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基本不等式知识点归纳


基本不等式知识点总结
向量不等式:

? ? ? ? ? ? || a | ? | b ||≤| a ? b |≤| a | ? | b | ? ? ? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? 【注意】 : a、 b 同向或有 0 ? | a ? b |?| a | ? | b | ≥ || a | ? | b ||?| a ? b | ;

? ? ? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? a、 b 反向或有 0 ? | a ? b |?| a | ? | b | ≥ || a | ? | b ||?| a ? b | ; ? ? ?? ?? ?? ?? ?? ?? a、 b 不共线 ? || a | ? | b ||?| a ? b |?| a | ? | b | .(这些和实数集中类似)
a , b 同号或有 0 ?| a ? b |?| a | ? | b |≥ | a | ? | b | ?| a ? b | ; a , b 异号或有 0 ?| a ? b |?| a | ? | b |≥ | a | ? | b | ?| a ? b | .

代数不等式:

绝对值不等式:

a 1 ?a 2 ?a 3 ≤ a 1 ? a 2 ? a 3 a ? b ? a ? b ? a ? b (ab ? 0时,取等)

双向不等式: a ? b ≤ a ? b ≤ a ? b (左边当 ab ≤ 0(≥ 0) 时取得等号,右边当 ab ≥ 0(≤ 0) 时取得等号.) 放缩不等式: ① a ? b ? 0,a ? m ? 0 ,则 【说明】 :

b b?m ? ( a ? b ? 0, m ? 0 ,糖水的浓度问题). a a?m
b b?m a?n a ? ?1? ? . a a?m b?n b

b?m b b?m ? ? . a?m a a?m

【拓展】 : a ? b ? 0,m ? 0,n ? 0,则 ② a, b, c ? R ,
?

b d b b?d d ? ,则 ? ? ; a c a a?c c 1 ? n ? n ?1 ; ③ n ? N? , n ? 1 ? n ? 2 n 1 1 1 1 1 ? 2? ? . ④ n ? N? , n ? 1, ? n n ?1 n n ?1 n x ⑤ ln x ≤ 1 ? x ( x ? 0) , e ≥ x ? 1 ( x ? R ) .
函数 f ( x) ? ax ?

b (a、b ? 0) 图象及性质 x

(1)函数 f ( x) ? ax ?

b ?a、b ? 0? 图象如图: x
?

y
b 2 ab a

b ?a、b ? 0? 性质: (2)函数 f ( x) ? ax ? x
①值域: (??,?2 ab] ? [2 ab,??) ; ②单调递增区间:(??, ?

o
? 2 ab

x
b a

b b 单调递减区间:(0, ] ,[ , ??) ; a a

b b , 0) . ] ,[ ? a a

基本不等式知识点总结
重要不等式
2 2 1、和积不等式: a, b ? R ? a ? b ≥ 2ab (当且仅当 a ? b 时取到“ ? ”).

【变形】 :① ab ≤ ( 【注意】 :
ab ≤

a?b 2 a?b ) ( a, b ? R ) (a, b ? R ? ) , ab ≤ ( 2 2

a ? b 2 a 2 ?b 2 a ? b 2 a 2 ?b 2 ) ≤ ) ? ? ab ) (当 a = b 时, ( 2 2 2 2

2、均值不等式: 两个正数 a、 b 的调和平均数、几何平均数、算术平均数、均方根之间的关系, 即“平方平均 ≥ 算术平均 ≥ 几何平均 ≥ 调和平均”

2 1 1 ? a b

?

2ab a?b a 2 ? b2 ≤ ab ≤ ≤ (当且仅当a ? b时取“ ?”) a?b 2 2

*.若 x ? 0 ,则 x ?

1 ? 2 (当且仅当 x ? 1 时取“=” ); x 1 若 x ? 0 ,则 x ? ? ?2 (当且仅当 x ? ?1 时取“=” ) x

若 x ? 0 ,则 x ? 1 ? 2即x ? 1 ? 2或x ? 1 ? -2
x x x

(当且仅当 a ? b 时取“=” )

*.若 ab ? 0 ,则 a ? b ? 2
b a

(当且仅当 a ? b 时取“=” ) (当且仅当 a ? b 时取“=” )

若 ab ? 0 ,则

a b a b a b ? ? 2即 ? ? 2或 ? ? -2 b a b a b a

3、含立方的几个重要不等式(a、b、c 为正数) :

a 3 ?b 3 ?c 3≥ 3abc ( a ? b ? c ? 0等式即可成立 , a ? b ? c或a ? b ? c ? 0时取等) ; 3 3 3 a?b?c a ? b ? c 3 a ?b ? c 3 abc ≤ ) ≤ ? abc ≤ ( 3 3 3

