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2015年4月玉林市贵港市高中毕业班联合考试文科数学


2015 年 4 月玉林市贵港市高中毕业班联合考试 数学试卷(文科)
2015.4. 一.选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的。 1.已知集合 A={-3,-1,1,2},B={-2,0,1,2},则 A∩B= (A){1} (B){1,2} (C){-3,1,2} (D){-3,0,1}

/>
2i 2.复数 的共轭复数是 1+i (A)-1-i (B)-1+i (C)1-i (D)1+i

3.“sin2θ<0”是“tanθ<0”的 (A)充分不必要条件 (C)充分必要条件 (B)必要不充分条件 (D)既不充分也不必要条件

4.某市修建经济适用房,已知 A、B、C 三个社区分别有低收入家庭 400 户、300 户、200 户, 若首批经济适用房有 90 套住房用于解决住房紧张问题,采用分层抽样的方法决定各社区 户数,则应从 A 社区中抽取低收入家庭的户数为 (A)40
2 2

(B)36

(C)30

(D)20

x y 5.已知双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的实轴长为 2,离心率为 5,则它的一个焦点到它的一 a b 条渐近线的距离为 (A)1 (B)2 (C) 5 (D)2 2

6.设 f (x)是(-∞,+∞)上的奇函数,f (x+2)=-f (x),当 0≤x≤1 时有 f (x)=2x,则 f (2015) = (A)-1 (B)-2 (C)1 (D)2

7.某程序框图如右图所示,该程序运行后输出 S 的值是 (A)25 (B)55 (C)72 (D)110

? ?x-y+1≥0 8.设 x、y 满足约束条件?2x+y-2≤0 ,则 z=x-2y 的最大值为 ?x+y+1≥0 ?
(A)11 (B)-1 (C)12 (D)-2

9.一个几何体的三视图如图所示,已知正(主)视图是底边长为 1 的平行四边形,侧(左) 视图是一个长为 3,宽为 1 的矩形,俯视图为两个边长为 1 的正方形拼 成的矩形,则该几何体的体积 V 是 3 (A)1 (B) 2 (C) 3
2

(D)2

10.设 F 为抛物线 y =5x 的焦点,P 是抛物线上 x 轴上方的一点,若|PF| =3,则直线 PF 的斜率为 (A)3 3 (B) 30 (C) 35 (D)2 10

1 11.若函数 f (x)=ex+4x-kx 在区间( ,+∞)上是增函数,则实数 k 的最大值是 2 (A)2+e (B)2+ e (C)4+e (D)4+ e

?|y|,x≥y 12.定义运算 M:x〇 ×y=? 设函数 f (x)=(x2-3)〇 ×(x-1),若函数 y=f (x)-c 恰有两 ?x,x<y

个零点,则实数 c 的取值范围是 (A)(-3,-2)∪[2,+∞) (C)(-3,-2) (C)(-1,0]∪(2,+∞) (D)(-1,0)

二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。 13.在 1,3,5,7 中任取两个不同的数,则这两个数的和为 8 的概率为__________。 → → → → 14.设向量→ a 、 b 满足|→ a |=1,|→ a - b |= 3,→ a ?(→ a - b )=0,则|2→ a + b |=______。 15.在△ABC 中,A=45° ,AB=2,BC=3,则 AC=_____________。 16.已知 A 为射线 x+y=0(x<0)上的动点,B 为 x 轴正半轴上的动点,若直线 AB 与圆 x2+y2 =1 相切,则|AB|的最小值为__________。 三.解答题:本大题共 6 小题,共 70 分,解答应给出文字说明、证明过程及演算步骤。 17.(本小题满分 12 分) 已知数列{an}中,a1=3,a2=5,且{an-1}是等比数列 (Ⅰ)求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)若 bn=nan,求数列{bn}的前 n 项和 Tn。

