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宁夏银川一中2016届高三第四次模拟考试数学(理)试题


绝密★启用前

2016 年普通高等学校招生全国统一考试









(银川一中第四次模拟考试)

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,其中第Ⅱ卷第 22~24 题为选考题, 其它题为必考题。考生作答时,将答案答

在答题卡上,在本试卷上答题无效。考试结束后,将本试 卷和答题卡一并交回。

注意事项: 1.答题前,考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上,认真核对条形码上的姓名、 准考证号,并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。 2.选择题答案使用 2B 铅笔填涂,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案的标号;非选择题答 案使用 0.5 毫米的黑色中性(签字)笔或碳素笔书写,字体工整、笔迹清楚。 3.请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答,超出答题区域书写的答案无效。 4.保持卡面清洁,不折叠,不破损。 5.做选考题时,考生按照题目要求作答,并用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。

第I卷
一、 选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的. 1.已知集合 A={x|x2﹣16<0},B={﹣5,0,1},则 A.A∩B=? 2.已知复数 z ? A.第一象限 B.B? A C.A∩B={0,1} D.A? B

2 ? 3i ( i 为虚数单位) ,则 z 在复平面内对应的点位于 1? i
B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

3.某城市对机动车单双号限行进行了调查,在参加调查的 2548 名有车人中有 1560 名持反对意见, 2452 名无车人中有 1200 名持反对意见,在运用这些数据说明“拥有车辆”与“反对机动车单双号 限行”是否有关系时,用什么方法最有说服力 A.平均数与方差 C.独立性检验 B.回归直线方程 D.概率
1 ? cos 2? ? cos2 ?

开始 输入 a,b,c

4.已知 tan(π﹣α)=﹣2,则

x?a
a?c
c?b

A.﹣3 C.3

B.

2 5

5 2 5.阅读右边的程序框图,若输入的 a、b、c 分别是 1、2、3,

D. ?

则输出的 a、b、c 分别是( A.3、1、2 B.1、2、3 C .2、1、3 D.3、2、1 6.在△ABC 中,sinA= A.3



4 , AB ? AC ? 6 ,则△ABC 的面积为 5 12 5

B.

C.6

D.4

7.一个三棱锥的顶点在空间直角坐标系 O ? xyz 中的坐标分别是(0,0,1) , (1,0,0) , (2,2, 0) , (2,0,0) ,画该三棱锥三视图的俯视图时,从 x 轴的正方向向负方向看为正视方向,从 z 轴 的正方向向负方向看为俯视方向,以 xOy 平面为投影面,则得到俯视图可以为

8.已知点 P(x,y)是抛物线 y2=4x 上任意一点,Q 是圆 C:(x+2)2+(y﹣4)2=1 上任意一点, 则|PQ|+x 的最小值为 A.5 B.4 C.3 D.2

9.已知实数 x,y 满足 ? x ? y ? 4 ? 0 ,若目标函 数 z=2x+y 的最大值与最小值的差为 2,则实数 m 的
?y ? m ?

?x ? 1? y ? 0 ?

值为 A.4 B.3 C.2 D. ?
1 2

10.已知函数 f ( x ) ? A sin(?x ? ? ) 的图象如图所示,则该函数的解析式可能是 A. f ( x ) ? B. f ( x ) ? C. f ( x ) ?
3 3 ? sin( x ? ) 4 2 6 4 4 1 sin( x ? ) 5 5 5 4 5 ? sin( x ? ) 5 6 6

D. f ( x ) ? 11.已知双曲线

4 2 1 sin( x ? ) 5 3 5

x2 y2 ,F2(c,0) ,若双曲线上存 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左、右焦点分别 F1(﹣c,0) a 2 b2

在点 P,使得 c·sin∠PF1F2= a·sin∠PF2F1≠0,则该曲线的离心率 e 的取值 范围是 A. (1, 2 ) B. (1, 2 ] C. (1, 2 ? 1 ] D. (1, 2 ? 1 )

12. 若函数 f (x) 为定义在 R 上的奇函数, 其导函数为 f( ′ x) , 对任意实数 x 满足 x 2 f ' ( x ) ? 2 xf (? x ) , 则不等式 x 2 ? f ( x) ? (3 x ? 1) 2 ? f (1 ? 3 x ) 的解集是

( , ? ?) A.

