19 20 21 22 总 分

第Ⅰ卷 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5

分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的) 1.(2014· 山西模拟)向量(a+b)与 a 垂直,且|b|=2|a|,则 a 与 b 的夹角为( A.60° C.45° B.120° D.90° ) )

2.(2014· 广州综合测试)对于任意向量 a,b,c,下列命题中正确的是( A.|a· b|=|a||b| C.(a· b)c=a(b· c) B.|a+b|=|a|+|b| D.a· a=|a|2

π 3.已知向量 a=(1, 3),b=(3,m).若向量 a,b 的夹角为 ,则实数 m=( 6 A.2 3 C.0 B. 3

)

D.- 3 )

3 4.(2014· 北京东城综合练习)已知 sin θ= ,且 θ 在第二象限,那么 2θ 在( 4 A.第一象限 C.第三象限 B.第二象限 D.第四象限

5.(2014· 承德二模)已知 a,b 是两个不共线的向量, AB =λa+b, AC =a+μb (λ,μ ∈R),那么 A,B,C 三点共线的充要条件是( A.λ+μ=2 C.λμ=-1 )

B.λ-μ=1 D.λμ=1

6.△ABC 的三内角 A,B,C 所对边长分别是 a,b,c,若(a+b)· (sin B-sin A)=( 3a +c)sin C,则角 B 的大小为( π A. 6 ) π B. 3

5π C. 6

2π D. 3

7.已知函数 y=Asin(ωx+φ)+k(A>0,ω>0)的最大值为 4,最小值为 0,最小正周期 π π 为 ,直线 x= 是其图象的一条对称轴,则下面各式中符合条件的解析式为( 2 3 π? A.y=4sin? ?4x+6? π? C.y=2sin? ?4x+3?+2 8.在△ABC 中, A.1 C.5 π? B.y=2sin? ?2x+3?+2 π? D.y=2sin? ?4x+6?+2 ) )

AB BA AC · BC · =1, =2,则 AB 边的长度为( | AB | | BA |
B.3 D.9

π? π 9.(2014· 辽宁高考)将函数 y=3sin? ?2x+3?的图象向右平移2个单位长度,所得图象对应 的函数( )

π 7π? A.在区间? ?12,12?上单调递减 π 7π? B.在区间? ?12,12?上单调递增 π π - , ?上单调递减 C.在区间? ? 6 3? π π - , ?上单调递增 D.在区间? ? 6 3? 10. (2014· 天津高考)已知函数 f(x)= 3sin ωx+cos ωx(ω>0), x∈R.在曲线 y=f(x)与直线 π y=1 的交点中,若相邻交点距离的最小值为 ,则 f(x)的最小正周期为( 3 π A. 2 C.π 2π B. 3 D.2π )

11.(2014· 开封模拟)已知函数 f(x)=sin 2xcos φ+cos 2xsin φ(x∈R),其中 φ 为实数, 2π? ?2π? ?5π? ?7π? 且 f(x)≤f? ? 9 ?对任意实数 R 恒成立,记 p=f? 3 ?,q=f? 6 ?,r=f? 6 ?,则 p,q,r 的大小关 系是( ) B.q<r<p D.q<p<r

A.r<p<q C.p<q<r

12.已知函数 f(x)=cos xsin x,给出下列命题: ①若 f(x1)=-f(x2),则 x1=-x2; ②f(x)的最小正周期是 2π;

π π? ③f(x)的区间? ?-4,4?上是增函数; 3π ④f(x)的图象关于直线 x= 对称; 4 π π? 3 1? ? ⑤当 x∈? ?-6,3?时,f(x)的值域为?- 4 ,2?. 其中真命题是( A.①②④ C.①②③ ) B.③④⑤ D.①③④

答 1 2 3 4 5 6

题 栏 7 8 9 10 11 12

第Ⅱ卷 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.已知 α 为第二象限角,则 cos α 1+tan2 α+sin α· 1 1+ 2 =________ . tan α

14.(2014· 云南模拟)已知 a,b,c 分别为△ABC 三个内角 A,B,C 的对边,若 cos B= 4 a ,a=10,△ABC 的面积为 42,则 b+ 的值等于________ . 5 sin A 15.已知 P 是边长为 2 的正三角形 ABC 的边 BC 上的动点,则 AP · AB + AC ________. π? π ? π ? 16.(2014· 皖南八校二模)已知函数 f(x)=sin? ?2x+6?,其中 x∈?-6,a?.当 a=3时,f(x) 1 ? 的值域是________ ;若 f(x)的值域是? ?-2,1?,则 a 的取值范围是________ . 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17.(2014· 北京高考)(本小题满分 10 分)如图,在△ABC 中,∠B= π 1 ,AB=8,点 D 在 BC 边上,且 CD=2,cos∠ADC= . 3 7 (1)求 sin∠BAD; (2)求 BD,AC 的长.