(18)(本小题满分 12 分) 某市地铁即将于 2015 年 6 月开始运营,为此召开了一个价格听证会,拟定价格后又进行了一 次调查,随机抽查了 50 人,他们的收入与态度如下: 月收入(单位百元) 赞成定价人数 认为价格偏高人数 [15,25) 1 4 [25,35) [35,45) 2 8 3 12 [45,55) 5 5 [55,65) 3 2 [65,75) 4 1

(Ⅰ)若以区间的中点为该区间内的人均月收入,求参与调查的人员中“赞成定价者”与“认为 价格偏高者”的月平均收入的差距是多少(结果保留 2 位小数); (Ⅱ)由以上统计数据填下面 2 乘 2 列联表并分析是否有 99%的把认为“月收入以 5500 元为分 届点对地铁定价的态度有差异”。 月收入不低于 55 百元的人数 认为价格偏高者 赞成定价者 合计 n(ad-bc)2 参考数据 K2= (a+b)(c+d)(a+c)(b+d) P(χ2≥k) k 0.05 3.841 0.01 6.635 a= b= 月收入低于 55 百元的人数 c= d= 合计

19.(本小题满分 12 分) 四棱锥 S-ABCD 中, 侧面 SAD 是正三角形, 底面 ABCD 是正方形, 且平面 SAD⊥平面 ABCD, M、N 分别是 AB、SC、AD 的中点, (Ⅰ)求证:MN∥平面 SAD; S (Ⅱ)求证:平面 SOB⊥平面 SCM。

N

D A O M B

C

(20)(本小题满分 12 分) 已知一椭圆 E 的中心在坐标原点,左右焦点在 x 轴上,若其左焦点 F1(-c,0)(c>0)到圆 C: (x-2)2+(y-4)2=1 上任意一点距离的最小值为 4,且过椭圆右焦点 F2(c,0)与上顶点的直线 1 与圆 O:x2+y2= 相切 2 (Ⅰ)求椭圆 E 的方程; (Ⅱ)若直线 l:y=-x+m 与椭圆 E 交于 A、 B 两点, 当以 AB 为直径的圆与 y 轴相切时, 求△F1AB 的面积。

(21)(本小题满分 12 分) 定义在(0,+∞)上的三个函数 f (x),g(x),h(x),已知 f (x)=lnx,g(x)=x2-af(x) h(x)=x-a x,且 g(x)在 x=1 处取得极值。 (Ⅰ)求 a 的值及 h(x)的单调区间; 2+f (x) (Ⅱ)求证:当 1<x<e2 时,恒有 x< 。 2-f (x)

请考生在第(22)、(23)、(24)三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分,作答 时标出所选题目的题号。 22.(本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图,AB 是圆 O 的直径,点 C 在圆 O 上,延长 BC 到 D,使 BC=CD, 过点 C 作圆 O 的切线交 AD 于 E。 (Ⅰ)求证:CE⊥AD; 1 (Ⅱ)若 AB=2,ED= ,求证:△ABD 是等边三角形. 2

23.(本题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 ?x=1+cosφ 在直角坐标系 xOy 中,圆 C 的参数方程? (φ 为参数),以 O 为极点,x 轴的非负半 ?y=sinφ 轴为极轴建立极坐标系。 (Ⅰ)求圆 C 的极坐标方程; π (Ⅱ)直线 l 的极坐标方程是 ρ(sinθ+ 3cosθ)=3 3,射线 OM:θ= 与圆 C 的交点为 O、P,与 3 直线 l 的交点为 Q,求线段 PQ 的长。

24.(本小题满分 10 分) 选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f (x)=|x-1|. (Ⅰ)解不等式 f (x)+f (x+4)≥8 b (Ⅱ)若|a|<1,|b|<1,且 a≠0,求证:f (ab)>|a|f ( ) a

题号 答案 1 13. 2 解析: 2. 14. 2 3

1 B

2 C

3 C

4 A

5 B

6 B

7 C

8 A

9 C

10 C

11 D

12 A

15.