* 不 等 式 的 变 形 在 证 明 过 程 中 或 求 最 值 时 , 有 广 泛 应 用 , 如 : 当 ab ? 0 时 ,
a 2 ? b 2 ? 2ab 同时除以 ab 得
b a b a ? ? 2或 ?1 ? 1? 。 a b a b

* a, b, 均为正数,

a2 ? 2a ? b b
a?b 2 a2 ? b2 a ? b 2 a2 ? b2 ) ; ③( ) ? ; ② ab ? ( 2 2 2 2 1 1 4 a2 ? 2a ? b ;⑥a>0,b>0,则 ? ? ; a b a?b b

八种变式: ① ab ?

④a ?b ?

2(a 2 ? b 2 ) ;⑤若 b>0,则

1 1 2 4 1 1 1 1 1 2 ? ) ? ; ⑧ 若 ab ? 0 ,则 2 ? 2 ? ( ? ) 。 a b ab 2 a b a b a ? b 上述八个不等式中等号成立的条件都是“ ” 。
⑦若 a>0,b>0,则 (

最值定理
(积定和最小) ① x, y ? 0,由x ? y ≥ 2 xy ,若积 xy ? P(定值) ,则当 x ? y 时和 x ? y 有最小值 2 p ; (和定积最大) ② x, y ? 0,由x ? y ≥ 2 xy ,若和 x ? y ? S (定值) ,则当 x ? y 是积 xy 有最大值 【推广】 :已知 x, y ? R ,则有 ( x ? y) ? ( x ? y) ? 2 xy .
2 2

1 2 s . 4

(1)若积 xy 是定值,则当 | x ? y | 最大时,| x ? y | 最大;当 | x ? y | 最小时,| x ? y | 最小. (2)若和 | x ? y | 是定值,则当 | x ? y | 最大时,| xy | 最小;当 | x ? y | 最小时,| xy | 最大. ③已知 a, x, b, y ? R ,若 ax ? by ? 1 ,则有则
?

的最小值为:

1 x

?

1

1 1 by ax 2 ? ( ax ? by )( ? ) ? a ? b ? ? ≥ a ? b ? 2 ab ? ( a ? b ) y x y x y

④已知

,若





的最小值为:



.



应用基本不等式求最值的“八种变形技巧” : ⑴凑系数(乘、除变量系数).例 1.当 0 ? x ? 4 时,求函的数 y ? x(8 ? 2 x) 最大值.
5 1 ,求函数 f ( x) ? 4 x ? 2 ? 的最大值. 4 4x ? 5 x 2 ? 7 x ? 10 ( x ? ?1) 的值域; ⑶调整分子:例 3.求函数 f ( x) ? x ?1
⑵凑项(加、减常数项) :例 2.已知 x ? ⑷变用公式:基本不等式

a?b ? ab 有 几 个 常 用 变 形 , 2

a 2 ? b2 a ? b , ? 2 2

a 2 ? b2 a?b 2 ?( ) 不易想到,应重视; 2 2
1 5 2 x ? 1 ? 5 ? 2 x ( ? x ? ) 的最大值; 2 2 16 2 ⑸连用公式:例 5.已知 a ? b ? 0 ,求 y ? a ? 的最小值; b( a ? b) 1 ln y ⑹对数变换:例 6.已知 x ? , y ? 1 ,且 xy ? e ,求 t ? (2 x) 的最大值; 2
例 4.求函数 y ? ⑺三角变换:例 7.已知 0 ? y ≤ x ?

?

2

,且 tan x ? 3tan y ,求 t ? x ? y 的最大值;

⑻常数代换(逆用条件) :例 8.已知 a ? 0, b ? 0 ,且 a ? 2b ? 1 ,求 t ?

1 1 ? 的最小值. a b

“单调性”补了“基本不等式”的漏洞: ⑴平方和为定值
若 x2 ? y 2 ? a ( a 为 定 值 , a ? 0 ) , 可 设 x ? a cos ? , y ? a sin ? , , 其 中 0 ≤ ? ? 2? . ① f ( x, y ) ? x ? y ? 增函数,在 [ ? ,

1 4

5? ] 上是减函数; 4

1 5 ? a sin ? ? a cos ? ? 2a sin(? ? ) 在 [0, ? ],[ ? , 2? ) 上是 4 4 4

② g ( x, y ) ? xy ?