(

)

18.(本小题满分 12 分)已知函数 f(x)=cos2x+2 3· sin xcos x-sin2x. (1)求 f(x)的最小正周期和值域; A? 2 (2)在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c,若 f? ? 2 ?=2 且 a =bc,试判断 △ABC 的形状.

π? 19.(2014· 辽宁五校联考)(本小题满分 12 分)设函数 f(x)=sin ωx+sin? ?ωx-2?,x∈R. 1 (1)若 ω= ,求 f(x)的最大值及相应 x 的集合; 2 π (2)若 x= 是 f(x)的一个零点,且 0<ω<10,求 ω 的值和 f(x)的最小正周期. 8

20 . (2014·肇 庆 二 模 )( 本 小 题 满 分 12 分 ) 已 知 函 数 f(x) = Msin(ωx + π M >0,ω>0,|φ|< ?的部分图象如图所示. φ)? 2? ?

(1)求函数 f(x)的解析式; A? (2)在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,若(2a-c)· cos B=bcos C,求 f? ?2? 的取值范围.

21.(2014· 广州模拟) (本小题满分 12 分)在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b, 3 c 向量 m =(cos(A-B),sin(A-B)),n=(cos B,-sin B), 且 m· n=- . 5 (1)求 sin A 的值; (2)若 a=4 2,b=5,求角 B 的大小及向量 BA 在 BC 方向上的投影.

π? ( 本小题满分 12 分 ) 已知函数 f(x) = sin ωx(ω > 0) 在区间 ? ?0,3? 上单调递增,在区间

?π,2π?上单调递减,如图,四边形 OACB 中,a,b,c 为△ABC 的内角 A,B,C 的对边, ?3 3 ?
sin B+sin C 且满足 = sin A 4ω -cos B-cos C 3 . cos A (1)证明 b+c=2a; (2)若 b=c,设∠AOB=θ(0<θ<π),OA=2OB=2,求四边形 OACB 面积的最大值.

答 1.选 B

案 a· b 1 =- ,所以夹角为 120° . |a|· |b| 2

(a+b)· a=0,所以 a· b=-a2,cos〈a,b〉=

2.选 D 注意到 a· b=|a|· |b|cos〈a,b〉≤|a|· |b|,因此选项 A 不正确;注意到|a+b|≤|a| +|b|,因此选项 B 不正确;注意到向量 a,c 未必共线,因此选项 C 不正确. 1×3+ 3m 3 2 3.选 B 根据平面向量的夹角公式可得 2 = 2 ,即 3+ 3m= 3× 9+m , 2× 9+m 两边平方并化简得 6 3m=18,解得 m= 3,经检验符合题意. 3 4.选 C ∵sin θ= ,且 θ 在第二象限, 4

∴cos θ=-

7 3 7 ,sin 2θ=2sin θcos θ=- <0, 4 8 9 1 =- <0, 16 8

cos 2θ=1-2sin2 θ=1-2× ∴2θ 在第三象限.

5.选 D ∵A,B,C 三点共线, ∴存在常数 t,使 AB =t AC (t∈R), 所以 λa+b=t(a+μb)=ta+tμb,
? ?λ=t, 所以? 则 λμ=1. ?1=tμ, ?

6.选 C 由正弦定理知(a+b)(b-a)=( 3a+c)c, 即 a2+c2-b2=- 3ac,2accos B=- 3ac,cos B=- 5π 又 0<B<π,因此 B= . 6 7.选 D 由函数 y=Asin(ωx+φ)+k 的最大值为 4,最小值为 0,可知 k=2,A=2.由 π 2π π π π 函数的最小正周期为 , 可知 = , 可得 ω=4.由直线 x= 是其图象的一条对称轴, 可知 4× 2 ω 2 3 3 π? π 5π +φ=kπ+ ,k∈Z,从而 φ=kπ- ,k∈Z,故满足题意的是 y=2sin? ?4x+6?+2. 2 6 8. 选B 3 . 2

AB AC · AB 表示在 AB 方向上的单位向量. 设△ABC 各边分别为 a, b, c, 则 | AB | | AB | BA BC · =a· cos B=2. | BA |
b2+c2-a2 b· =1, 2bc
2 2 2

=b· cos A=1,同理,

由余弦定理可得

? ? a +c -b ?a· 2ac =2,

解方程组得 c=3 或 c=0(舍).

