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全称命题与特殊命题的否定


1.4.3

全称命题与特称命题的否定

判断下面命题是全称命题,还是特称命题, 并判断其真假。

所有的奇数都是素数
此命题为全称命题。 此命题为假命题。 反例:有一个奇数如“ 9”不是素数。

判断下面命题是全称命题,还是特称命题, 并判断其真假。

所有自然数的平方是正数。
此命题为全称命题。 此命题为假命题。 反例:有一个自然数的平方不是正数。

在上面的两个例子中,要说明一个全称 命题是错误的,只需要找出一个反例就 可以了。

也就是说:
全称命题的否定是特称命题。

例1、对下列全称命题进行否定。
(1) 所有的人都喝水。 否定:有的人不喝水。

(2)对所有实数

a ,都有 | a |? 0

否定: 存在一个实数 a, 使 a ? 0 。

练习1、写出下列全称命题的否定: (1) 所有可以被5整除的整数,末位数都 是 0; (2) 对数函数都是单调函数。 (1) 有些可以被5整除的整数,末位数不 是 0。

(2) 有些对数函数不是单调函数。

判断下面命题是全称命题,还是
特称命题,并判断其真假。

10,100,1000中有一个能被3整除
此命题为特称命题。 此命题为假命题。 证明:10,100,1000每一个都不能被3整除

判断下面命题是全称命题,还是
特称命题,并判断其真假。

x2-4x+3=0中有一个根是2
此命题为特称命题。 此命题为假命题。 证明:x2-4x+3=0中的每一个根都不是2

在上面的两个例子中,要说明一个特称 命题是错误的,就要说明所有的对象都 不满足这一性质。

也就是说:
特称命题的否定是全称命题。

例2、对下列特称命题进行否定。

(1) 某些平行四边形是矩形。
否定:所有的平行四边形都不是矩形。 (2)有些四边形的四个顶点共圆。

否定:所有的四边形的四个顶点都不共圆。

练习2、写出下列特称命题的否定:

(1)有些三角形是直角三角形:
(2)有的梯形是等腰梯形; (1)所有的三角形不是直角三角形。 (2)一切梯形都不是等腰梯形。

例3、写出下列命题的否定
(1)一切分数都是有理数; 否定:存在一个分数不是有理数。 (2)有些三角形是锐角三角形; 否定:所有的三角形不是锐角三角形。

练习4、写出下列命题的否定形式。 ⑴三角形的两边之和大于第三边。
有些三角形的两边之和小于或等于第三边。

⑵直角相等。 有些直角不相等。 ⑶△ABC的内角中必有一个锐角。
△ABC的所有内角都不是锐角。

关键量词的否定
词语 词语的 否定
词语

是 不是

一定是 一定不 是

都是 不是

大于 小于或等 于 所有x成 立

小于 大于或 等于 所有x不 成立 存在有 一个成 立

且 或

必有一 至少有 至多有 n个 个 一个

词语的 一个也 至多有 至少有 存在一个 x不成立 否定 没有 n-1个 两个

练习5、对下列命题进行否定。 (1)我们班没有女生。

(2)中国足球国奥队至少有2个优秀前锋。 (1)我们班至少有一个女生。
(2)中国足球国奥队最多有1个优秀前锋。

小 结:
全称命题的否定是特称命题。 特称命题的否定是全称命题。


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