2+ 7

16. 2 2+2

2i(1-i) 2i = =1+i,其共轭复数为 1-i,选 C 1+i (1-i)(1+i)

400 n 4.设从 A 社区抽取 n 户,则 = ,解得 n=40,选 A 400+300+200 90 6.∵f (x+2)=-f (x),得 f (x+4)=f (x),故周期为 T=4, 又∵函数为奇函数,f (2015)=f (504× 4-1)=f (-1)=-f (1)=-2,故选 B 7.此程序是求 i=1,3,5,7,9,11 时,2i 的值的和, 故输出的 S=2+6+10+14+18+22=72 9. 由三视图可知, 该几何体是一个平行六面体, 其底面是边长为 1 的正方形, 高为 3, ∴V=1× 1× 3= 3 -x,x≤-1 ? ?12 12.由题意得 f (x)=?x -3,-1<x<2 ,作出函数 f (x)的图象如图, ?x-1,x≥2 ? 要使函数 y=f (x)-c 恰好有两个零点,即使函数 y=f (x)与函数 y=c 的图象有两个交点,由图 象可知,当 c∈(-3,-2)∪[2,+∞)时,函数 y=f (x)与函数 y=c 的图象有两个交点,即函 数 y=f (x)-c 恰好有两个零点。 → → 14. ∵→ a ?(→ a - b )=0∴→ a ? b =→ a 2=|→ a |2=1 → ∵|→ a - b |= 3 → ∴(→ a - b )2=3 → → ∴→ a 2-2→ a ? b + b 2=3 → ∴ b 2=4 → ∴|2→ a + b |= → (2→ a + b )2= → → 4→ a 2+4→ a ? b + b 2= 4× 1+4× 1+4=2 3

16.设 A(-a,a),B(b,0) (a>0,b>0),则|AB|= (a+b)2+a2= 2a2+b2+2ab 1 1 又 × |AB|× 1=S△AOB= ab 得|AB|=ab∴ 2a2+b2+2ab=ab 2 2 ∴(ab)2=2a2+b2+2ab≥2 2+2ab∴ab≥2 2+2(当 b= 2a 时取等号) ∴|AB|的最小值为 2 2+2. (17)(本小题满分 12 分) a2-1 (Ⅰ)∵{an-1}是等比数列且 a1-1=2,a2-1=4, =2 a1-1 ∴an-1=2?2n 1=2n,∴an=2n+????????????6 分 (Ⅱ)bn=nan=n?2n+n 故 Tn=b1+b2+b3+?+bn=(2+2× 22+3× 23+?+n?2n)+(1+2+3+?+n) 令 T=2+2× 22+3× 23+?+n?2n 则


2T=22+2× 22+3× 24+?+n?2n

+1

2(1-2n) + + 两式相减得-T=2+22+23+?+2n-n?2n 1= -n?2n 1 1-2 ∴T=2(1-2n)+n7`2n 1=2+(n-1)?2n
+ +1

n(n+1) n2+n+4 + ∵1+2+3+?+n= ∴Tn=(n-1)?2n 1+ ???????????12 分 2 2 (18)(本小题满分 12 分) (Ⅰ)“赞成定价者”的月平均收入为 20× 1+30× 2+40× 3+50× 5+60× 3+70× 4 x1= ≈50.56???????2 分 1+2+3+5+3+4 “认为价格偏高者”的月平均收入为: 20× 4+30× +40× 12+50× 5+60× 2+70× 1 x2= =38.75??????????4 分 4+8+12+5+2+1 “赞成定价者”与“认为价格偏高者”的月平均收入的差距是: x1-x2=50.56-38.75=11.81(百元)??????????????6 分 (Ⅱ)根据条件可得 2× 2 列联表 月收入不低于 55 百元的人数 认为价格偏高者 赞成定价者 合计
2