π? π ? ? π? π? 9.选 B 将 y=3sin? ?2x+3?的图象向右平移2个单位长度后得到 y=3sin?2?x-2?+3?, 2π? π 2π π 即 y = 3sin ? ?2x- 3 ? 的 图 象 , 令 - 2 + 2kπ≤2x - 3 ≤ 2 + 2kπ , k ∈ Z , 化 简 可 得 x ∈

? π +kπ,7π+kπ?,k∈Z,即函数 y=3sin?2x-2π?的单调递增区间为 π +kπ,7π+kπ,k∈ 12 3? ?12 ? ? 12 12
Z,

2π? ? π 7π? 令 k=0,可得 y=3sin? ?2x- 3 ?在区间?12,12?上单调递增,故 B 正确,画出函数 y=3 2π? ? π π? sin? ?2x- 3 ?的简图,可知函数 f(x)在区间?-6,3?上不具有单调性,故 C,D 错误. π? 10.选 C 由题意得函数 f(x)=2sin? ?ωx+6?(ω>0),又曲线 y=f(x)与直线 y=1 相邻交 π π π π 5π π 点距离的最小值是 ,由正弦函数的图象知,ωx+ = 和 ωx+ = 对应的 x 的值相差 ,即 3 6 6 6 6 3 2π π 2π = ,解得 ω=2,所以 f(x)的最小正周期是 T= =π. 3ω 3 ω 11.选 C f(x)=sin 2xcos φ+cos 2xsin φ=sin(2x+φ), ∴f(x)的最小正周期 T=π. 2π? ?2π? ∵f(x)≤f? ? 9 ?,∴f? 9 ?是最大值. π? ∴f(x)=sin? ?2x+18?, ∴p=sin r=sin 25π 7π 31π 5π =-sin ,q=sin =-sin , 18 18 18 18

7π , 18

∴p<q<r. 1 12.选 B 依题意得 f(x)= sin 2x. 2 对于①,注意到当 x1=π,x2=2π 时,f(x1)=-f(x2),但 x1≠-x2 ,因此①不正确; 2π 对于②,函数 f(x)的最小正周期是 =π,因此②不正确; 2 π π? 对于③,结合图象可知,函数 f(x)在区间? ?-4,4?上是增函数,因此③正确; 3π? 1 3π 1 3π 对于④,注意到 f? ? 4 ?=2sin 2 =-2,因此 f(x)的图象关于直线 x= 4 对称,④正确; π π π 2π 3 - , ?时,2x∈?- , ?,sin 2x∈?- ,1?,此时函数 f(x)的值域 对于⑤,当 x∈? ? 6 3? ? 3 3? ? 2 ? 是?-

?

3 1? , ,因此⑤正确.综上所述③④⑤正确. 4 2? sin2 α+cos2α +sin α cos2 α sin2 α+cos2 α cos α sin α = + ,因为 sin2 α |cos α| |sin α|

13.解析:原式=cos α

cos α sin α α 是第二象限角,所以 sin α>0,cos α<0,所以 + =-1+1=0,即原式等于 0. |cos α| |sin α| 答案:0 3 14.解析:依题可得 sin B= , 5 1 又 S△ABC= acsin B=42,则 c=14. 2 故 b= a2+c2-2accos B=6 2, a b 所以 b+ =b+ =16 2. sin A sin B 答案:16 2 15.解析:如图,∵ AB + AC = AD =2 AO ,△ABC 为正三角形, ∴四边形 ABDC 为菱形,BC⊥AO, ∴ AP 在向量 AD 上的投影为 AO , 又| AO |= 3, ∴ AP · AB + AC 答案:6 π π π π 2π π π 5π 1 2x+ ?≤1, 16.解析:若- ≤x≤ ,则- ≤2x≤ ,- ≤2x+ ≤ ,此时- ≤sin? 6? ? 6 3 3 3 6 6 6 2 1 - ,1?. 即 f(x)的值域是? ? 2 ? π π π π π π π π 7π 若- ≤x≤a, 则- ≤2x≤2a, - ≤2x+ ≤2a+ .因为当 2x+ =- 或 2x+ = 时, 6 3 6 6 6 6 6 6 6 π 1 1 π π 7π π π 2x+ ?=- ,所以要使 f(x)的值域是 ?- ,1?,则 ≤2a+ ≤ ,即 ≤2a≤π,所以 sin? 6? ? ? 2 ? 2 2 6 6 3 6 π π? π ≤a≤ ,即 a 的取值范围是? ?6,2?. 2 1 ? ?π π? 答案:? ?-2,1? ?6,2? 1 17.解:(1)在△ADC 中,因为 cos∠ADC= , 7 4 3 所以 sin∠ADC= . 7 所以 sin∠BAD=sin(∠ADC-∠B) =sin∠ADCcos∠B-cos∠ADCsin∠B = 4 3 1 1 3 3 3 × - × = . 7 2 7 2 14

