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2014届高考数学一轮复习 第8章《平面解析几何》(第9课时)知识过关检测 理 新人教A版


2014 届高考数学(理)一轮复习知识过关检测:第 8 章《平面解析 几何》 (第 9 课时) (新人教 A 版)
一、选择题 2 1.(2013?德州质检)设斜率为 2 的直线 l 过抛物线 y =ax(a≠0)的焦点 F,且和 y 轴 交于点 A,若△OAF(O 为坐标原点)的面积为 4,则抛物线方程为( ) 2 2 A.y =±4x B.y =±8x 2 2 C.y =4x D.y =8x

? ? ? ? 2 解析:选 B.y =ax 的焦点坐标为? ,0?,过焦点且斜率为 2 的直线方 程为 y=2?x- ?, ?4 ? ? 4?
a a
令 x=0 得:y=- , 2 1 |a| |a| 2 ∴S△OAF= ? ? =4,∴a =64,∴a=±8,故选 B. 2 4 2 → → 2 2. 设坐标原点为 O, 抛物线 y =2x 与过焦点的直线交于 A、 两点, OA?OB等于( B 则 ) 3 3 A. B.- 4 4 C.3 D.-3 解析:选 B.法一:(特殊值法) 1 1 1 抛物线的焦点为 F( ,0),过 F 且垂直于 x 轴的直线交抛物线于 A( ,1),B( ,-1), 2 2 2 1 1 1 3 → → ∴OA?OB=( ,1)?( ,-1)= -1=- . 2 2 4 4 法二:设 A(x1,y1),B(x2,y2), → → 则OA?OB=x1x2+y1y2. p2 1 由抛物线的过焦点的弦的性质知:x1x2= = , 4 4 2 y1y2=-p =-1. 3 → → 1 ∴OA?OB= -1=- . 4 4 3.双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别是 F1、F2,过 F1 作倾斜角为 30°的 直线交双曲线右支于 M 点,若 MF2 垂直于 x 轴,则双曲线的离心率为( A. 6 B. 3 3 C. 2 D. 3 2 3 解析:选 B.|MF2|=|F1F2|tan30°= c, 3 )

a

x 2 y2 a b

b b 2 3 且|MF2|= ,∴ = c, a a 3
2 3 2 两边同除以 a 得 e -1= e, 3 即 3e -2 3e-3=0.又 e>1,∴e= 3.
2

2

2

x y 1 4. (2013?日照质检)过椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的焦点垂直于 x 轴的弦长为 a, 则双曲 a b 2

2

2

1

线 2- 2=1 的离心率 e 的值是( A. C. 5 4 3 2

x2 y2 a b

) B. D. 5 2 5 4

解析:选 B.将 x=c(c 为椭圆的半焦距)代入椭圆方程得, 2+ 2=1,∴y =?1- 2??b a
2

c 2 y2 a b

? ?

c2?

?

2

= B.

a -c b b b 1 1 2 2 2 2 2 ?b = 2?b ,∴y=± ,∴ = a,∴b = a ,∴e = 2 a a a a 4 4 x2
2

2

2

2

2

2

a2+ a2 a
2

1 4

5 5 = ,∴e= ,故选 4 2 )

5.斜率为 1 的直线 l 与椭圆 +y =1 相交于 A、B 两点,则|AB|的最大值为( 4 A.2 C. 4 10 5 B. D. 4 5 5 8 10 5