1 4

(0, ) B.

1 4

( - ?, ) C.

1 4

( - ?, ) ? ( , ? ?) D.

1 4

1 4

第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分.第 13 题~第 21 题为必考题,每个试题考生都必须做答.第 22 题~第 24 题为选考题,考生根据要求做答. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分. 13.函数 f ( x ) ? ?
? x 2 (0 ? x ? 1) ? 2 ? x(1 ? x ? 2)

的图象与 x 轴所围成的封闭图形的面积为



14.有一球内接圆锥,底面圆周和顶点均在球面上,其底面积为 3 ? ,已知球的半径 R=2,则此圆 锥的体积为____. 15.已知三角形 ABC 中,三边长分别是 a,b,c,面积 S=a2﹣(b﹣c)2,b+c=8,则 S 的最大值 理科数学试卷 第 3 页(共 6 页) 是 . 16.已知 f ( x) ? (2 x ? 1)10 ? a10 x10 ? a9 x9 ? a8 x8 ???? ? a1x ? a0 ,
2 2 2 2 则 C2 a2 ? C3 a3 ? C4 a4 ? ??? ? C10 a10 ?

.

三、解答题:解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤 17.(本小题满分 12 分) 已知数列 {
1 1 } 是等差数列,且 a 3 ? , a 2 ? 4a 7 an 8

(1)求{an}的通项公式 (2)若 bn ? a n a n?1 (n ? N ? ) ,求数列{bn}的前 n 项和 Sn. 18.(本小题满分 12 分) 2016 年,百年名校银川一中即将迎来 110 周年校庆。为了了解在校同学们对一中的看法,学校 进行了调查,从三个年级任选三个班,同学们对一中的看法情况如下: 对一中的 看 法 非常好,一中奠定了 我一生成长的起点 很好,我的中学很快乐很充实

A 班人数
ZXXK]

[来源:学科网

比 例 B 班人数 比 例 C 班人数 比 例

1 2 2 3 3 4

1 2 1 3
[来源 :学,科 ,网 ]

1 4

(1)从这三个班中各选一个同学,求恰好有 2 人认为一中“非常好”的概率(用比例作为相应 概率) ; (2)若在 B 班按所持态度分层抽样,抽取 9 人,在这 9 人中任意选取 3 人,认为一中“非常 好”的人数记为 ? ,求 ? 的分布列和数学期望.

19.(本小题满分 12 分) 在如图所示的几何体中,四边形 ABCD 是菱形,ADNM 是矩形,平面 ADNM⊥平面 ABCD, ∠DAB=60? ,AD=2,AM=1,E 是 AB 的中点. (1)求证:AN∥/平面 MEC; (2)在线段 AM 上是否存在点 P,使二面角 P-EC-D 的大小为 M N

? ?若存在,求出 AP 的长 h;若不存在, 6
A E

D B

C

请说明理由.

20.(本小题满分 12 分) 已知椭圆 C:
x2 y2 6 3 ? ? 1 (a>b>0)经过(1,1)与( )两点. , a 2 b2 2 2

(1)求椭圆 C 的方程; (2)过原点的直线 l 与椭圆 C 交于 A、B 两点,椭圆 C 上一点 M 满足|MA|=|MB|.求证: 为定值.
[来源 :学 |科 |网 ]

1 1 2 ? ? | OA | 2 | OB | 2 | OM | 2

21. (本小题满分 12 分) 已知函数 f(x)=lnx. (1)求函数 g(x)=f(x+1)﹣x 的最大值; (2)若对任意 x>0,不等式 f(x)≤ax≤x2+1 恒成立,求实数 a 的取值范围;

(3)若 x1>x2>0,求证:

f ( x1 ) ? f ( x 2 ) 2x ? 2 2 2 . x1 ? x 2 x1 ? x 2

请考生在第 22、23、24 三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分.答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑. 22.(本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图所示,点 P 是圆 O 直径 AB 延长线上的一点, PC 切圆 O 于点 C,直线 PQ 平分∠APC,分别交 AC、 BC 于点 M、N。 求证: (1)△CMN 为等腰三角形; CM=PC· BN. (2)PB·

23.(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 在极坐标系中,已知三点 O (0, 0), A(2,

?

), B(2 2, ) . 2 4

?