(

| AD |=6. )=| AO |·

(2)在△ABD 中,由正弦定理得

3 3 8× 14 AB· sin∠BAD BD= = =3. sin∠ADB 4 3 7 在△ABC 中,由余弦定理得 AC2=AB2+BC2-2AB· BC· cos∠B 1 =82+52-2×8×5× =49. 2 所以 AC=7. 18.解:(1)f(x)=cos2x+2 3sin xcos x-sin2x π? = 3sin 2x+cos 2x=2sin? ?2x+6?, 所以 T=π,f(x)∈[-2,2]. A? ?A+π?=2, (2)因为 f? = 2sin 2 ? ? ? 6? π A+ ?=1. 所以 sin? ? 6? π π π 因为 0<A<π,所以 A+ = ,所以 A= . 6 2 3 由 a2=b2+c2-2bccos A 及 a2=bc,得(b-c)2=0, π 所以 b=c,所以 B=C= . 3 所以△ABC 为等边三角形. π ωx- ?. 19.解:由已知:f(x)=sin ωx-cos ωx= 2sin? 4? ? 1 π? 1 (1)若 ω= ,则 f(x)= 2sin ? ?2x-4?, 2 1 π? 又 x∈R,则 2sin? ?2x-4?≤ 2, 1 π π ∴f(x)max= 2,此时 x- =2kπ+ ,k∈Z, 2 4 2
? ? 3π ? 即 x∈?x? ?x=4kπ+ 2 ,k∈Z . ? ?

π (2)∵x= 是函数 f(x)的一个零点, 8 π π? π π ∴ 2sin? ?8ω-4?=0,∴8ω-4=kπ,k∈Z, π 2x- ?,此时其最小正周期为 π. 又 0<ω<10,∴ω=2,∴f(x)= 2sin? 4? ? 20.解:(1)由图象知 M=1,f(x)的最小正周期

5π π? T=4? ?12-6?=π,故 ω=2. π ? ?π ? 将点? ?6,1?代入 f(x)的解析式得 sin?3+φ?=1, π? π π 又|φ|< ,故 φ= ,所以 f(x)=sin? ?2x+6?. 2 6 (2)由(2a-c)cos B=bcos C 得(2sin A-sin C)cos B=sin B· cos C, 所以 2sin A cos B=sin(B+C)=sin A. 1 π 2π 因为 sin A≠0,所以 cos B= ,则 B= ,A+C= , 2 3 3 A? 2π ? π? 又 f? ? 2?=sin?A+6?,0<A< 3 , A? π π 5π 1 <A+ < ,所以 <f? ≤1. 6 6 6 2 ?2? 3 21.解:(1)由 m· n=- , 5 3 得 cos(A-B)cos B-sin(A-B)sin B=- , 5 3 所以 cos A=- . 5 因为 0<A<π, 所以 sin A= 1-cos2A= 3?2 4 1-? ?-5? =5.

(2)由正弦定理,得

a b = , sin A sin B

4 5× 5 bsin A 2 则 sin B= = = , a 2 4 2 π 因为 a>b,所以 A>B,则 B= ,由余弦定理得 4

? (4 2)2=52+c2-2×5c×? ?-5?,解得 c=1,
故向量 BA 在 BC 方向上的投影为 | BA |cos B=ccos B=1× 2 2 = . 2 2

3

2π 4π 3 22.解:(1)证明:由题意知 = ,得 ω= . ω 3 2 sin B+sin C 2-cos B-cos C = , sin A cos A ∴sin Bcos A+sin Ccos A=2sin A-cos Bsin A-cos Csin A, ∴sin Bcos A+cosBsin A+sin Ccos A+cos Csin A=2sin A,

∴sin (A+B)+sin (A+C)=2sin A, ∴sin C+sin B=2sin A, ∴b+c=2a. (2)∵b+c=2a,b=c,∴a=b=c, ∴△ABC 为等边三角形. S 四边形 OACB=S△OAB+S△ABC 1 3 = OA· OB· sin θ+ AB2 2 4 =sin θ+ 3 (OA2+OB2-2OA· OB· cos θ) 4

5 3 =sin θ- 3cos θ+ 4 π? 5 3 =2sin? ?θ-3?+ 4 . π 2π π - , ?, ∵θ∈(0,π),∴θ- ∈? 3 3? 3 ? π π 5π 当且仅当 θ- = ,即 θ= 时取最大值,S 四边形 3 2 6
OACB 的最大值为

5 3 +2. 4


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