5 2 2 2 解析:选 C.设直线 l 的方程为 y=x+t,代入 +y =1,消去 y 得 x +2tx+t -1=0, 4 4 由题意得 Δ =(2t) -5(t -1)>0,即 t <5.弦长|AB|=4 2? 二、填空题 5 x y 6.若 m>0,点 P(m, )在双曲线 - =1 上,则点 P 到该双曲线左焦点的距 离为 2 4 5 ________. 5 x2 y2 解析:点 P(m, )在双曲线 - =1 上,且 m>0,代入双曲线方 程解得 m=3,双曲线 2 4 5 左焦点 F1(-3,0),故|PF1|= ? 13 答案: 2 7.(2013?北京东城区检测)已知 F1、F2 为椭圆 + =1 的两个焦点,过 F1 的直线交 25 9 椭圆于 A、B 两点.若|F2A|+|F2B|=12,则|AB|=________. 解析:由题意知(|AF1|+|AF2|)+(|BF1|+|BF2|)=|AB|+|AF2|+|BF2|=2a+2a,又由 a=5,可得|AB|+(|BF2|+|AF2|)=20,即|AB|=8. 答案:8 8. (2013?东北三校联考)已知双曲线方程是 x - =1, 过定点 P(2,1)作直线交双曲线 2 于 P1,P2 两点,并使 P(2,1)为 P1P2 的中点,则此直线方程是________. y2 y2 y2-y1 2? x2+x1? 1 2 解析: 设点 P1(x1, 1), 2(x2, 2), y P y 则由 x2- =1, 2- =1, k= x2 得 = 1 2 2 x2-x1 y2+y1 2?4 2 = =4,从而所求方程为 4x-y-7=0.将此直线方程与双曲线方程联立得 14x -56x+ 2 51=0,Δ >0,故此直线满足条件. 答案:4x-y-7=0 三、解答题
2 2 2 2 2 2

x2

5-t 4 10 ≤ . 5 5

2

3+3?

2

+?

5 -0? 2

2



13 . 2

x2

y2

y2

2

y x ?x1 y1? ?x2 y2? 9.设 A(x1,y1),B(x2,y2)是椭圆 2+ 2=1(a>b>0)上的两点,m=? , ?,n=? , ?, a b

2

2

?b

a?

?b

a?

且 m?n=0,椭圆离心率 e=

3 ,短轴长为 2,O 为坐标原点. 2

(1)求椭圆方程; (2)若存在斜率为 k 的直线 AB 过椭圆的焦点 F(0,c)(c 为半焦距),求 k 的值. 解:(1)由?e= =
? ? ? ?

c a

3 ?b=1 2

,解得 a=2,b=1.

∴所求 椭圆方程为 +x =1. 4 (2)设直线 AB 的方程为 y=kx+ 3.

y2

2

?y=kx+ 3 ? 由? y2 2 ?? 4 +x =1 ?
x1+x2=

? (k +4)x +2 3kx-1=0,

2

2

-2 3k -1 ,x1?x2= 2 . 2 k +4 k +4

∴m?n=

x1x2 y1y2 + 2 b2 a

1 =x1x2+ (kx1+ 3)(kx2+ 3) 4 2 1 ? k +4 ? 3 -2 3k 3 = ??- 2 ?+ k? 2 + =0. k +4? 4 4 k +4 4 ? 解得 k=± 2. 10.中心在原点、焦点在 x 轴上的椭圆 C 的一个顶点为 B(0,-1),右焦点到直线 m:x -y+2 2= 0 的距离为 3. (1)求椭圆 C 的标准方程; (2)是否存在斜率 k≠0 的直线 l 与 C 交于 M,N 两点,使|BM|=|BN|?若存在,求 k 的 取值范围;若不存在,说明理由. 2 解:(1)由题意,b =1,设右焦点为 F(c,0), |c+2 2| 则 d= =3,即|c+2 2|=3 2. 2 解 得 c= 2,又 a =c +b =3,∴a =3. ∴所求椭圆 C 的标准方程为 +y =1. 3 (2)假设存在 k 满足条件,设 l 与 C 的交点为 M(x1,y1),N(x2,y2).
2 2 2 2

x

2 2

?x +y =1, ?3 则? x ?? 3 +y =1, ?
2 1 2 2 2 2

2 1

两式相减得

1 (x1+x2)(x1-x2)+(y1+y2)(y1-y2)=0. 3 1 设 MN 的中点为 P(x0,y0),∴k?kOP=- , 3 即 k=- . 3y0

x0

3

又∵BP⊥l,∴

y0+1 1 =- . x0 k

?x =-3k, ? 2 解得? 1 ??y =2, ?
0 0

? 3 1? 即 P?- k, ?. ? 2 2?
x2 0
2

∵要使|BM|=|BN|,需 +y0<1. 3 ?-3k?2 ? 2 ? ? ? 1 ∴ + <1, 3 4 2 ∴k <1 且 k≠0. ∴存在-1<k<0 或 0<k<1 满足题设.