1 1 3 5 7 a sin 2? 在 [0, ? ],[ ? , ? ],[ ? , 2? ) 上 是 增 函 数 , 在 2 4 4 4 4

1 3 5 7 [ ? , ? ],[ ? , ? ] 上是减函数; 4 4 4 4

? 1 1 x ? y sin ? ? cos ? ? ? ? .令 t ? sin ? ? cos ? ? 2a sin(? ? ) , 4 x y xy a sin ? cos ? 2 2 其中 t ?[? 2, ?1) ? (?1,1) ? (1, 2] .由 t ? 1 ? 2sin ? cos ? ,得 2sin ? cos ? ? t ?1 ,从 2t 2 而 m( x, y) ? 在 [? 2, ?1) ? (?1,1) ? (1, 2] 上是减函数. ? 2 1 a (t ? 1) a (t ? ) t
③ m( x, y ) ? ⑵和为定值 若 x ? y ? b ( b 为定值, b ? 0 ) ,则 y ? b ? x. ① g ( x, y) ? xy ? ? x2 ? bx 在 (??, ] 上是增函数,在 [ , ??) 上是减函数;

b 2

b 2

b 1 1 x? y b ? ? ? 2 .当 b ? 0 时,在 ( ??, 0), (0, ] 上是减函数,在 2 x y xy ? x ? bx b b b [ , b), (b, ??) 上是增函数; 当 b ? 0 时, 在 ( ??, b), (b, ] 上是减函数, 在 [ , 0), (0, ??) 上 2 2 2
② m( x, y ) ? 是增函数.
2 2 2 2 ③ n( x, y) ? x ? y ? 2x ? 2bx ? b 在 (??, ] 上是减函数,在 [ , ??) 上是增函数;

b 2

b 2

⑶积为定值 若 xy ? c ( c 为定值, c ? 0 ) ,则 y ? ① f ( x, y ) ? x ? y ? x ?

c . x

c . 当 c ? 0 时 , 在 [? c , 0 ) , ( c 0 ,上 是 ] 减函数,在 x (??, ? c ],[ c , ??) 上是增函数;当 c ? 0 时,在 (??,0),(0, ??) 上是增函数;
② m( x, y ) ?

1 1 x? y 1 c ? ? ? ( x ? ) .当 c ? 0 时,在 [? c ,0),(0, c ] 上是减函数, x y xy c x

在 (??, ? c ],[ c , ??) 上是增函数;当 c ? 0 时,在 (??,0),(0, ??) 上是减函数;

c2 c 2 ③ n( x, y ) ? x ? y ? x ? 2 ? ( x ? ) ? 2c 在 (??, ? c ),(0, c ] 上是减函数,在 x x (? c ,0],[ c , ??) 上是增函数.
2 2 2

⑷倒数和为定值

c 1 1 2 1 1 1 ? ? ( d 为定值, , , ) ,则 y ? . 成等差数列且均不为零,可设公 x x d y x y d 1 d d 1 1 1 1 ,y? .. 差为 z ,其中 z ? ? ,则 ? ? z , ? ? z , 得 x ? d 1 ? dz 1 ? dz x d y d


2d 1 1 . 当 d ? 0 时 , 在 (??, ? ), (? , 0] 上 是 减 函 数 , 在 2 2 1? d z d d 1 1 1 1 [0, ), ( , ??) 上 是 增 函 数 ; 当 d ? 0 时 , 在 (??, ), ( , 0] 上 是 增 函 数 , 在 d d d d 1 1 [0, ? ), (? , ??) 上减函数; d d
① f ( x) ? x ? y ?

1 1 d2 . . 当 d ? 0 时 , 在 (??, ? ), (? , 0] 上 是 减 函 数 , 在 2 2 d d 1? d z 1 1 1 1 [0, ), ( , ??) 上 是 增 函 数 ; 当 d ? 0 时 , 在 (??, ), ( , 0] 上 是 减 函 数 , 在 d d d d 1 1 [0, ? ), (? , ??) 上是增函数; d d
② g ( x, y ) ? xy ? ③ n( x, y ) ? x ? y ?
2 2

2d 2 (d 2 z 2 ? 1) . . 令 t ? d 2 z2 ?1 , 其 中 t ≥ 1 且 t ? 2 , 从 而 (d 2 z 2 ? 1)2

n ( x, y ) ?

2d 2t 2d 2 ? 在 [1, 2) 上是增函数,在 (2, ??) 上是减函数. (t ? 2) 2 t ? 4 ? 4 t


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