月收入低于 55 百元的人数 c=29 d=11 40

合计 32 50

a=3 b=7 10

50× (3× 11-7× 29) K2= ≈6.27<6.635???????????11 分 (3+7)(29+11)(3+29)(7+11) ∴没有 99%的把握认为月收放以 5500 为分届点对地铁定价的态度有差异。???12 分

19.(本小题满分 12 分) 如图,取 SD 的中点 R,连结 AR、RN, 1 则 RN∥CD,且 RN= CD,AM∥CD 2 ∴RN∥AM,且 RN=AM ∴四边形 AMNR 是平行四边形 ∴MN∥AR,由 AR ?平面 SAD,MN? / 平面 SAD ∴MN∥平面 SAD??????????6 分 (Ⅱ)如图,设 OB∩CM=H,由 SO ⊥AD,面 SAD ⊥面 ABCD ∴SO⊥平面 ABCD,∴CM⊥SO 易得△ABO≌△BCM∴∠ABO=∠BCM 则∠BMH+∠ABO=∠BMH+∠BCM=90° ∴CM⊥OB ∴CM ⊥平面 SOB ∵CM ?平面 SCM ∴平面 SOB ⊥平面 SCM????????????????12 分 20.(本小题满分 12 分) ?x2? ?y2? 解:(Ⅰ)设椭圆 2 + 2 =1(a>b>0)焦点分别为 F1(-c,0),F2(c,0), a b

则椭圆的右焦点到圆上任意一点距离的最小值为: (-c-2)2+42-1=4 又 c>0∴c=1????????????3 分 x y 过椭圆右焦点和上顶点的直线方程为 + =1 即 bx+y-b=0 1 b 由直线和圆 O 相切可得 ∴a =b +c =2 x2 ∴椭圆 E 的方程为 +y2=1??????????????????5 分 2
2 2 2

|-b| 1+b

2=

2 ,解之得 b=1, 2

此时|AB|= (1+1)(x1-x2)2=

2[

16m2 4(2m2-2) 2 6 - ]= 9 3 3

|-1-m| 点 F1 到直线 AB 的距离为 d= 2 ∴当 m= 当 m=- 6 1 6 1 6 3 2+2 3 时,△F1AB 的面积为 S= |AB|?d= × (1+ )= ????11 分 2 2 3 2 6 2 6 1 6 1 6 3 2-2 3 时,△F1AB 的面积为 S= |AB|?d= × (-1+ )= ???12 分 2 2 3 2 6 2

(21)(本小题满分 12 分) (Ⅰ)由题意得,g(x)=x2-af(x)=x2-alnx a ∴g'(x)=2x- ????????????????????????????.2 分 x ∵g(x)在 x=1 处取得极值,∴g'(1)=2-a=0∴a=2 ∴h(x)=x-2 x,h'(x)=1- 1 ???????????????????4 分 x

∴当 1<x<e2 时, 恒有 x< 12 分

2+f (x) ????????????????????????????????? 2-f (x)

23.解:(Ⅰ)圆 C 的普通方程是(x-1)2+y2=1 又 x=ρcosθ,y=ρsinθ ∴ 2cosθ 圆 C 的 极 坐 标 方 程 是 ρ = ???????????????????????5 分

?ρ1=2cosθ1 ?ρ1=1 π π (Ⅱ)设(ρ1,θ1)为点 P 的极坐标,则有? ,解得? ?θ1=3 ?θ1=3 ?ρ2(sinθ2+ 3cosθ2)=3 3 ?ρ2=1 π 设(ρ2,θ2)为点 Q 的极坐标,则有? ,解得? π ?θ2=3 ?θ2=3
由于 θ1=θ2,∴|PQ|=|ρ1-ρ2|=2 ∴ 2 线 段 PQ 的 长 为 ?????????????????????????????10 分

24.(本小题满分 10 分) 选修 4-5:不等式选讲

?-2x-2,x<-3 解:(Ⅰ)f (x)+f (x+4)=|x-1|+|x+3|=?4,-3≤x≤1 ?2x+2,x>1


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