(1)求经过 O, A, B 的圆 C1 的极坐标方程; ( 2 )以极点为坐标原点,极轴为 x 轴的正半轴建立平面直角坐标系,圆 C2 的参数方程为

? x ? ?1 ? a cos ? ( ? 为参数) ,若圆 C1 与圆 C2 外切,求实数 a 的值. ? ? y ? ?1 ? a sin ?
24. (本小题满分 10 分)选 修 4-5:不等式选讲 已知 f ( x) ?| x ? 1| ? | x ? 1| ,不等式 f ( x) <4 的解集为 M。 (1)求 M; (2)若不等式 f ( x) ? a ? 0 有解,求 a 的取值范围。

银川一中 2016 届高三第四次模拟考试数学(理科)参考答案
1.C 【解答】解:A={x|x2﹣16<0}={x|﹣4<x<4},B={﹣5,0,1},则 A∩B={0,1},故选:C 2.B 考查复数的相关知识。 z ?

? 2 ? 3i ??1 ? i ? ? 2 ? 2i ? 3i ? 3 ? ? 1 ? 5 i ,实部、虚部均小于 0,所以 1?1 2 2 ?1 ? i ??1 ? i ?

z 的共轭复数在复平面内对应的点位于第二象限。
3.C 解答: 解:在参加调查的 2548 名男性中有 1560 名持反对意见,2452 名女性中有 1200 名持反对 意见, 可得:K =
2

=83.88>10.828,

故有理由认为性别对判断“中国进入了世界体育强国之列”是否有关系,故利用独立性检验的方法 最有说服力.故选:C. 4.D 解答: 解:∵tan(π ﹣α )=﹣tanα =﹣2,∴tanα =2, ∴ 5.A 6.D 【解答】解:由题意可得 又 sinA= ,故可得 cosA= | ? ,故| |? =| |? |?sinA= |? |?cosA=6, |=10, ×10× =4.故选 D. = = = =﹣ ,故选:D.

故△ABC 的面积 S= 7.D 8.C

【解答】解:抛物线 y2=4x 的焦点 F(1,0),准线 l:x=﹣1 圆 C:(x+2)2+(y﹣4)2=1 的圆心 C(﹣2,4),半径 r=1,
[来源:Zxxk.Com]

由抛物线定义知:点 P 到直线 l:x=﹣1 距离 d=|PF|,点 P 到 y 轴的距离为 x=d﹣1, ∴当 C、P、F 三 点共线时,|PQ|+d 取最小值,∴(|PQ|+x)min=|FC|﹣r﹣1=5﹣1﹣1=3 故选:C.

9.C

【解答】解:作出不等式组

对应的平面区域如图:

由 z=2x+y 得 y=﹣2x+z,平移直线 y=﹣2x+z,由图象可知当直线 y=﹣2x+z 经过点 A 时,直线的截距 最大, 此时 z 最大,由 ,解得 即 A(4﹣m,m),

此时 z=2×(4﹣m)+m=8﹣m,当直线 y=﹣2x+z 经过点 B 时,直线的截距最小, 此时 z 最小,由 ,解得 ,

即 B(m﹣1,m),此时 z=2×(m﹣1)+m=3m﹣2,∵目标函数 z=2x+y 的最大值是最小值的差为 2, ∴8﹣m﹣3m+2=2,即 m=2.故选:C.

10.B 解:由函数 f(x)=Asin(ω x+φ )的图象可得 0<A<1,T= 求得 0<ω <1.再根据 f(2π )<0,结合所给的选项,故选:B. 11.D 解:不妨设 P(x,y)在右支曲线上,此时 x≥a,由正弦定理得 ,所以 = , >2π ,

∵双曲线第二定义得:|PF1|=a+ex,|PF2|=ex﹣a,∴

= ? x= +1,

≥a,

分子分母同时除以 a,得:

≥a,∴

≥1 解得 1≤e≤

故答案为:D(1, 12.C

+1) .