一、选择题 2 1.(2013?辽阳质检)抛物线 y=x 到直线 2x-y=4 距离最近的点的坐标是( ) 3 5 A.( , ) B.(1,1) 2 4 3 9 C.( , ) D.(2,4) 2 4 |2x-y-4| 2 解析:选 B.设 P(x,y)为抛物线 y=x 上任一点,则 P 到直线的距离 d= = 5 2 2 |x -2x+4| ? x-1? +3 = , 5 5 3 5 ∴x=1 时,d 取最小值 ,此时 P(1,1). 5 2.已知点 F 是双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的左焦点,点 E 是该双曲线的右顶点,过 点 F 且垂直于 x 轴的直线与双曲线交于 A、B 两点,△ABE 是锐角三角形,则该双曲线的离 心率 e 的取值范围是( ) A.(1,+∞) B.(1,2) C.(1,1+ 2) D.(2,1+ 2) 解析:选 B.因为|EA|=|EB|,所以只要∠AEB 为锐角即可,则点 E 应在以 F 为圆心,AB 为直径的圆外,则|AF|<|EF|,由题意知|AF|= ,|EF|=a+c,即 <a+c,所以 b <a
2 2 2 2 2 2

x2 y2 a b

b2 a

b2 a

2

2

+ac.又 b =c -a ,可得 2a +ac-c >0,即 e -e-2<0,解得 e∈(1,2),故选 B. 二、填空题 2 3.已知抛物线 C:y =2px(p>0)的准线为 l,过 M(1,0)且斜率为 3的直线与 l 相交于 → → 点 A,与 C 的一个交点为 B.若AM=MB,则 p=________. 解析:

4

→ → 如图,由 AB 的斜率为 3,知∠α =60°,又AM=MB, ∴M 为 AB 的中点.过点 B 作 BP 垂直准线 l 于点 P, 则∠ABP=60°,∴∠BAP=30°. 1 ∴|BP|= |AB|=|BM|. 2 ∴M 为焦点,即 =1,∴p=2. 2 答案:2 2 2 4.已知直线 l 与椭圆 x +2y =2 交于 P1、P2 两点,线段 P1P2 的中点为 P,设直线 l 的 斜率为 k1(k1≠0),直线 OP 的斜率为 k2,则 k1k2 的值等于______ __. x1+x2 y1+y2 y1+y2 y2-y1 解析:设 P1(x1,y1),P2(x2,y2),则 P( , ),k2= , k1 = ,k1k2 2 2 x1+x2 x2-x1 2 2 y2-y1 = 2 2. x2-x1
?x1+2y1=2 ? 由? 2 2 ? ??x2+2y2=2
2 2

p

1 2 2 2 2 ,相减得 y2-y1=- (x2-x1). 2

1 故 k1k2=- . 2 1 答案:- 2 三、解答题 2 x y 5.已知点 A(1, 2)是离心率为 的椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)上的一点,斜率为 2 2 b a 的直线 BD 交椭圆 C 于 B、D 两点,且 A、B、D 三点不重合. (1)求椭圆 C 的方程; (2)△ABD 的面积是否存在最大值?若存在, 求出这个最大 值; 若不存在, 请说明理由? c 2 1 2 2 2 2 解:(1)∵e= = , 2+ 2=1,a =b +c , a 2 b a ∴a=2,b= 2,c= 2. ∴椭圆 C 的方程为 + =1. 2 4
2 2

x2 y2

(2)设直线 BD 的方程为 y= 2x+m,m≠-1,

?y= 2x+m? ∴? 2 ?2x +y2=4
2 2

?

4x +2 2mx+m -4=0, 2 ∴ Δ =-8m +64>0? -2 2<m<2 2,且 m≠-1, 2 x1+x2=- m,① 2 m2-4 x1x2= ,② 4 ∵|BD|= 1+? 2?
2

|x1-x2|=

6 2

8-m ,
5

2

设 d 为点 A 到直线 BD:y= 2x+m 的距离, |m| ∴d= , 3 1 2 ∴S△ABD= |BD|d= ? 2 4 8-m ?
2

m2≤ 2,当且仅当 m=±2 时取等号.

因为±2∈(-2 2,-1)∪(-1,2 2) ,所以当 m=±2 时,△ABD 的面积最大,最大值 为 2.

6


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