【解答】解:由题意可得函数 g(x)=x2f(x )为 R 上的奇函数, ∵x2f′(x)>2xf(﹣x),∴x2f′(x)+2xf(x)>0, ∴g′(x)=x f(x)=2xf(x)+x f′(x)>0,∴奇函数 g(x)=x f(x)在 R 上单调递增, ∴不等式 g(x)<g(1﹣3x)可化为 x<1﹣3x,解得 x< 故选:C 13. 【解答】解:由题意可得所求封闭图形的面积 S= = +2﹣ = 14. + 故答案为: = x3 + (2x﹣ x2) = (13﹣03) + (2×2﹣ ×22) ﹣ (2×1﹣ ×12)
2 2 2

15. 解:∵a2=b2+c2﹣2bccosA,即 a2﹣b2﹣c2=﹣2bccosA,S△ABC= ∴分别代入已知等式得: bcsinA,

bcsinA=2bc﹣2bccosA,即 sinA=4﹣4cosA, ,∴sinA= b(8﹣b)≤ ,∵b+c=8,∴c=8﹣b, ?( .故答案为: )2= . ,当且仅当 b=8﹣

代入 sin2A+cos2A=1 得:cosA= ∴S△ABC= bcsinA= bc=

b,即 b=4 时取等号,则△ABC 面积 S 的最大值为 16. 180

解: .对等式 (2 x ? 1) ? a10 x ? a9 x ? a8 x ???? ? a1x ? a0 两边求导得
10

10

9

8

20(2 x ? 1)9 ? 10a10 x9 ? 9a9 x8 ? 8a8 x7 ???? ? 2a2 x ? a1 .继续对此等式两边求导,得 360(2 x ? 1)8 ? 10 ? 9a10 x9 ? 9 ? 8a9 x8 ? 8 ? 7a8 x7 ???? ? 2 ?1a2 .令 x ? 1 得

2 2 2 2 360 ? 10 ? 9a10 ? 9 ? 8a9 ? 8 ? 7a8 ???? ? 2 ?1a2 ? 2(C2 a10 ) a2 ? C3 a3 ? C4 a4 ? ??? ? C10 2 2 2 2 a2 ? C3 a3 ? C4 a4 ? ??? ? C10 a10 ? 180 . ? C2

17. 【解答】解:(1)由于 ∴ 于是 , =2+3(n﹣1),整理得 an= 为等差数列,若设其公差为 d,则 ,解得 . = , , ,

(2)由(1)得 bn=anan+1= ∴


18. 【 解 析 】( 1 ) 记 这 3 位 同 学 恰 好 有 2 人 认 为 一 中 “ 非 常 好 ” 的 事 件 为 A , 则
P( A ) ? 1 2 3 1 ? ? ? ( 1 ? ) ? ? 2 3 4 2 2 (? 1 ? 3 3 ? ) 4 1 2 3 1 1 ? ?( 1? ).(5 分) 2 3 4 2 4

(2)在 B 班按照相应比例选取 9 人,则认为一中“非常好”的应该选取 6 人,认为一中“很好”的应选取 3 人, 则 ? ? 0,1,2,3 , 且 P(? ? 0) ?
P(? ? 2) ?
3 C3 C1C 2 18 3 1 ; P(? ? 1) ? 6 3 3 ? ? ; ? 3 C9 84 C9 84 14

2 1 C6 C3 45 15 C 3 20 5 ; P(? ? 3) ? 63 ? ? . ? ? 3 C9 84 28 C9 84 21

则 ? 的分布列为:
?
P
1 84

0
[来源:学*科*网 Z*X*X*K]

1
3 14

2
15 28

3
5 21

则的期望值为: E? ? 0 ?

1 3 15 5 ? 1 ? ? 2 ? ? 3 ? ? 2 (人).(12 分) 84 14 28 21

19.(I)CM 与 BN 交于 F,连接 EF.由已知可得四边形 BCNM 是平行四边形,所以 F 是 BN 的中点.因 为 E 是 AB 的中点,所以 AN∥EF. 又 EF?平面 MEC,AN?平面 MEC, 所以 AN∥平面 MEC.

(II)由于四边形 ABCD 是菱形,E 是 AB 的中点,可得 DE⊥AB.又四边形 ADNM 是矩形,面 ADNM⊥ 面 ABCD,∴DN⊥面 ABCD,如图建立空间直角坐标系 D-xyz,则 D(0,0,0) ,E( 3 ,0,0) , C(0,2,0) ,P( 3 ,-1,h) , CE =( 3 ,-2,0) , EP =(0,-1,h) ,

??? ?

??? ?

??? ? ?? ? CE ? ? ? n1 ? 0 ? 3x ? 2 y ? 0 ? ?? ?? ? ??? ? EP ? n1 ? 0 n ? y ? hz ? 0 , ? ? 1 设平面 PEC 的法向量为 =(x,y,z) .则 ,∴ ? ?? ?? ? n n 3 3 3 1 令 y= h,∴ =(2h, h, ) ,又平面 ADE 的法向量 2 =(0,0,1) ,

3 3 7 ?? ?? ? 2 n n ∴cos< 1 , 2 >= 7h ? 3 = 2 ,解得 h= 7 ,

? 7 ∴在线段 AM 上是否存在点 P,当 h= 7 时使二面角 P-EC-D 的大小为 6 .
20. 【分析】(I)把(1,1)与( , )两点代入椭圆方程解出即可.

(II)由|MA|=|MB|,知 M 在线段 AB 的垂直平分线上,由椭圆的对称性知 A、B 关于原点对称. ①若点 A、B 是椭圆的短轴顶点,则点 M 是椭圆的一个长轴顶点;同理,若点 A、B 是椭圆的长轴顶 点,则点 M 在椭圆的一个短轴顶点;直接代入计算即可. ②若点 A、B、M 不是椭圆的顶点,设直线 l 的方程为 y=kx(k≠0),则直线 OM 的方程为 设 A(x1,y1),B(x2,y2),与椭圆的方程联立解出坐标,即可得到 = ,同理 ,代入要求的式子即可. ,

【解答】解析(Ⅰ)将(1,1)与(



)两点代入椭圆 C 的方程,



解得



∴椭圆 PM2 的方程为



(Ⅱ)由|MA|=|MB|,知 M 在线段 AB 的垂直平分线上,由椭圆的对称性知 A、B 关于原点对称. ①若点 A、B 是椭圆的短轴顶点,则点 M 是椭圆的一个长轴顶点,此时 = .

同理,若点 A、B 是椭圆的长轴顶点,则点 M 在椭圆的一个短轴顶点,此时

=



②若点 A、B、M 不是椭圆的顶点,设直线 l 的方程为 y=kx(k≠0), 则直线 OM 的方程为 ,设 A(x1,y1),B(x2,y2),



解得







=

,同理



所以

=2×

+

=2,

故 21.

=2 为定值.

【分析】(1)先求出 g(x)=ln(x﹣1)﹣x(x>﹣1),然后求导确定单调区间,极值,最值即 可求.

(2)本小题转化为

在 x>0 上恒成立,进一步转化为

,然后构造函数 h(x)= 值,再利用基础不等式可知 ,从而可知 a 的取值范围.

,利用导数研究出 h(x)的最大

(3)本小题等价于

.令 t=

,设 u(t)=lnt﹣

,t>1,由导数性

质求出 u(t)>u(1)=0,由此能够证明 【解答】解:(1)∵f(x)=lnx, ∴g(x)=f(x+1)﹣x=ln(x+1)﹣x,x>﹣1, ∴ .





当 x∈(﹣1,0)时,g′(x)>0,∴g(x)在(﹣1,0)上单调递增; 当 x∈(0,+∞)时,g′(x)<0,则 g(x)在(0,+∞)上单调递减,

∴g(x)在 x=0 处取得最大值 g(0)=0. (2)∵对任意 x>0,不等式 f(x)≤ax≤x +1 恒成立,
2



在 x>0 上恒成立,进一步转化为



设 h(x)=

,则

,当 x∈(1,e)时,h′(x)>0;当 x∈(e,+∞)

时,h′(x)<0,∴h(x) x+ ,

.要使 f(x)≤ax 恒成立,必须 a

.另一方面,当 x>0 时,

要使 ax≤x2+1 恒成立,必须 a≤2,∴满足条件的 a 的取值范围是[

,2].

(3)当 x1>x2>0 时,



等价于



令 t=

,设 u (t)=lnt﹣

,t>1 则

> 0,

∴u(t)在(1,+∞)上单调递增,∴u(t)>u(1)=0,∴





【点评】本题考查函数最大值的求法,考查满足条件的实数的取值范围的求法,考查不等式的证明, 解题时要认真审题,注意构造法、换元法、等价转化思想的合理运用.


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